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  • 2021-05-14 发布

全国卷新课标高考中档大题专项训练概率与统计

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高考大题专项训练-概率与统计 ‎1.某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是,,,且各阶段通过与否相互独立.‎ ‎(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;‎ ‎(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ,求ξ的分布列与均值.‎ 解 (1)记“该选手通过初赛”为事件A,“该选手通过复赛”为事件B,“该选手通过决赛”为事件C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.‎ 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P=P(A)=P(A)P()=×(1-)=.‎ ‎(2)ξ可能取值为1,2,3.‎ P(ξ=1)=1-=,P(ξ=2)=×(1-)=,‎ P(ξ=3)=×=.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的均值为E(ξ)=1×+2×+3×=.‎ ‎2.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E(X).‎ 解 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,‎ 记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,‎ 记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意,‎ E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC.‎ 由事件的独立性与互斥性,‎ P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)‎ ‎=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()‎ ‎=×××+2×=.‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=×××=,‎ P(X=1)=2×==,‎ P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,‎ P(X=3)=×××+×××==,‎ P(X=4)=2×==,‎ P(X=6)=×××==.‎ 故随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.‎ ‎3.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求直方图中a的值;‎ ‎(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;‎ ‎(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.‎ 解 (1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.‎ 由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.‎ ‎(2)由(1),知100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.‎ ‎(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,‎ 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85.‎ 所以2.5≤x<3.由0.30×(x-2.5)=0.85-0.73,‎ 解得x=2.9.‎ 所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.‎ ‎4.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ 解 (1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.‎ ‎(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.‎ 又P(AB)=P(B),‎ 故P(B|A)====.‎ 因此所求概率为.‎ ‎(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为 X ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a P ‎ 0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.‎ 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.‎ ‎5.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.‎ 注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014‎ ‎(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注:‎ 参考数据:i=9.32,iyi=40.17, =0.55, ≈2.646.‎ 参考公式:相关系数r=,回归方程=+t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为=,=-.‎ 解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得 =4,(ti-)2=28, =0.55,‎ (ti-)(yi-)=iyi-i=40.17-4×9.32=2.89,r≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.‎ ‎(2)由=≈1.331及(1)得==≈0.103.=-≈1.331-0.103×4≈0.92.‎ 所以y关于t的回归方程为=0.92+0.10t.‎ 将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.92+0.10×9=1.82.‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨.‎