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- 2021-05-14 发布
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2014天津高考压轴卷数学理word
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,那么m的值可以是( )
A.
﹣1
B.
0
C.
1
D.
2
2.设集合,集合B为函数的定义域,则
(A) (B) (C)[1,2) (D) (1,2]
3.函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )
A.
B.
C.
0
D.
4.函数f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1﹣x),则f(x)﹣g(x)是( )
A.
奇函数
B.
偶函数
C.
既不是奇函数又不是偶函数
D.
既是奇函数又是偶函数
5.设曲线上任一点处切线斜率为,则函数的部分图象可以为.
6.设z=2x+y,其中变量x,y满足条件,若z的最小值为3,则m的值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
7.已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,过P点(x,y)引圆C:
=1的切线,则此切线长等于( )
A.
1
B.
C.
D.
2
8.已知函数f(x)=ln(ex﹣1)(x>0)( )
A.
若f(a)+2a=f(b)+3b,则a>b
B.
若f(a)+2a=f(b)+3b,则a<b
C.
若f(a)﹣2a=f(b)﹣3b,则a>b
D.
若f(a)﹣2a=f(b)﹣3b,则a<b
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡的相应位置.
9. 设常数a∈R,若的二项展开式中x4项的系数为20,则a= .
10. 已知tanα=,tanβ=﹣,且0<α<,<β<π,则2α﹣β的值 .
11.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a2+a4=6,S4=10.则a10= .
12.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如
图所示,那么该几何体的体积是( )
13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为______________.
14.等腰Rt△ACB,AB=2,.以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥,D为圆锥底面一点,BD⊥CD,CH⊥AD于点H,M为AB中点,则当三棱锥C﹣HAM的体积最大时,CD的长为_____________.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
15. 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是黑球的概率为,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,取球后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(Ⅰ)求随机变量ξ的分布列及数学期望;
(Ⅱ)求乙取到白球的概率.
16.在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程的两个根,且A+B=120°,求△ABC的面积及AB的长.
17.如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E是棱AB上的动点.
(Ⅰ)求证:DA1⊥ED1;
(Ⅱ)若直线DA1与平面CED1成角为45°,求的值;
(Ⅲ)写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明).
18.数列{an}是递增的等差数列,且a1+a6=﹣6,a3•a4=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值;
(3)求数列{|an|}的前n项和Tn.
19. 已知椭圆C:的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
20. (13分)已知f(x)=lnx,g(x)=af(x)+f′(x),
(1)求g(x)的单调区间;
(2)当a=1时, ①比较的大小;
②是否存在x0>0,使得|g(x)﹣g(x0)|<对任意x>0成立?若存在,求出x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
2014天津高考压轴卷数学理word参考答案
1. 【答案】D.
【解析】根据题意,若集合A={x|x>1},B={x|x<m},且A∪B=R,
必有m>1,
分析选项可得,D符合;
故选D.
2. 【答案】D.
【解析】,由得,即,所以,所以选D.
3. 【答案】
【解析】令y=f(x)=sin(2x+φ),
则f(x+)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),
∵f(x+)为偶函数,
∴+φ=kπ+,
∴φ=kπ+,k∈Z,
∴当k=0时,φ=.
故φ的一个可能的值为.
故选B.
4. 【答案】
【解析】∵f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1﹣x),
∴f(x)﹣g(x)的定义域为(﹣1,1)
记F(x)=f(x)﹣g(x)=log2,
则F(﹣x)=log2=log2()﹣1=﹣log2=﹣F(x)
故f(x)﹣g(x)是奇函数.
故选A.
5. 【答案】C.
【解析】,即,所以,为偶函数,图象关于轴对称,所以排除A,B.当,得或,即函数过原点,所以选C.
6. 【答案】A.
【解析】作出不等式组对应的平面区域,
∵若z的最小值为3,
∴2x+y=3,
由,
解得,
同时(1,1)都在直线x=m上,
∴m=1.
故选:A.
7. 【答案】D.
【解析】∵x+2y=3,2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8,当且仅当 x=2y=时,等号成立,
∴当2x+4y取最小值8时,P点的坐标为(,),
点P到圆心C的距离为CP==,大于圆的半径1,
故切线长为==2,
故选:D.
8. 【答案】A.
【解析】根据复合函数的单调性可知,f(x)=ln(ex﹣1)(x>0)为增函数,
∵函数的定义域为(0,+∞).
∴a>0,b>0,
设g(x)=f(x)+2x,
∵f(x)是增函数,
∴当x>0时,g(x)=f(x)+2x为递增函数,
∵f(a)+2a=f(b)+3b,
∴f(a)+2a=f(b)+3b>f(b)+2b,
即g(a)>g(b),
∵g(x)=f(x)+2x为递增函数,
∴a>b,
故选:A.
9. 【答案】
【解析】∵的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•ar•x10﹣3r,
令10﹣3r=4,求得 r=2,
故二项展开式中x4项的系数为•a2=20,解得a=±,
故答案为:±.
10. 【答案】
【解析】∵0<α<,tanα=<1=tan,y=tanx在(0,)上单调递增,
∴0<α<,又<β<π,
∴﹣π<2α﹣β<﹣,
∵tan2α===,tanβ=﹣,
∴tan(2α﹣β)===1,
∴2α﹣β=﹣.
11. 【答案】
【解析】等差数列{an}的前n项和为Sn,
∵a2+a4=6,S4=10,设公差为d,
∴,
解得a1=1,d=1,
∴a10=1+9=10.
故答案为:10.
12. 【答案】
【解析】由三视图知:余下的几何体如图示:
∵E、F都是侧棱的中点,
∴上、下两部分的体积相等,
∴几何体的体积V=×23=4.
13. 【答案】
【解析】圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25.
圆心坐标(3,4),半径是5.最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E.
SABCD=
故答案为:
14. 【答案】
【解析】根据题意,得
∵AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AC⊥BD,
∵CD⊥BD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD,可得BD⊥CH,
∵CH⊥AD,AD∩BD=D,∴CH⊥平面ABD,可得CH⊥AB,
∵CM⊥AB,CH∩CM=C,∴AB⊥平面CMH,
因此,三棱锥C﹣HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH由此可得,当S△CMH达到最大值时,三棱锥C﹣HAM的体积最大
设∠BCD=θ,则Rt△BCD中,BC=AB=
可得CD=,BD=
Rt△ACD中,根据等积转换得CH==
Rt△ABD∽Rt△AHM,得,所以HM==
因此,S△CMH=CH•HM==
∵4+2tan2θ≥4tanθ,
∴S△CMH=≤=,
当且仅当tanθ=时,S△CMH达到最大值,三棱锥C﹣HAM的体积同时达到最大值.
∵tanθ=>0,可得sinθ=cosθ>0
∴结合sin2θ+cos2θ=1,解出cos2θ=,可得cosθ=(舍负)
由此可得CD==,
即当三棱锥C﹣HAM的体积最大时,CD的长为
故选:C
15. 【解析】(Ⅰ)设袋中原有n个黑球,
由题意知…(1分)
=,
解得n=4或n=﹣3(舍去) …(3分)
∴黑球有4个,白球有3个.
由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5…(4分)
,
,
,
…(7分)(错一个扣一分,最多扣3分)
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
…(8分)
所以数学期望为:…(9分)
(Ⅱ)∵乙后取,
∴乙只有可能在第二次,第四次取球,
记乙取到白球为事件A,
则,…(11分)
答:乙取到白球的概率为.…(12分)
16. 【解析】∵A+B=120°,∴C=60°.
∵a、b是方程的两个根,
∴a+b=,ab=2,
∴S△ABC==,
AB=c====.
17. 【解析】以D为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),设E(1,m,0)(0≤m≤1)
(Ⅰ)证明:=(1,0,1),=(﹣1,﹣m,1)
∴•=0
∴DA1⊥ED1;(4分)
(Ⅱ)解:设平面CED1的一个法向量为=(x,y,z),则
∵=(0,﹣1,1),=(1,m﹣1,0)
∴.
取z=1,得y=1,x=1﹣m,得=(1﹣m,1,1).
∵直线DA1与平面CED1成角为45°,
∴sin45°=|cos<,>|=,
∴=,解得m=.﹣﹣﹣﹣﹣(11分)
(Ⅲ)解:点E到直线D1C距离的最大值为,此时点E在A点处.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14分)
18. 【解析】(1)由得:,
∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根,
∴x1=﹣2,x2=﹣4;
∵等差数列{an}是递增数列,
∴a3=﹣4,a4=﹣2,
∴公差d=2,a1=﹣8.
∴an=2n﹣10;
(2)∵Sn==n2﹣9n=﹣,
∴(Sn)min=S4=S5=﹣20;
(3)由an≥0得2n﹣10≥0,解得n≥5,此数列前四项为负的,第五项为0,从第六项开始为正的.
当1≤n≤5且n∈N*时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=﹣(a1+a2+…+an)
=﹣Sn
=﹣n2+9n;
当n≥6且n∈N*时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|
=﹣(a1+a2+…+a5)+(a6+…+an)
=Sn﹣2S5
=n2﹣9n﹣2(25﹣45)
=n2﹣9n+40.
∴Tn=.
19. 【解析】(1)由题意,c=1
∵点(﹣1,)在椭圆C上,∴根据椭圆的定义可得:2a=,∴a=
∴b2=a2﹣c2=1,
∴椭圆C的标准方程为;
(2)假设x轴上存在点Q(m,0),使得恒成立
当直线l的斜率为0时,A(,0),B(﹣,0),则=﹣,∴,∴m=①
当直线l的斜率不存在时,,,则•=﹣,∴
∴m=或m=②
由①②可得m=.
下面证明m=时,恒成立
当直线l的斜率为0时,结论成立;
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)
直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=﹣
∴=(x1﹣,y1)•(x2﹣,y2)=(ty1﹣)(ty2﹣)+y1y2=(t2+1)y1y2﹣t(y1+y2)+=+=﹣
综上,x轴上存在点Q(,0),使得恒成立.
20. 【解析】,
g(x)的定义域为(0,+∞).
①当a≤0时,g'(x)<0,(0,+∞)是g(x)的单调区间;
②当a>0时,由g'(x)>0,得;由g'(x)<0,得,
即增区间是,减区间是.
(2),
∴
①当x=1时,μ(x)=0,此时
②当0<x<1时,μ'(x)<0,∴μ(x)>μ(1)=0.∴
③当x>1时,μ'(x)<0,∴μ(x)<μ(1)=0.∴.
(3)⇔
⇔
∵lnx∈(0,+∞),∴g(x0)>lnx不能恒成立.
故x0不存在.