江苏版高考数学一轮复习讲练测专题33导数的综合应用测 13页

专题3.3 导数的综合应用 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ ‎(满分100分，测试时间50分钟)‎ 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．‎ ‎1. 【2017课标3，理11改编】已知函数有唯一零点，则a=_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数.表示中的最小值，若函数 恰有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，因为，所以要使恰有三个零点，须满足，解得 ‎3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：令，则，因为为偶函数，所以，因此 ‎4. 【2017届高三七校联考期中考试】若，且对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 则在上恒成立，恒成立 令，‎ ‎，为减函数，在的最大值为 综上，实数的取值范围为.‎ ‎5. f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】由y′＝x2－39x－40＝0，‎ 得x＝－1或x＝40，‎ 由于040时，y′>0.‎ 所以当x＝40时，y有最小值．‎ ‎8.函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－∞，0)‎ ‎【解析】f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．‎ ‎∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.‎ 要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.‎ ‎9.函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．‎ ‎【答案】21‎ ‎10.设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1、x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．‎ ‎【答案】[1，＋∞)‎ 解析】因为对任意x1、x2∈(0，＋∞)，‎ 不等式≤恒成立，所以≥max.‎ 因为g(x)＝，‎ 所以g′(x)＝(xe2－x)′＝e2－x＋xe2－x·(－1)＝e2－x(1－x)．‎ 当00；当x>1时，g′(x)<0，‎ 所以g(x)在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．‎ 所以当x＝1时，g(x)取到最大值，即g(x)max＝g(1)＝e；‎ 因为f(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，‎ f(x)＝e2x＋≥2e，当且仅当e2x＝，‎ 即x＝时取等号，故f(x)min＝2e.‎ 所以max＝＝.‎ 所以≥.又因为k为正数，所以k≥1.‎ 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．‎ ‎11. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）‎ 已知，定义．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，且存在使，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，试讨论函数的零点个数．‎ ‎【答案】（1）的极大值为1，极小值为；（2）；（3）当时， 有两个零点；当时，有一个零点；当时，有无零点．‎ ‎【解析】‎ 数，可得存在使得时，，在一个零点，当时无零点，最终可得零点个数为2．‎ 试题解析：（1）∵函数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　1分 令，得或，∵，∴，列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ‎（3）由（1）知，在上的最小值为，‎ ‎①当，即时，在上恒成立，‎ ‎∴在上无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎②当即时，，又，‎ ‎∴在上有一个零点，．．．．．．．．．．．．．．9分 ‎③当，即时，设，‎ ‎∵，∴在上单调递减，‎ ‎12．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，使成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，‎ 在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取 当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，‎ 的最小值为. ‎ 综上，当时，；当时，. …………………3分 ‎（2）,对于任意的，不妨取，则,‎ 则由可得， ‎ 变形得恒成立， ………………………5分 令，‎ 则在上单调递增， ‎ 故在恒成立， ………………………7分 在恒成立.‎ ‎，当且仅当时取，‎ ‎. ………………………10分 ‎13. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；‎ ‎（3）若存在不等实数，，使得，证明：．‎ ‎【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在（3）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是，单调递增区间为．（2）构造函数，，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点，即，‎ 故不存在正实数使得成立．‎ ‎（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．‎ ‎①若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；‎ ‎②若，由（2）知：当，则有，‎ 而，所以，即，‎ 而，，由（1）知：函数在上单调递减，‎ ‎∴，即有，‎ 由（1）知：函数在上单调递减，所以；‎ 综合①，②得：若存在不等实数，，使得，则总有．‎ ‎14. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.‎ ‎【答案】（1）2x－y－2＝0．（2）详见解析（3）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由导数几何意义得曲线在处的切线斜率为f ′(1)，所以先求导f ′(x)＝2x －1＋，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f(1)＝0，利用点斜式可得切线方程：2x－y－2＝0．（2）先求函数导数：f ′(x)＝2ax－(‎2a＋1)＋＝．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a≤0时，一个零 即2x－y－2＝0． …………………… 3分 ‎（2）因为b＝‎2a＋1，所以f(x)＝ax2－(‎2a＋1)x＋lnx，‎ 从而f ′(x)＝2ax－(‎2a＋1)＋＝＝，x＞0． ………… 5分 当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，‎ 所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减．‎ ‎…………………… 10分 ‎（3）方法一：因为a＝1，所以f(x)＝x2－bx＋lnx，从而f ′(x)＝ (x＞0)．‎ 由题意知，x1，x2是方程2x2－bx＋1＝0的两个根，故x1x2＝．‎ 记g(x) ＝2x2－bx＋1，因为b＞3，所以g()＝＜0，g(1)＝3－b＜0，‎ 所以x1∈(0，)，x2∈(1，＋∞)，且bxi＝2＋1 (i＝1，2)． …………………… 12分 f(x1)－f(x2)＝()－(bx1－bx2)＋ln＝－()＋ln．‎ 因为x1x2＝，所以f(x1)－f(x2)＝－－ln(2)，x2∈(1，＋∞)． ……………… 14分 令t＝2∈(2，＋∞)，φ(t)＝f(x1)－f(x2)＝－lnt． ‎ 因为φ′(t)＝≥0，所以φ(t)在区间(2，＋∞)单调递增，‎ 所以φ(t)＞φ(2)＝－ln2，即f(x1)－f(x2)＞－ln2． …………………… 16分