高考总复习函数的单调性与最值习题及详解 8页

高中数学高考总复习函数的单调性与最值 一、选择题 ‎1．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内(　　)‎ A．至少有一实数根 B．至多有一实数根 C．没有实数根 D．有唯一实数根 ‎[答案]　D ‎[解析]　∵函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，‎ 又f(a)，f(b)异号．∴f(x)在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.‎ ‎2．(2010·北京文)给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．①④‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　易知y＝x在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y＝log(x＋1)的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，故选B.‎ ‎3．(2010·济南市模拟)设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则(　　)‎ A．y3log54>log53>0，∴log53>(log53)2>0，而log45>1，∴c>a>b.‎ ‎7．若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0] B．[－2,2]‎ C．{2} D．[2，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　f ′(x)＝3x2－‎6a，‎ 若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；‎ 若a>0，则由f ′(x)＝0得x＝±，当x<－和x>时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－‎ eq (2a)0的x的取值范围是(　　)‎ A．(3，＋∞) B．(0，)‎ C．(0，＋∞) D．(0，)∪(3，＋∞)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则由f(logx)>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.‎ ‎(理)(2010·南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f()，c＝f(2)，则a、b、c的大小关系是(　　)‎ A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a ‎[答案]　D ‎[解析]　∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称，‎ ‎∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，‎ ‎∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．‎ 由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)f(a)得2－‎ a2>a，∴－20，则函数f(x)在[a，b]上有(　　)‎ A．最小值f(a)‎ B．最大值f(b)‎ C．最小值f(b)‎ D．最大值f ‎[答案]　C ‎[解析]　令x＝y＝0得，f(0)＝0，‎ 令y＝－x得，f(0)＝f(x)＋f(－x)，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)．‎ 对任意x1，x2∈R且x10，∴f(x1)>f(x2)，‎ ‎∴f(x)在R上是减函数，‎ ‎∴f(x)在[a，b]上最小值为f(b)．‎ 二、填空题 ‎11．(2010·重庆中学)已知函数f(x)＝ax＋－4(a，b为常数)，f(lg2)＝0，则f(lg)＝________.‎ ‎[答案]　－8‎ ‎[解析]　令φ(x)＝ax＋，则φ(x)为奇函数，f(x)＝φ(x)－4，‎ ‎∵f(lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，‎ ‎∴f(lg)＝f(－lg2)＝φ(－lg2)－4‎ ‎＝－φ(lg2)－4＝－8.‎ ‎12．偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(x)在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k＝________.‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　∵偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．‎ 因此，若k≤0，则k－(－2)＝k＋2<3，若k>0，∵f(x)在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f(0)，又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k－0＝3，即k＝3.‎ ‎13．函数f(x)＝在(－∞，－3)上是减函数，则a的取值范围是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵f(x)＝a－在(－∞，－3)上是减函数，∴‎3a＋1<0，∴a<－.‎ ‎14．(2010·江苏无锡市调研)设a(00，则t的取值范围是______．‎ ‎[答案]　(1，)∪(0，)‎ ‎[解析]　f(logat)>0，即f(logat)>f，‎ ‎∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴logat>，‎ ‎∵00又可化为f(logat)>f，‎ ‎∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，∴0>logat>－，‎ ‎∵00且a≠1.‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；‎ ‎(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的取值集合．‎ ‎[解析]　(1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则 ，解得－11时，f(x)在定义域{x|－10⇔>1.‎ 解得00的x的取值集合是{x|00，a≠1)．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)若当x∈(1，a－2)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求实数a的值．‎ ‎[解析]　(1)依题意，f(－x)＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，即loga＋loga＝0，‎ ‎∴·＝1，∴(1－m2)x2＝0恒成立，‎ ‎∴1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1(不合题意，舍去)‎ 当m＝－1时，由>0得，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f(x)的定义域，‎ 又有f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴m＝－1是符合题意的解．‎ ‎(2)∵f(x)＝loga，‎ ‎∴f ′(x)＝′logae ‎＝·logae＝ ‎①若a>1，则logae>0‎ 当x∈(1，＋∞)时，1－x2<0，∴f ′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，‎ 即(1，＋∞)是f(x)的单调递减区间；‎ 由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递减区间．‎ ‎②若00，‎ ‎∴(1，＋∞)是f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f(x)的单调递增区间．‎ ‎(3)令t＝＝1＋，则t为x的减函数 ‎∵x∈(1，a－2)，‎ ‎∴t∈且a>3，要使f(x)的值域为(1，＋∞)，需loga＝1，解得a ‎＝2＋.‎ ‎17．(2010·山东文)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．‎ ‎[解析]　(1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．‎ f ′(x)＝，x∈(0，＋∞)，‎ 因此f ′(2)＝1，‎ 即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.‎ 又f(2)＝ln2＋2，‎ 所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，‎ 即x－y＋ln2＝0.‎ ‎(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，‎ 所以f ′(x)＝－a＋＝－　x∈(0，＋∞)．‎ 令g(x)＝ax2－x＋1－a，‎ ‎①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，‎ 当x∈(0,1)时，g(x)>0，f ′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；‎ ‎②当a≠0时，f ′(x)＝a(x－1)[x－(－1)]，‎ ‎(ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f ′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；‎ ‎(ⅱ)当01>0，‎ x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；‎ x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f ′(x)>0，f(x)单调递增；‎ x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f ′(x)<0，f(x)单调递减；‎ ‎③当a<0时，－1<0，‎ x∈(0,1)时，g(x)>0，有f ′(x)<0，f(x)单调递减 x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f ′(x)>0，f(x)单调递增．‎ 综上所述：‎ 当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；‎ 当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；‎ 当0