高考平面向量公式教师 4页

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  • 2021-05-14 发布

高考平面向量公式教师

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第七辑 平面向量专题 一,基本概念 ‎1,向量的概念:有大小有方向的量称为向量。‎ ‎2,向量的表示:几何表示为有向线段(如图);字母表示为或者。‎ ‎3,向量的大小:即是向量的长度(或称模),记作或者。‎ ‎4,零向量:长度为0的向量称为零向量,记为,零向量方向是任意的。‎ ‎5,单位向量:长度为一个单位的向量称为单位向量,一般用、来表示。,‎ ‎6,平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的向量称为平行向量,规定零向量与任意向量平行。若平行于,则表示为∥。‎ ‎7,相等向量:方向相同,大小相等的向量称为相等向量。若与相等,记为=‎ ‎8,相反向量:大小相等,方向相反的向量称为相反向量。若与是相反向量,则表示为=;向量 二,几何运算 ‎1,向量加法:‎ ‎(1)平行四边形法则(起点相同),可理解为力的合成,如图所示:‎ ‎(2)三角形法则(首尾相接),可理解为:位移的合成,如图所示, ‎ ‎(3)两个向量和仍是一个向量;‎ ‎(4)向量加法满足交换律、结合律:,‎ ‎(5)加法几种情况(加法不等式):‎ ‎ ‎ ‎2,减法:‎ ‎(1)两向量起点相同,方向是从减数指向被减数,如图 ‎ ‎(2)两向量差依旧是一个向量;‎ ‎(3)减法本质是加法的逆运算:‎ ‎3,加法、减法联系:‎ ‎(1)加法和减法分别是平行四边行两条对角线,,‎ ‎(2)若有,则四边形为矩形 ‎4,实数与向量的积:‎ ‎(1)实数与向量的积依然是个向量,记作,它的长度与方向判断如下:‎ 当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,;当时,;‎ ‎(2)实数与向量相乘满足: ‎ ‎5,向量共线:‎ ‎(1)向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个实数,使得 ‎(2)如图,平面内三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数,‎ 使得,且,反之也成立。‎ ‎(3),则(证明略)‎ ‎6,向量的数量积 ‎(1)数量积公式:‎ ‎(2)向量夹角:同起点两向量所夹的角,范围是 ‎(3)零向量与任一向量的数量积为0,即 ‎(4)数量积与夹角关系:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(5)投影:称为在的方向上的投影;成为在的方向上的投影 ‎(6)重要结论:直角三角形中,‎ ‎(7)向量数量积的运算律:‎ ‎ (向量为与方向相同的单位向量) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三,坐标运算 ‎1,平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使得,我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(证明略)‎ ‎2,坐标定义:如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量,作为基底。任作一个向量,由向量的基本定理可知,有且只有一对实数,使得:,我们把叫做 向量的(直角)坐标,记作,其中、分别为向量的横纵坐标。这个式子 叫做向量的坐标表示。‎ ‎3,如图,已知点,,由向量的坐标定义可知,‎ ‎,,由此可知,一个向量 的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标,即,‎ ‎4,向量的加减乘坐标运算:已知,‎ ‎(1)加、减、乘: ‎ ‎(2)实数与向量乘积的坐标运算:‎ ‎(3)向量模(大小)的坐标形式:‎ ‎(4)夹角余弦值 ‎5,向量间关系的坐标形式,已知,‎ ‎(1)的充要条件是,‎ ‎(2)若则有,即 ‎6,柯西不等式的向量形式 设向量,则有, ,因为,所以有柯西不等式的向量形式:,化简得:‎