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  • 2021-05-14 发布

2014高考总复习单元检测平面向量

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第五章 单元测试 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)‎ ‎1.与向量a=(-5,12)方向相反的单位向量是 (  )‎ A.(5,-12)         B.(-,)‎ C.(,-) D.(,-)‎ 答案 D 解析 与a方向相反的向量只能选A,D,其中单位向量只有D.‎ 也可用公式n=-=-=(,-)求得.‎ ‎2.设向量a,b均为单位向量,且|a+b|=1,则a与b夹角为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 如图,四边形ABCD为平行四边形,△ABC为边长为1的等边三角形,记=a,=b,则a与b的夹角为,故选C. ‎ ‎3.已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于 (  )‎ A.2- B.-+2 C.- D.-+ 答案 A 解析 =+=+2=+2(-),∴=2-.故选A.‎ ‎4.已知复数z=,则+等于 (  )‎ A.0 B.1‎ C.-1 D.2‎ 答案 A 解析 z====-1,所以+=1-1=0.故选A.‎ ‎5.对于复数z1,z2,若(z1-i)z2=1,则称z1是z2的“错位共轭”复数,则复数- i的“错位共轭”复数为 (  )‎ A.--i B.-+i C.+i D.+i 答案 D 解析 方法一 由(z-i)(-i)=1可得z-i==+i,所以z=+i.‎ 方法二 (z-i)(-i)=1且|-i|=1,所以z-i和-i是共轭复数,即z-i=+i,故z=+i.‎ ‎6.已知向量a=(1,-1),b=(1,2),向量c满足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,则c等于 (  )‎ A.(2,1) B.(1,0)‎ C.(,) D.(0,-1)‎ 答案 A 解析 设c=(x,y),由(c+b)⊥a,(c-a)∥b可得解得因此c=(2,1).‎ ‎7.已知向量a,b满足|a|=1,|a+b|=,〈a,b〉=,则|b|= (  )‎ A.2 B.3‎ C. D.4‎ 答案 A 解析 由|a+b|=,可得|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×|b|cos+|b|2=7,所以|b|2+|b|-6=0,解得|b|=2或|b|=-3(舍去).故选A.‎ ‎8.若O为平面内任一点且(+-2)·(-)=0,则△ABC是(  )‎ A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C 解析 由(+-2)(-)=0,得(+)·(-)=0.‎ ‎∴-=0,即||=||.‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎9.设a=(4,3),a在b上的投影为,b在x轴上的投影为2,且|b|≤14,则b为 (  )‎ A.(2,14) B.(2,-)‎ C.(-2,-) D.(3,6)‎ 答案 B 解析 方法一 (验证排除法)‎ ‎∵b在x轴上的投影为2,‎ ‎∴b的横坐标为2,排除C,D项;又|b|≤14,排除A项;故选B.‎ 方法二 设向量b=(2,y),由题意得=cosα==.将a=(4,3),b=(2,y)代入上式计算,得y=-或y=14.又|b|≤14,故y=14不合题意,舍去.‎ 则y=-,即b=(2,-).‎ 故应选B.‎ ‎10.与向量a=(,),b=(,-)的夹角相等,且模为1的向量是(  )[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ A.(,-)‎ B.(,-)或(-,)[来源:Zxxk.Com]‎ C.(,-)‎ D.(,-)或(-,-)‎ 答案 B 解析 方法一 |a|=|b|,要使所求向量e与a、b夹角相等,只需a·e=b·e.‎ ‎∵(,)·(,-)=(,-)·(,-)=,排除C、D.‎ 又∵(,)·(-,)=(,-)·(,)=-.∴排除A.‎ 方法二 设a=,b=.由已知得|a|=|b|,a⊥b,则与向量a,b的夹角相等的向量在∠AOB的角平分线上,与a+b共线.∵a+b=(4,-3),∴与a+b共线的单位向量为±=±(,-),即( ‎,-)或(-,).‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)‎ ‎11.已知复数z=,是z的共轭复数,则的模等于________.‎ 答案 1‎ 解析 z====-i,||=|i|=1.‎ ‎12.已知A,B,C是圆O:x2+y2=1上三点,+=,则·=________.‎ 答案 - 解析 由题意知,OACB为菱形,且∠OAC=60°,AB=,∴·=×1×cos150°=-.‎ ‎13.已知向量a=(1,1),b=(2,n),若|a+b|=a·b,则n=________.‎ 答案 3‎ 解析 易知a+b=(3,n+1),a·b=2+n.∵|a+b|=a·b,∴=2+n,解得n=3.‎ ‎14.已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R),则=________.‎ 答案 3[来源:Z+xx+k.Com]‎ 解析 方法一 如图所示,‎ ‎∵·=0,∴⊥.‎ 不妨设||=2,过C作⊥于D,⊥于E,则四边形ODCE是矩形.‎ =+=+.‎ ‎∵||=2,∠COD=30°,‎ ‎∴||=1,||=.‎ 又∵||=,||=1,‎ 故= ,=.‎ ‎∴= +,此时m=,n=.‎ ‎∴==3.‎ 方法二 由·=0知△AOB为直角三角形,以OA,OB所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则可知=(1,0),=(0,),又由=m+n,可知=(m,n),故由tan30°==,可知=3.‎ ‎15.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为坐标原点,则实数a的值为________.‎ 答案 ±2‎ 解析 如图,‎ 作平行四边形OADB,则+=,-=,∴||=||.‎ 又||=||,∴四边形OADB为正方形,易知||为直线在y轴上的截距大小,a=2.验证a=-2时,成立.‎ ‎16.对于向量a,b,c,给出下列四个命题:‎ ‎①若a∥b,b∥c,则a∥c;‎ ‎②若a=|c|·b,c=|b|·a,则|a|=|b|=|c|=1;‎ ‎③若|a|=|b|=2,则(a+b)⊥(a-b);‎ ‎④若|a·b|=|b·c|且b≠0,则|a|=|c|.‎ 其中正确的命题序号是________.‎ 答案 ③‎ 解析 当b=0时,①不正确;当b=0时,且c=0时,②不正确;③中,∵|a|=|b|=2,∴(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0.∴(a+b)⊥(a-b),故③正确;④中取a≠0且a⊥b,而c=0时,则结论不正确,故④不正确.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量m=(2cos,sin),n=(cos,-2sin),m·n=-1.[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎(1)求cosA的值;‎ ‎(2)若a=2,b=2,求c的值.‎ 答案 (1)- (2)2‎ 解析 (1)∵m=(2cos,sin),n=(cos,-2sin),m·n=-1,∴2cos2-2sin2=-1,∴cosA=-.‎ ‎(2)由(1)知cosA=-,且00),函数f(x)=m·n的最大值为6.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)在[0,]上的值域.‎ 解析 (1)f(x)=m·n=Asinxcosx+cos2x=A(sin2x+cos2x)=Asin(2x+).‎ 因为A>0,由题意知A=6.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=6sin(2x+).‎ 将函数y=f(x)的图像向左平移个单位后得到 y=6sin[2(x+)+]=6sin(2x+)的图像;‎ 再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+)的图像.‎ 因此g(x)=6sin(4x+).‎ 因为x∈[0,],所以4x+∈[,].‎ 故g(x)在[0,]上的值域为[-3,6]. ‎