高考平面向量公式教师 4页

第七辑 平面向量专题 一，基本概念 ‎1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。‎ ‎2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为或者。‎ ‎3，向量的大小：即是向量的长度（或称模），记作或者。‎ ‎4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。‎ ‎5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、来表示。，‎ ‎6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若平行于，则表示为∥。‎ ‎7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若与相等，记为=‎ ‎8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若与是相反向量，则表示为=；向量 二，几何运算 ‎1，向量加法：‎ ‎（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：‎ ‎（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， ‎ ‎（3）两个向量和仍是一个向量；‎ ‎（4）向量加法满足交换律、结合律：，‎ ‎（5）加法几种情况（加法不等式）：‎ ‎ ‎ ‎2，减法：‎ ‎（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图 ‎ ‎（2）两向量差依旧是一个向量；‎ ‎（3）减法本质是加法的逆运算：‎ ‎3，加法、减法联系：‎ ‎（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，，‎ ‎（2）若有，则四边形为矩形 ‎4，实数与向量的积：‎ ‎（1）实数与向量的积依然是个向量，记作，它的长度与方向判断如下：‎ 当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，；当时，；‎ ‎（2）实数与向量相乘满足： ‎ ‎5，向量共线：‎ ‎（1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使得 ‎（2）如图，平面内三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数，‎ 使得，且，反之也成立。‎ ‎（3），则（证明略）‎ ‎6，向量的数量积 ‎（1）数量积公式：‎ ‎（2）向量夹角：同起点两向量所夹的角，范围是 ‎（3）零向量与任一向量的数量积为0，即 ‎（4）数量积与夹角关系：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（5）投影：称为在的方向上的投影；成为在的方向上的投影 ‎（6）重要结论：直角三角形中，‎ ‎（7）向量数量积的运算律：‎ ‎ （向量为与方向相同的单位向量） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三，坐标运算 ‎1，平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得，我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（证明略）‎ ‎2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量,作为基底。任作一个向量，由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：，我们把叫做 向量的（直角）坐标，记作，其中、分别为向量的横纵坐标。这个式子 叫做向量的坐标表示。‎ ‎3，如图，已知点，，由向量的坐标定义可知，‎ ‎，，由此可知，一个向量 的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，‎ ‎4，向量的加减乘坐标运算：已知，‎ ‎（1）加、减、乘： ‎ ‎（2）实数与向量乘积的坐标运算：‎ ‎（3）向量模（大小）的坐标形式：‎ ‎（4）夹角余弦值 ‎5，向量间关系的坐标形式，已知，‎ ‎（1）的充要条件是，‎ ‎（2）若则有，即 ‎6，柯西不等式的向量形式 设向量，则有， ，因为，所以有柯西不等式的向量形式：，化简得：‎