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  • 2021-05-14 发布

天津市2014高考数学压轴卷理含解析

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‎2014天津高考压轴卷数学理word 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,那么m的值可以是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1‎ B.‎ ‎0‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎2‎ ‎2.设集合,集合B为函数的定义域,则 ‎ (A) (B) (C)[1,2) (D) (1,2]‎ ‎3.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ ‎0‎ D.‎ ‎4.函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1﹣x),则f(x)﹣g(x)是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 奇函数 B.‎ 偶函数 ‎ ‎ C.‎ 既不是奇函数又不是偶函数 D.‎ 既是奇函数又是偶函数 ‎5.设曲线上任一点处切线斜率为,则函数的部分图象可以为.‎ ‎6.设z=2x+y,其中变量x,y满足条件,若z的最小值为3,则m的值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎2‎ C.‎ ‎3‎ D.‎ ‎4‎ ‎7.已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,过P点(x,y)引圆C:‎ ‎=1的切线,则此切线长等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2‎ ‎8.已知函数f(x)=ln(ex﹣1)(x>0)(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 若f(a)+‎2a=f(b)+3b,则a>b B.‎ 若f(a)+‎2a=f(b)+3b,则a<b ‎ ‎ C.‎ 若f(a)﹣‎2a=f(b)﹣3b,则a>b D.‎ 若f(a)﹣‎2a=f(b)﹣3b,则a<b 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎9. 设常数a∈R,若的二项展开式中x4项的系数为20,则a=  .‎ ‎10. 已知tanα=,tanβ=﹣,且0<α<,<β<π,则2α﹣β的值  .‎ ‎11.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a4=6,S4=10.则a10=  .‎ ‎12.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是(  )‎ ‎13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为______________.‎ ‎14.等腰Rt△ACB,AB=2,.以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥,D为圆锥底面一点,BD⊥CD,CH⊥AD于点H,M为AB中点,则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时,CD的长为_____________.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ ‎15. 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是黑球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,取球后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.‎ ‎(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列及数学期望;‎ ‎(Ⅱ)求乙取到白球的概率.‎ ‎16.在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程的两个根,且A+B=120°,求△ABC的面积及AB的长.‎ ‎17.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中,点E是棱AB上的动点.‎ ‎(Ⅰ)求证:DA1⊥ED1;‎ ‎(Ⅱ)若直线DA1与平面CED1成角为45°,求的值;‎ ‎(Ⅲ)写出点E到直线D‎1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明).‎ ‎18.数列{an}是递增的等差数列,且a1+a6=﹣6,a3•a4=8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值;‎ ‎(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.‎ ‎19. 已知椭圆C:的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,)在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎20. (13分)已知f(x)=lnx,g(x)=af(x)+f′(x),‎ ‎(1)求g(x)的单调区间;‎ ‎(2)当a=1时, ①比较的大小;‎ ‎②是否存在x0>0,使得|g(x)﹣g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎ 2014天津高考压轴卷数学理word参考答案 ‎1. 【答案】D.‎ ‎【解析】根据题意,若集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,‎ 必有m>1,‎ 分析选项可得,D符合;‎ 故选D.‎ ‎2. 【答案】D.‎ ‎【解析】,由得,即,所以,所以选D.‎ ‎3. 【答案】‎ ‎【解析】令y=f(x)=sin(2x+φ),‎ 则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),‎ ‎∵f(x+)为偶函数,‎ ‎∴+φ=kπ+,‎ ‎∴φ=kπ+,k∈Z,‎ ‎∴当k=0时,φ=.‎ 故φ的一个可能的值为.‎ 故选B.‎ ‎4. 【答案】‎ ‎【解析】∵f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1﹣x),‎ ‎∴f(x)﹣g(x)的定义域为(﹣1,1)‎ 记F(x)=f(x)﹣g(x)=log2,‎ 则F(﹣x)=log2=log2()﹣1=﹣log2=﹣F(x)‎ 故f(x)﹣g(x)是奇函数.‎ 故选A.‎ ‎5. 【答案】C.‎ ‎【解析】,即,所以,为偶函数,图象关于轴对称,所以排除A,B.当,得或,即函数过原点,所以选C.‎ ‎6. 【答案】A.‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域,‎ ‎∵若z的最小值为3,‎ ‎∴2x+y=3,‎ 由,‎ 解得,‎ 同时(1,1)都在直线x=m上,‎ ‎∴m=1.‎ 故选:A.‎ ‎7. 【答案】D.‎ ‎【解析】∵x+2y=3,2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8,当且仅当 x=2y=时,等号成立,‎ ‎∴当2x+4y取最小值8时,P点的坐标为(,),‎ 点P到圆心C的距离为CP==,大于圆的半径1,‎ 故切线长为==2,‎ 故选:D.‎ ‎8. 【答案】A.‎ ‎【解析】根据复合函数的单调性可知,f(x)=ln(ex﹣1)(x>0)为增函数,‎ ‎∵函数的定义域为(0,+∞).‎ ‎∴a>0,b>0,‎ 设g(x)=f(x)+2x,‎ ‎∵f(x)是增函数,‎ ‎∴当x>0时,g(x)=f(x)+2x为递增函数,‎ ‎∵f(a)+‎2a=f(b)+3b,‎ ‎∴f(a)+‎2a=f(b)+3b>f(b)+2b,‎ 即g(a)>g(b),‎ ‎∵g(x)=f(x)+2x为递增函数,‎ ‎∴a>b,‎ 故选:A.‎ ‎9. 【答案】‎ ‎【解析】∵的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•ar•x10﹣3r,‎ 令10﹣3r=4,求得 r=2,‎ 故二项展开式中x4项的系数为•a2=20,解得a=±,‎ 故答案为:±.‎ ‎10. 【答案】‎ ‎ 【解析】∵0<α<,tanα=<1=tan,y=tanx在(0,)上单调递增,‎ ‎∴0<α<,又<β<π,‎ ‎∴﹣π<2α﹣β<﹣,‎ ‎∵tan2α===,tanβ=﹣,‎ ‎∴tan(2α﹣β)===1,‎ ‎∴2α﹣β=﹣.‎ ‎11. 【答案】‎ ‎【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn,‎ ‎∵a2+a4=6,S4=10,设公差为d,‎ ‎∴,‎ 解得a1=1,d=1,‎ ‎∴a10=1+9=10.‎ 故答案为:10.‎ ‎12. 【答案】‎ ‎【解析】由三视图知:余下的几何体如图示:‎ ‎∵E、F都是侧棱的中点,‎ ‎∴上、下两部分的体积相等,‎ ‎∴几何体的体积V=×23=4.‎ ‎13. 【答案】‎ ‎ 【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25.‎ 圆心坐标(3,4),半径是5.最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E.‎ SABCD=‎ 故答案为:‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】根据题意,得 ‎∵AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AC⊥BD,‎ ‎∵CD⊥BD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD,可得BD⊥CH,‎ ‎∵CH⊥AD,AD∩BD=D,∴CH⊥平面ABD,可得CH⊥AB,‎ ‎∵CM⊥AB,CH∩CM=C,∴AB⊥平面CMH,‎ 因此,三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得,当S△CMH达到最大值时,三棱锥C﹣HAM的体积最大 设∠BCD=θ,则Rt△BCD中,BC=AB=‎ 可得CD=,BD=‎ Rt△ACD中,根据等积转换得CH==‎ Rt△ABD∽Rt△AHM,得,所以HM==‎ 因此,S△CMH=CH•HM==‎ ‎∵4+2tan2θ≥4tanθ,‎ ‎∴S△CMH=≤=,‎ 当且仅当tanθ=时,S△CMH达到最大值,三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值.‎ ‎∵tanθ=>0,可得sinθ=cosθ>0‎ ‎∴结合sin2θ+cos2θ=1,解出cos2θ=,可得cosθ=(舍负)‎ 由此可得CD==,‎ 即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时,CD的长为 故选:C ‎15. 【解析】(Ⅰ)设袋中原有n个黑球,‎ 由题意知…(1分)‎ ‎=,‎ 解得n=4或n=﹣3(舍去) …(3分)‎ ‎∴黑球有4个,白球有3个.‎ 由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5…(4分)‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎…(7分)(错一个扣一分,最多扣3分)‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎…(8分)‎ 所以数学期望为:…(9分)‎ ‎(Ⅱ)∵乙后取,‎ ‎∴乙只有可能在第二次,第四次取球,‎ 记乙取到白球为事件A,‎ 则,…(11分)‎ 答:乙取到白球的概率为.…(12分)‎ ‎16. 【解析】∵A+B=120°,∴C=60°.‎ ‎∵a、b是方程的两个根,‎ ‎∴a+b=,ab=2,‎ ‎∴S△ABC==,‎ AB=c====.‎ ‎17. 【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),设E(1,m,0)(0≤m≤1)‎ ‎(Ⅰ)证明:=(1,0,1),=(﹣1,﹣m,1)‎ ‎∴•=0‎ ‎∴DA1⊥ED1;(4分)‎ ‎(Ⅱ)解:设平面CED1的一个法向量为=(x,y,z),则 ‎∵=(0,﹣1,1),=(1,m﹣1,0)‎ ‎∴.‎ 取z=1,得y=1,x=1﹣m,得=(1﹣m,1,1).‎ ‎∵直线DA1与平面CED1成角为45°,‎ ‎∴sin45°=|cos<,>|=,‎ ‎∴=,解得m=.﹣﹣﹣﹣﹣(11分)‎ ‎(Ⅲ)解:点E到直线D‎1C距离的最大值为,此时点E在A点处.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)‎ ‎18. 【解析】(1)由得:,‎ ‎∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根,‎ ‎∴x1=﹣2,x2=﹣4;‎ ‎∵等差数列{an}是递增数列,‎ ‎∴a3=﹣4,a4=﹣2,‎ ‎∴公差d=2,a1=﹣8.‎ ‎∴an=2n﹣10;‎ ‎(2)∵Sn==n2﹣9n=﹣,‎ ‎∴(Sn)min=S4=S5=﹣20;‎ ‎(3)由an≥0得2n﹣10≥0,解得n≥5,此数列前四项为负的,第五项为0,从第六项开始为正的.‎ 当1≤n≤5且n∈N*时,‎ Tn=|a1|+|a2|+…+|an|‎ ‎=﹣(a1+a2+…+an)‎ ‎=﹣Sn ‎=﹣n2+9n;‎ 当n≥6且n∈N*时,‎ Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|‎ ‎=﹣(a1+a2+…+a5)+(a6+…+an)‎ ‎=Sn﹣2S5‎ ‎=n2﹣9n﹣2(25﹣45)‎ ‎=n2﹣9n+40.‎ ‎∴Tn=.‎ ‎19. 【解析】(1)由题意,c=1‎ ‎∵点(﹣1,)在椭圆C上,∴根据椭圆的定义可得:‎2a=,∴a=‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为;‎ ‎(2)假设x轴上存在点Q(m,0),使得恒成立 当直线l的斜率为0时,A(,0),B(﹣,0),则=﹣,∴,∴m=①‎ 当直线l的斜率不存在时,,,则•=﹣,∴‎ ‎∴m=或m=②‎ 由①②可得m=.‎ 下面证明m=时,恒成立 当直线l的斜率为0时,结论成立;‎ 当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=﹣‎ ‎∴=(x1﹣,y1)•(x2﹣,y2)=(ty1﹣)(ty2﹣)+y1y2=(t2+1)y1y2﹣t(y1+y2)+=+=﹣‎ 综上,x轴上存在点Q(,0),使得恒成立.‎ ‎20. 【解析】,‎ g(x)的定义域为(0,+∞).‎ ‎①当a≤0时,g'(x)<0,(0,+∞)是g(x)的单调区间;‎ ‎②当a>0时,由g'(x)>0,得;由g'(x)<0,得,‎ 即增区间是,减区间是.‎ ‎(2),‎ ‎∴‎ ‎①当x=1时,μ(x)=0,此时 ‎②当0<x<1时,μ'(x)<0,∴μ(x)>μ(1)=0.∴‎ ‎③当x>1时,μ'(x)<0,∴μ(x)<μ(1)=0.∴.‎ ‎(3)⇔‎ ‎⇔‎ ‎∵lnx∈(0,+∞),∴g(x0)>lnx不能恒成立.‎ 故x0不存在.‎