2014高考总复习单元检测平面向量 8页

第五章　单元测试 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)‎ ‎1．与向量a＝(－5,12)方向相反的单位向量是 (　　)‎ A．(5，－12)　　　　　　　　 B．(－，)‎ C．(，－) D．(，－)‎ 答案　D 解析　与a方向相反的向量只能选A，D，其中单位向量只有D.‎ 也可用公式n＝－＝－＝(，－)求得．‎ ‎2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b夹角为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，四边形ABCD为平行四边形，△ABC为边长为1的等边三角形，记＝a，＝b，则a与b的夹角为，故选C. ‎ ‎3．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于 (　　)‎ A．2－ B．－＋2 C.－ D．－＋ 答案　A 解析　＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－.故选A.‎ ‎4．已知复数z＝，则＋等于 (　　)‎ A．0 B．1‎ C．－1 D．2‎ 答案　A 解析　z＝＝＝＝－1，所以＋＝1－1＝0.故选A.‎ ‎5．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－ i的“错位共轭”复数为 (　　)‎ A．－－i B．－＋i C.＋i D.＋i 答案　D 解析　方法一　由(z－i)(－i)＝1可得z－i＝＝＋i，所以z＝＋i.‎ 方法二　(z－i)(－i)＝1且|－i|＝1，所以z－i和－i是共轭复数，即z－i＝＋i，故z＝＋i.‎ ‎6．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于 (　　)‎ A．(2,1) B．(1,0)‎ C．(，) D．(0，－1)‎ 答案　A 解析　设c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b可得解得因此c＝(2,1)．‎ ‎7．已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋b|＝，〈a，b〉＝，则|b|＝ (　　)‎ A．2 B．3‎ C. D．4‎ 答案　A 解析　由|a＋b|＝，可得|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×|b|cos＋|b|2＝7，所以|b|2＋|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－3(舍去)．故选A.‎ ‎8．若O为平面内任一点且(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形但不一定是直角三角形 D．直角三角形但不一定是等腰三角形 答案　C 解析　由(＋－2)(－)＝0，得(＋)·(－)＝0.‎ ‎∴－＝0，即||＝||.‎ ‎∴AB＝AC.‎ ‎9．设a＝(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为 (　　)‎ A．(2,14) B．(2，－)‎ C．(－2，－) D．(3,6)‎ 答案　B 解析　方法一　(验证排除法)‎ ‎∵b在x轴上的投影为2，‎ ‎∴b的横坐标为2，排除C，D项；又|b|≤14，排除A项；故选B.‎ 方法二　设向量b＝(2，y)，由题意得＝cosα＝＝.将a＝(4,3)，b＝(2，y)代入上式计算，得y＝－或y＝14.又|b|≤14，故y＝14不合题意，舍去．‎ 则y＝－，即b＝(2，－)．‎ 故应选B.‎ ‎10．与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量是(　　)[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ A．(，－)‎ B．(，－)或(－，)[来源:Zxxk.Com]‎ C．(，－)‎ D．(，－)或(－，－)‎ 答案　B 解析　方法一　|a|＝|b|，要使所求向量e与a、b夹角相等，只需a·e＝b·e.‎ ‎∵(，)·(，－)＝(，－)·(，－)＝，排除C、D.‎ 又∵(，)·(－，)＝(，－)·(，)＝－.∴排除A.‎ 方法二　设a＝，b＝.由已知得|a|＝|b|，a⊥b，则与向量a，b的夹角相等的向量在∠AOB的角平分线上，与a＋b共线．∵a＋b＝(4，－3)，∴与a＋b共线的单位向量为±＝±(，－)，即( ‎，－)或(－，)．‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)‎ ‎11．已知复数z＝，是z的共轭复数，则的模等于________．‎ 答案　1‎ 解析　z＝＝＝＝－i，||＝|i|＝1.‎ ‎12．已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上三点，＋＝，则·＝________.‎ 答案　－ 解析　由题意知，OACB为菱形，且∠OAC＝60°，AB＝，∴·＝×1×cos150°＝－.‎ ‎13．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝________.‎ 答案　3‎ 解析　易知a＋b＝(3，n＋1)，a·b＝2＋n.∵|a＋b|＝a·b，∴＝2＋n，解得n＝3.‎ ‎14．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________.‎ 答案　3[来源:Z+xx+k.Com]‎ 解析　方法一　如图所示，‎ ‎∵·＝0，∴⊥.‎ 不妨设||＝2，过C作⊥于D，⊥于E，则四边形ODCE是矩形．‎ ＝＋＝＋.‎ ‎∵||＝2，∠COD＝30°，‎ ‎∴||＝1，||＝.‎ 又∵||＝，||＝1，‎ 故＝ ，＝.‎ ‎∴＝ ＋，此时m＝，n＝.‎ ‎∴＝＝3.‎ 方法二　由·＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知＝(1,0)，＝(0，)，又由＝m＋n，可知＝(m，n)，故由tan30°＝＝，可知＝3.‎ ‎15．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________．‎ 答案　±2‎ 解析　如图，‎ 作平行四边形OADB，则＋＝，－＝，∴||＝||.‎ 又||＝||，∴四边形OADB为正方形，易知||为直线在y轴上的截距大小，a＝2.验证a＝－2时，成立．‎ ‎16．对于向量a，b，c，给出下列四个命题：‎ ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎②若a＝|c|·b，c＝|b|·a，则|a|＝|b|＝|c|＝1；‎ ‎③若|a|＝|b|＝2，则(a＋b)⊥(a－b)；‎ ‎④若|a·b|＝|b·c|且b≠0，则|a|＝|c|.‎ 其中正确的命题序号是________．‎ 答案　③‎ 解析　当b＝0时，①不正确；当b＝0时，且c＝0时，②不正确；③中，∵|a|＝|b|＝2，∴(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)，故③正确；④中取a≠0且a⊥b，而c＝0时，则结论不正确，故④不正确．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝(2cos，sin)，n＝(cos，－2sin)，m·n＝－1.[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎(1)求cosA的值；‎ ‎(2)若a＝2，b＝2，求c的值．‎ 答案　(1)－　(2)2‎ 解析　(1)∵m＝(2cos，sin)，n＝(cos，－2sin)，m·n＝－1，∴2cos2－2sin2＝－1，∴cosA＝－.‎ ‎(2)由(1)知cosA＝－，且00)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在[0，]上的值域．‎ 解析　(1)f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝A(sin2x＋cos2x)＝Asin(2x＋)．‎ 因为A>0，由题意知A＝6.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝6sin(2x＋)．‎ 将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位后得到 y＝6sin[2(x＋)＋]＝6sin(2x＋)的图像；‎ 再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋)的图像．‎ 因此g(x)＝6sin(4x＋)．‎ 因为x∈[0，]，所以4x＋∈[，]．‎ 故g(x)在[0，]上的值域为[－3,6]． ‎