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- 2021-05-14 发布
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高考大题专项训练-概率与统计
1.某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,,,且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ,求ξ的分布列与均值.
解 (1)记“该选手通过初赛”为事件A,“该选手通过复赛”为事件B,“该选手通过决赛”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率
P=P(A)=P(A)P()=×(1-)=.
(2)ξ可能取值为1,2,3.
P(ξ=1)=1-=,P(ξ=2)=×(1-)=,
P(ξ=3)=×=.
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
ξ的均值为E(ξ)=1×+2×+3×=.
2.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E(X).
解 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,
记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,
记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,
E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC.
由事件的独立性与互斥性,
P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()
=×××+2×=.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得
P(X=0)=×××=,
P(X=1)=2×==,
P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,
P(X=3)=×××+×××==,
P(X=4)=2×==,
P(X=6)=×××==.
故随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
所以均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.
3.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
解 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.
(2)由(1),知100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85.
所以2.5≤x<3.由0.30×(x-2.5)=0.85-0.73,
解得x=2.9.
所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
4.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
解 (1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A
发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.
又P(AB)=P(B),
故P(B|A)====.
因此所求概率为.
(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
5.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:i=9.32,iyi=40.17, =0.55, ≈2.646.
参考公式:相关系数r=,回归方程=+t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为=,=-.
解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
=4,(ti-)2=28, =0.55,
(ti-)(yi-)=iyi-i=40.17-4×9.32=2.89,r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由=≈1.331及(1)得==≈0.103.=-≈1.331-0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为=0.92+0.10t.
将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.