高考数学一轮复习正态分布 9页

2019 年高考数学一轮复习：正态分布 正态分布 1．正态曲线的性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝ 1 2π σ 2 2 2 )( e   x ，x∈(－∞，＋ ∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x) 的图象(如图)为正态分布密度曲线．简称__________． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x 轴____________，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线____________对称； ③曲线在 x＝μ处达到峰值__________； ④曲线与 x 轴之间的面积为____________； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 ________的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示． ⑥ 当 μ 一 定 时 ， 曲 线 的 形 状 由 σ 确 定 ， σ 越 __________，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中；σ越__________，曲线越“矮胖”，表示总体的分 布越分散，如图乙所示． 2．正态分布的定义与简单计算 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 a，b(aP(X≤σ1)，B 错误；对任意正数 t， P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C 正确，D 错误， 故选 C. (2017·惠州二调)已知随机变量ξ服从正态分 布 N(1，1)，若 P(ξ<3)＝0.977，则 P(－1<ξ<3)＝( ) A．0.683 B．0.853 C．0.954 D．0.977 解：因为已知随机变量ξ服从正态分布 N(1，1)， 所以正态曲线关于直线 x＝1 对称，又 P(ξ<3)＝0.977， 所以 P(ξ>3)＝1－0.977＝0.023，所以 P(－1<ξ<3)＝1 －P(ξ<－1)－P(ξ>3)＝1－2P(ξ>3)＝1－0.046＝0.954. 故选 C. (2015·湖南)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0， 1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ2) ＝________． 解：P(ξ>2)＝1－P（－2≤ξ≤2） 2 ＝0.3.故填 0.3. (2016·青岛模拟)某班有 50 名同学，一次数学 考 试 的 成 绩 ξ 服 从 正 态 分 布 N(110 ， 102) ， 已 知 P(100≤ξ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在 120 分以上的有________人． 解：数学成绩ξ的正态曲线关于直线 x＝110 对称， 因 为 P(100≤ ξ ≤ 110) ＝ 0.34. 所 以 P(ξ≥120) ＝ P(ξ≤100)＝1 2 ×(1－0.34×2)＝0.16. 数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16×50＝8.故填 8. 类型一 正态分布的概念与性质 已 知 三 个 正 态 分 布 密 度 函 数 φi(x) ＝ 1 2πσi 2 2 2 )( e i ix   (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示， 则( ) A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 解：由正态曲线关于直线 x＝μ对称，知μ1＜μ2＝ μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分 散，曲线越矮胖；σ越小，总体分布越集中，曲线越 瘦高，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1(μ1)＝φ2(μ2)＞φ3(μ3)， 则 1 2πσ1 ＝ 1 2πσ2 ＞ 1 2πσ3 ，即σ1＝σ2＜σ3.故选 D. 【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大 都可由φμ，σ(x)的解析式推知．如σ一定，当 x<μ且 x 增大时，(x－μ)2 减小⇒－（x－μ）2 2σ2 增大⇒ 2 2 2 )( e   x 增 大⇒φμ，σ(x)在 x＝μ左侧单调递增．其他类似可得． 某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三 科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下 列说法中正确的是( ) A．甲学科总体的方差最小 B．丙学科总体的均值最小 C．乙学科总体的方差最小 D．甲、乙、丙的总体的均值不相同 解：由图象可知三个图象的对称轴相同，即三学 科的均值相同，甲学科成绩的正态分布图象最瘦高， 说明甲学科成绩最集中，方差最小．故选 A. 类型二 正态分布的计算问题 (2017·石家庄模拟)设 X～N(1，σ2)，其正 态分布密度曲线如图所示，且 P(X≥3)＝0.022 8，那 么向正方形 OABC 中随机投掷 20 000 个点，则落入阴 影部分的点的个数的估计值为( ) 附：随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ －σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4. A．12 076 B．13 174 C．14 056 D．7 539 解：由题意得，P(X≤－1)＝P(X ≥3)＝0.022 8， 所以 P(－10 ， 则 P(X<μ － b) ＝ 1－P（μ－b0)和 N(μ2，σ 22)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x)，其图象如图所 示，则有( ) A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 解：f(x)＝ 1 2πσe －（x－μ）2 2σ2 中 x＝μ是对称轴，故 μ1<μ2；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小曲线越“高 瘦”，故σ1<σ2.故选 A. 2．(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，且 P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<4)＝( ) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解：由 P(ξ<4)＝0.8，得 P(ξ≥4)＝0.2. 又正态曲线关于 x＝2 对称． 则 P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2， 所以 P(0<ξ<4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6. 故选 A. 3．(2016·云南师大附中月考)设随机变量ξ服从正 态分布 N(4，3)，若 P(ξ＜a－5)＝P(ξ>a＋1)，则实数 a 等于( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解：根据对称性有a－5＋a＋1 2 ＝4，得 a＝6.故选 C. 4．(2016·新余二模)在如图所示的正方形中随机投 掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(－2，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ1)＝1 － P( － 1≤X≤1) ＝ 1 － P(μ － 3σ≤X≤μ ＋ 3σ) ＝ 1 － 0.997 4＝0.002 6.故选 D. 6．给出下列函数(其中μ∈(－∞，＋∞)，σ>0)： ①f(x)＝ 1 2πσe－（x+μ）2 2σ2 ； ②f(x)＝ 1 2πe－（x-μ）2 4 ； ③f(x)＝ 1 2· 2πe－x2 4； ④f(x)＝ 1 πe－(x－μ)2， 则可以作为正态分布密度函数的个数有( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解：对于①，f(x)＝ 1 2πσe－（x+μ）2 2σ2 .由于μ∈(－∞， ＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分 布密度函数； 对于②，若σ＝1，则应为 f(x)＝ 1 2πe－（x-μ）2 2 .若σ ＝ 2，则应为 f(x)＝ 1 2π· 2 e－（x-μ）2 4 ，均与所给函数 不相符，故它不能作为正态分布密度函数； 对于③，它就是当σ＝ 2，μ＝0 时的正态分布 密度函数； 对于④，它是当σ＝ 2 2 时的正态分布密度函数． 所以一共有 3 个函数可以作为正态分布密度函 数．故选 C. 7．(2017·广州模拟)按照国家规定，某种大米质量 (单位：kg)必须服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检 测结果可知 P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职 工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 2000 名职工， 则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的 职工数大约为________． 解 ： 由 题 意 得 P(ξ<9.9) ＝ p(ξ>10.1) ＝ 1－P（9.9≤ξ≤10.1） 2 ＝0.02，从而分发到的大米质量 在 9.9 kg 以下的职工数大约为 0.02×2000＝40(人)， 故填 40. 8．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而 成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作， 则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位： 小时)均服从正态分布 N(1 000，502)，且各个元件能否 正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为________． 解：由于三个电子元件的使用寿命(单位：小时) 均服从正态分布 N(1 000，502)，所以每个元件使用寿 命超过 1 000 小时的概率 P(X≥1 000)＝1 2.所以该部件 的使用寿命超过 1 000 小时的概率 P＝ 1－1 2 ×1 2 ×1 2 ＝3 8.故填3 8. 9．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分 布，其正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80， ＋∞)上是减函数，且 f(80)＝ 1 8 2π. (1)求正态分布密度函数的解析式； (2)估计尺寸在 72mm～88mm 间的零件大约占总 数的百分之几？ 解：(1)由于正态曲线在区间(0，80)上是增函数， 在区间(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直 线 x＝80 对称，且在 x＝80 处取得最大值．因此得μ ＝80， 1 2πσ ＝ 1 8 2π ，所以σ＝8. 故正态分布密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝ 1 8 2πe－（x-8）2 128 . (2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋ σ＝80＋8＝88. 所以零件尺寸位于区间(72，88)内的概率是0.6826. 因此尺寸在 72mm～88mm 间的零件大约占总数 的 68.26%. 10．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生 的成绩近似服从正态分布 N(60，100)，已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人． (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前 228 名的学生，问 受奖学生分数线是多少？ 解：(1)设学生的成绩为 X，共有 n 人参加竞赛， 因为 X～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10. 所以 P(X≥90)＝1 2[1－P(3060. 所以 P(120－x0S22. (2)设事件 A：在甲种食用油中随机抽取 1 桶，其 质量指标不大于 20， 事件 B：在乙种食用油中随机抽取 1 桶，其质量 指标不大于 20， 事件 C：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 桶， 恰有一桶的质量指标不大于 20，且另一桶大于 20， 则 P(A)＝0.20＋0.10＝0.3，P(B)＝0.10＋0.20＝ 0.3， 所以 P(C)＝P( — A)P(B)＋P(A)P( — B)＝0.42， (3)计算得：— x＝26.5，由条件得 Z～N(26.5，142.75)， 从而 P(26.5－11.95