高考数学第二轮总复习讲义 35页

专题内容： 高考集合映射与不等式题型分析与预测 一、方法概述 ① 对于集合:首先要认清构成集合的元素所具有的性质(如不等式的解集、函数的定 义域或值域、平面曲线或区域等），然后要注意运用数形结合，借助数轴、文氏图、几何 曲线或平面区域的直观显示，简化转化过程，提高解题速度。 ② 映射：口诀:以原象集合为基础，要求每元必有象，且象唯一。 ③ 判断充要条件，要分清谁是条件,谁是结论,然后坚持“双向”考查的原则；对于 具体的数集，可以运用口诀:“以条件集合为基础，小充分，大必要”去处理。 ④ 注意原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价转换，并能加以灵活运用。 二、 典例分析与解答： ★【※题 1】①设集合 A=｛x|x=4n+2,n∈Z｝,B=｛y|y=4m+3,m∈Z｝,当 x0∈A,y0∈B,给出 下列四个结论：① x0+ y0∈B ② x0 y0∈A ③x0 - y0∈B ④x0- y0∈A，其中正确结论的序 号为______(答案:②③) ②设全集 U=｛(x,y)|x,y∈R｝,集合 A=｛(x,y)|2x-y+m>0｝, B=｛(x,y)|x+y-n≤0｝,已知 m>-1,n<5,则下列结论正确的是( C )： A （2，3）∈A∩B B (2,3)∈( CUA)∩B C (2,3)∈A∩(CUB) D (2,3)∈( CUA)∩(CUB) ③设 M，N 为全集 U 的非空子集，定义集合 M-N=｛x|x∈M 且 x∈CUN｝,则 M-（M-N） =（ ） A M B N C M∪N D M∩N 解、可取 U=｛1，2，3｝，M=｛1，2｝，N=｛2，3｝去验证，选（D） ★【※题 2】已知函数（x）=a·bx 的图象经过两点 A（4，1 4）和 B（5，1），设 an= log2（n）(n∈N*),数列｛an｝的前 n 项之和为 Sn,集合 M=｛n∈N*| an ·Sn≤0｝试求 出集合 M 中的各个元素,并用列举法出来. 解、①（n）=22n-10,则 an=2n-10； ②Sn=n2-9n,由 an ·Sn，则（2n-10）（n2-9n）≤0； 则 5≤n≤9, ∴M=｛5,6,7,8,9｝ ★【※题 3】已知集合 M 是满足下列性质的函数（x）的全体：存在非零常数 T，对任意 x∈R，有（x+T）=T（x）成立。①试判断函数（x）=x 是否属于集合 M，并说明理由； ②设（x）=ax(a>0,a≠1)的图象与直线 y=x 有公共点，证明：（x）=ax∈M 解、①不属于； ②由 ax=x 有解，则有 aT=T,则对于函数（x）=ax,有（x+T）=ax+T= aT·ax=T·ax= T（x）恒成立,∴（x）=ax∈M ★【※题 4】①设集合 A=｛x|x2-x<0｝,B=｛x|x20 恒成立的充要条件是_______(c> a2 + b2) ④已知函数（x）=2cosx(sinx+acosx)-a,其中 a 为常数,则函数（x)的图象关于直线 x=- π 8 对称的充要条件是_______(答案:a=-1) ★【※题 6】已知数列数列｛an｝满足: a1 >0,且 a1 ≠1,an+1 = 2an 1 + an (n∈N*),设 bn =an + p an (p≠0,为常数),求数列{bn }为等比数列的充要条件 解、bn =an + p an ,则 an= p bn - 1;考查 bn+1 =an + 1 + p an + 1 = +p =1+ p 2an +p 2 =1+p 2 +p 2×bn - 1 p =p 2 +1 2+1 2bn ，则 p=-1 ★【※题 7】①设直线 2x-y+c=0 按向量a=（1，-1）平移后与圆 x2+y2=5 相切，则 c=______（答案： 8 或-2) ②函数（x）=x2-2ax-3 在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是_____(答案:a≤1 2 π 2 π 3 1 7 1 3 1 7 1 1 lim x→ 7 1 3 1 或 a≥2) ③已知椭圆 x2 m + 1+y2=1 的两个焦点 F1、F2 在 x 轴上，则椭圆上存在点 P，使 PF1⊥PF2 的充要 条件是_____(答案:由 c= m≥b 则 m≥1) ★【※题 8】过椭圆 (a>b>0)的左焦点 F,任做一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,M 为 x 轴上的一点,求证:∠AMB 被 x 轴平分的充要条件是点 M 为椭圆的左 准线 与 x 轴的交点 解、扣住 Rt△ACM～Rt△BDM 去处理 三、课堂小结 注意领会集合、映射的概念，掌握充要条件的判断方法。注意数形结合思想、转化与化归思想的运用。 四、今日训练作业；《专题透析》P1-10 专题内容： 高考函数题型分析与预测 一、 方法概述 1、 处理函数问题，务必树立定义域优先的思想; 2、 函数的值域、单调性、最值是联系在一起的；运用函数的性质解题时，注意数形 结合，扬长避短→常规函数；画出图象；非常规函数，画出单调性示意图； 3、 指数函数 y=ax、对数函数 y=logax：①分两类：01；②牢记图象：注意 定义域、值域、单调性、特殊点，靠近线等；③（x+a）；（x）+a；（|x|）；| （x）|；（-x）；-（-x）等的图象要能迅速做出；④在同一坐标系下几个不同图象的 比较: 指数函数 y=ax 盯住在 x=1 的点;对数函数 y=logax 盯住在直线 x=1 的右边,有 “底大图低” 4、 函数的周期性、对称性：①、若（x+a）=（x+b）或（x+T）=（x），则 （x）具有周期性；若（a+x）=（b-x），则（x）具有对称性；“内同表示周期性， 内反表示对称性”；②、周期性：1）（x+a）=-（x）；2）（x+a）= 1 （x）；3） （x+a）=1 + （x） 1 - （x）；则（x）的周期分别为 2a,2a,4a; ③、1)（x+a）=（a-x）;2)（x+a）=（b-x）;则（x）对称轴分别为 x=a,x= a + b 2 ；④若有（x+a）=-（b-x）,则函数（x）的图象关于点（a + b 2 ,0)中心对称，特 别地，若（x+a）=-（a-x），则函数（x）的图象关于点（a,0）中心对称；⑤周期性与 对称性是相互联系、紧密相关的：1）若（x）的图象有两条对称轴 x=a 和 x=b(a≠b)，则 （x）必为周期函数，其一个周期是 2|b-a|； 2）若（x）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则（x）必为周期函数，其 一个周期是 2|b-a|；3）若（x）的图象有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则 （x）必为周期函数，其一个周期是 4|b-a|；若函数的图象同时具备两种对称性，两条对 称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。 5、注意原函数与反函数之间的内在联系；注意方程、不等式、函数之间的相互转化；注 意数列是特殊的一种函数；加强导数的工具性作用。 2 2 2 2 1x y a b + = 6、函数的奇偶性：①图象性质 ②函数恒等式性质 二、典例分析与解答 ★【※题 1】①若关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根，则实数 a 的取值范围是 （ A ） A（0，1] B（-∞，1] C[0，1] D （-∞，1] ②设 m>1 为常数,若函数 （x）=x2 2 -x+3 2的定义和域和值域都是 [1,m],则 m 的值为 ___(答案：m=3) ③设、是关于 x 的方程 x2+ax+2b=0(a、b∈R)的两根，若∈（0，1）；∈（1， 2），则b - 2 a - 1的取值范围是____(答案:(1 4,1)) ④已知函数（x）=-x2+ax+b2-b+1 对任意的 x∈R 都有（1+x）=（1-x）成立,且对任 意 x∈[-1,1]都有（x）>0 成立,则 b 的取值范围是( D ) A (-1,0) B (2,+∞) C (-∞,-1) D (-∞,-1)∪(2,+∞) ⑤设函数（x）=ax2+bx+c(b<0)满足（x+2）=（-x）(x∈R),则下列不等式正确的有 ( C ) A （3x）>（2x） B （3x） <（2x） C （3x）≥（2x） D （3x）≤（2x） ⑥已知函数（x）=ax 2+bx+c,若 a,b,c 成等比数列,且（0）= -4,则（x)的值域为 ______(答案:(-∞,-3]) ★ ★【※题 2】①已知关于 x 的方程 x2-4|x|+5=m 有四个不相等的实根,则 m 的取值范围是 _____(答案:(1,5) ②已知（x）=4x 2-mx+5 在(-2,+∞)上是单调增函数,则（1）与 25 的大小关系是 ______(答案:（1）≥25) ③已知（x）是定义于 R 上的增函数,且（0）=-1,（3）=1,则不等式|（x+1）|<1 的 解集是______(答案:(-1,2)) ④已知函数（x）=2x3+3x,x∈(-1,1)则满足（a2-1）+（a-1）<0 的实数 a 的取值范围 是_____答案:(0,1)) ★【※题 3】①已知函数（x）=x3,若当∈[0, ]时,不等式 （msin）+（1-m）>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是多少?(答案:m<1) ②已知定义于[-π,π]上的函数（x）、g（x）分别是偶函数、奇函 数， 且它们在[0，π]上的图象如图所示，则不等式（x） g（x） <0 的解集是_____ (答案:(- ,0)∪( ,π)) ③已知（x）是定义于 R 上的以 2 为周期的周期函数,且当 x∈(-1,1]时, （x）=x2,若 关于 x 的方程 （x）+ax=0 在(1,3]内有两个不等的实数根,则实数 a 的取值范围是______(答 案:[ -1 3 ,0)) ④已知函数 g（x）=2x-1,函数 y=（x）是 y= g（x）的反函数,设 a>b>c>0,则下列正确的 是( C ) A（a） a <（c） c <（b） b B （c） c <（a） a <（b） b C （a） a <（b） b <（c） c D （c） c <（b） b <（a） a ★【※题 4】已知定义于(0,+∞)上的函数（x）满足（xy）=（x）+（y）(x,y>0), 2 π 3 π 3 π （ ）=1,且当 x>1 时, （x）<0,①确定（x）在(0,+∞)上的单调性; ②求（4）的 值; ③求不等式（x）+（5-x）+2≥0 的解集 解、①凑:设 x1>x2>0,则（x1）-（x2）=（x1 x2·x2）-（x2）=（x1 x2）<0,则（x） 是↘ ②（4）=-2 ③不等式的解集为(0,1]∪[4,5) ★ 【※题 5】已知（x）=log2(2x-a),若对任意的 x∈[0,+∞)都有（2x）>-1 （x）成立,求实数 a 的取值范围 解、-1（x）= log2(2x+a),a∈(-1,0) ★【※题 6】已知函数（x）的图象与曲线 C 关于 y 轴对称，把曲线 C 沿 x 轴负方 向平移 1 个单位之后恰好与函数 y=| log2(-x-2)|的图象重合； ①求函数（x）的解析式； ②若实数 a,b 满足 10)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆 x2+y2=r2 上,则(x)的最 小正周期是______(答案:4) ③已知函数 y=sin(ωx+)(ω>0,0<<π)是偶函数,其图象关于点 M( ,0)对称,且在[0, ]上是单调 函数,求ω和的值.(答案:= ;ω=2 或 2 3) ★【※题 4】已知函数(x)= sinωxcosωx-cos2ωx+ 3 2(ω≠0)的最小正周期是π,且图象关于直线 x= 对 称,①求出ω之值; ②若当 x∈[0, ]时,|a+(x)|<4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解、①(x)= -sin（2x+ ）+1；②|a+(x)|<4 恒成立[-4-(x)]max0)个单位,得到曲线 C′,若曲线 C′关于点( ,0)对称, 则 a 的最小值是_____(答案: 3π 8 ) 【※题 6】①已知a=(1,1)a与a+2 b的方向相同,则a·b的取值范围是_______(答案:(-1,+∞)) ②已知非零向量AB与AC满足(||+|| )·BC=0,且||·||= ,则△ABC 为(D ) A 钝角△ B Rt△ C 等腰非等边△ D 等边△ ③已知OA=(3,1),OB=(-1,2),若OC⊥OB,且BC∥OA,则OC=________(答案:(14,7)) ④已知向量a=(1,-2),b=(1,),若a与b的夹角为锐角,则实数的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪(-2, )) 【※题 7】设函数(x)= a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx, sin2x),①当(x)=1- ,且 x∈[- , ],求 x; ②若函数 y=2sin2x 的图象按向量c=(m,n)(|m|< )平移后得到函数 y=(x)的图象,求实数 m,n 之值. 8 π 4 π 3 π 5 6 π 5 6 π 4 π 3 3 4 π 2 π 2 π 3 6 π 2 π 6 π 3 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 4 π 4 π 4 π 2 1 2 1 3 3 3 π 3 π 2 π 解:①(x)=2sin(2x+ )+1,则 x=- ②m= -π 12 , n=1 ★【※题 8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞; 卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作 y=(t),下面是该港口 在某季节每天水深的数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经过长期观察, y=(t)曲线可以近似地看作函数 y=Asinωt+k 的图象 ①根据以上数据,求出函数 y=(t)的近似表达式; ②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5m,如果 该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间) 解:①y=3sin t+10; ②y=3sin t+10≥5+6.5,则 1≤t≤5 或 13≤t≤17,则最多可停留 16 个小时. ★【※题 9】①设 O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+(AB+AC),∈ [0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(D ) A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 ②将上题中的条件改为OP=OA+(||+||)则应选(C) 【※题 10】设△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, (Ⅰ)给出下列两个条件:➊a,b,c 成等差数列; ➋a,b,c 成等比数列; (Ⅱ)给出下列三个结论:①0 )的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为（D ） A 2 B C 2 3 D 2 3 ②把椭圆 的长轴 AB 分成 8 等分，过每一个分点作 x 轴的垂线， 分别交椭圆的上半部分于 P1，P2，…P7 七个点，F 是椭圆的左焦点，求 |P1F|+|P2F|+…|P7F|之值______(答案:所求=7×2+ 3 4 (1+2+3+4+5+6+7)=35 ) ③双曲线 C: 的右顶点为 A,x 轴上有一点 Q(2a,0),若 C 上存在一点 P,使 AP⊥PQ,则此双曲线的离心 率的取值范围是( B ) 2 6 2 2 12 x y− = 2 2 14 2 x y− = 2 2 12 4 x y− = 2 2 12 4 y x− = 2 2 14 2 y x− = 2 2 13 2 x y+ = 2 1 2 2 13 x y− = 2 2 1( 1)3 x y x− = > 2 2 13 yx − = 2 2 1( 1)3 yx x− = > 2 2 112 16 x y+ = 2 2 2 12 x y a − = 2 3 π 3 2 2 125 16 x y+ = 2 2 2 2 1x y a b − = A e> 2 B 10)于 P,Q 两点, 设 Q 点关于 x 轴的对称点为 M,连结 PM 交 x 轴于点 B; ① 证明:点 B 为定点;②若AP=AQ,求证:PB=BM 解、①可求得 B(-m,0);②转为向量坐标关系去证明. ★【※题 5】已知 A,B 为椭圆 (a>b>0)和双曲线 的公共顶 点,P,Q 分 别为双曲线和椭圆上不同于 A,B 的动点,且有AP+BP=(AQ+BQ)(∈R,||>1), 设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证:k1+k2+k3+k4 为一个定值. 解、①点 A(-a,0);B(a,0);②由AP+BP=(AQ+BQ),向量的加法平行四边形法则,则有 O， Q，P 三点共 线;设 P(x1,y1)、Q（x2，y2）,则 x12 a2 - y12 b2 =1,则 x12-a2= a2 b2·y12 故 k1+k2= y1 x1 + a + y1 x1 - a = 2x1y1 x12 - a2 = 2b2 a2 · x1 y1;同样 有 k3+k4= -2b2 a2 · x2 y2;由于 x1 y1= x2 y2,则所求的定值为 0，为定值。 【※题 6】①过抛物线 y2=4x 的焦点做直线 L 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 3,则|AB|=____(答案:8) ② 抛物线 y2=2px(p>0)焦点弦 AB 的两个端点的坐标是 A(x1,y1),B(X2,y2),则 y1y2 x1x2之值是( B ) A 4 B -4 C p2 D –p2 ③抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是(B ) A 6 B 9 C 12 D 16 ④ 在③题中,若将条件改为 A(3,1),其它不变,则是____(答案:3) ⑤直线 y=2x+m 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点,以 x 轴正半轴为始边,OA 为终边(O 为坐标原点)的角为,OB 为终边的角为,则 sin(+)=____(答案: -4 5 ) ★ 【※题 7】已知双曲线 C 中心在原点,抛物线 y2=8x 焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双曲线过点 T( , );①求双曲线 C 的方程; ②设双曲线 C 的实轴左顶点为 A,右焦点为 F,在第一象限内任取双曲线 C 上 的一点 P,问是否存在常数(>0),使得∠PFA=∠PAF 恒成立,并证明你的结论. 解:① ; ②取特殊位置;PF⊥x 轴求出=2,再一般性去加以证明. 二、课堂回顾与小结 解析几何的实质是用代数方法去研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此，要掌握求曲 线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一。同时，要熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识，掌握直 线与圆锥曲线的位置的研究方法。 三、今日训练练习：《专题透析》P54-66 专题内容： 高考排列组合二项式定理概率统计题型分析与预测 洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336 手机号码： 13975987411 一、方法概述 1、 概率与统计已成为高考的一个重点考查内容，其基本考点有随机事件的概率，抽样方法，总体分布的估 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 3 2 2 13 yx − = D C B A 计；理科则还有离散型随机变量的分布列，数学期望与方差，正态分布等。试题以实际问题为背景，贴 近生活，难度适中。 2、 解决概率问题，一定要根据有关概念，判断是否是等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，或是独 立重复试验，以便选择正确的计算方法。解题过程中，要明确条件中“至少有 1 个发生”、“至多有 1 个 发生”、“恰有 1 个发生”、“都发生”、“都不发生”和“不都发生”等词语的意义，以及它们概率之间的 关系和计算公式。 3、 总体、样本及样本频率是统计中最基本的概念，通过样本可对总体进行估计。 4、 在求某些较复杂的概率时，通常有两种办法：一是将所求事物的概率化成一些彼此互斥的事件的概率之 和；二是先求此事件的对立事件的概率。 5、 要注重概率、统计知识与其它知识的互相渗透，是近几年来高考的命题方向，通常与函数、数列、不等 式、方程等知识相结合，同时它的应用性极强，需要学会建立准确的数学模型。 6、 对于随机变量，则必须弄清楚它是服从哪一类型分布，能够写出分布列，求出数学期望和方差，它们是 随机变量最常用也是最重要的数学特征，它们分别刻划了随机变量的平均值水平和取值分布离散的程度。 二、范例剖析 ★ 【※题 1】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋中装有 2 个红球,2 个白球;乙袋中装有 2 个红球,n 个白球;现从甲、乙两袋中各任取 2 个球.①若 n=3，求取到的 4 个球全是红球的概率；②若取到的 4 个球 中至少有 2 个红球的概率是 3/4，求 n 的值。 解：①记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A,则 P(A)= C C· C C= 1 60 ②可求得 n=2 ★ 【※题 2】从 6 名男同学和 4 中女同学中,采用简单随机抽样的方法选出 3 名同学参加一项竞技测试,每位 同学通过测试的概率为 0.7,试求:①选出的 3 人中至少有一名女同学的概率;②选出的 3 人中甲同学必被 选中且通过测试的概率是多少;③设选出的 3 位同学中至少有 2 名男同学的概率. 解:①至少有一名女同学的概率 P1=1- C C= 5 6 ; ②甲同学必被选中的概率为 C C= 3 10;且通过测试的概率是 P2=0.3× 0.7=0.21 ③至少有 2 名男同学的概率 P3= CC C + C C= 2 3 【※题 3】美国 NBA 篮球总决赛采用七局四胜制,即先胜四局的队获胜,比赛结束。2007 年美国东部活塞队与 西部马刺队分别进入总决赛,已知马刺队与活塞队的实力相当,即单局比赛每队获胜的概率均为 1 2；若第一场比 赛组织者可获门票收入 30 万美元,以后每一场门票收入都比上一场增加 10 万美元，设各局比赛相互之间没有 影响.①求组织者在本次比赛中获门票收入为 180 万美元的概率；②若组织者在本次比赛中获门票收入不低于 330 万美元，其概率为多少. 解:①每场比赛的门票收入构成等差数列｛an｝,其中 a1=30，d=10，则 an=20+10n,Sn=25n+5n2,由 Sn=180 得 n=4(n=-9 舍去），即比赛进行 4 场，∴P4=2C 4 4 ( 1 2)4= 1 8；②由 Sn≥330，则 n≥6(n≤-11 舍去），则必须比赛 6 或 7 场：➊比赛 6 场的概率为 P6=C1 2C3 5（ 1 2）5×（ 1 2）；➋比赛 7 场的概率为 P7=C1 2C3 6（ 1 2）5×（ 1 2）；∴P 求= P6+P7= 5 8 ★ 【※题 4】某人玩掷骰子放球的游戏:若掷出 1 点,则在甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,则在乙盒中放一 球;否则,则在丙盒中放一球.设他掷 n 次之后,甲、乙、丙各盒中的球数分别为 x,y,z ① 当 n=3 时，求 x,y,z 成等差数列的概率； ②当 n=6 时，求 x,y,z 成等比数列的概率。 解：①由 2y=x+z 则有 x=y=z=1:C 1 3 ( )C 1 2 ( )C 1 1 ( )= ；或 x=0,y=1,z=2:C 1 3 ( )C 2 2 ( )2= ；或 x=2,y=1,z=0:C 2 3 ( ) 2 C 1 1 ( )= 1 36 ∴P1= + + 1 36 = 4 9 3 1 2 1 6 1 6 1 3 1 2 1 4 1 6 1 3 1 6 1 4 1 ② y2=xz,且 x+y+z=6,则 x=y=z=2：P2=C2 6( ) 2C2 4( )2C2 2( )2= 5 72 ★ 【※题 5】设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点移到另外三个顶点是等可能的。现抛掷一枚均匀硬 币（硬币正面和反面出现的概率均是 1 2）， 根据硬币的正、反面来确定棋子是否移动：若硬币出现正面，则棋子不动，若硬币 出现反面，则棋子移到另一顶点。已知棋子的初始位置在顶点 A。①求掷 1 次硬币后棋子到达顶点 B 的概率；② 求掷 2 次硬币后棋子恰好到达顶点 B 的概率；③掷了 3 次硬币，求硬币出现的都是反面，且棋子第 3 次恰好到 达顶点 B 的概率。 解：①掷 1 次硬币后棋子到达顶点 B，则说明硬币出现的是反面，且棋子由 A 移到 B，则 P1= 1 2× 1 3= 1 6；②掷 2 次 硬币后棋子恰好到达顶点 B，可能有下列 4 类情形：AAB，ABB，ACB，ADB，则 P2= 1 2× 1 6 + 1 6× 1 2 + 1 6× 1 6 + 1 6× 1 6 = 2 9 ③ 可能有 7 种情形：ABAB，ABCB，ABDB，ACAB，ACDB， AD AB，ADCB，则所求概率为 P3=7×（ 1 6）3= 7 216 ★ 【※题 6】证明下列各式：①1+2 +4 +…+2n-1 +2n =3n ②( )2+( )2+( )2+…+( )2= 解：①构造函数（x)=(1+x)n,令 x=2 可得结论。 ②构造函数（x)=(1+x)2n=(1+x)n·(1+x)n,比较两边展开式中 xn 的系数即可得到结论。 ★ 【※题 7】设（x)是定义于 R 上的一个给定函数，函数 g(x)= （ 0 n)·(1-x)n+ ( 1 n)x(1-x)n-1+…+ ( n n)xn(1-x)0(x≠0,1); ①当(x)=1 时，求 g(x); ②当(x)=x 时，求 g(x). 解：①当(x)=1 时，g(x)= (1-x)n+ x(1-x)n-1+…+ xn(1-x)0 = [（1-x)+x]n=1 ②当(x)=x 时，g(x)= · 0 n·(1-x)n+ · 1 n· x·(1-x)n-1+ · 2 n·x2·(1-x)n-2+…+ · n n·xn, 由于 k =n ,则 · k n = ,则 g(x)= ·x·(1-x)n-1+ ·x2·(1-x)n-1+ ·x3·(1-x)n-2+…+ ·xn =x[ ·(1-x)n-1+ ·x·(1-x)n-1+ ·x2·(1-x)n-2+…+ ·xn-1]=x[(1-x)+x]n-1=x ★ 【※题 8】(理）甲有一只放有 x 个红球，y 个黄球，z 个白球的箱子，且 x+y+z=6（x,y,z∈N），乙有一只 放有 3 个红球，2 个黄球，1 个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲 胜，异色时乙胜。①用 x,y,z 表示出甲胜的概率；②若同时规定，当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为 1、2、3 分，否则得 0 分，求甲得分的期望的最大值及此时 x,y,z 之值。 解、①甲胜的概率 P1= 1 2· x x + y + z+ 1 3· y x + y + z+ 1 6· z x + y + z= 3x + 2y + z 36 ②E§=3× z 36+2× 2y 36+1× 3x 36 = 3(x + y + z) + y 36 = 18 + y 36 而 0≤y≤6，则其最大值为 18 + 6 36 = 2 3，此时 x=z=0,y=6 ★题 9、已知正四面体 A-BCD，有一只小虫自顶点 A 沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点 B、C、D， 然后又从 B、C、D 中的一个顶点沿着每一条棱以等可能的概率爬到其他三个顶点，依次进行下去，记 Pn 为第 n 次到达顶点 A 的概率（小虫刚开始时在 A 点）。 6 1 2 1 3 1 1 nC 2 nC 1n nC − n nC 0 nC 1 nC 2 nC n nC 2 n nC 0 nC 1 nC n nC 0 nC 1 nC n nC 0 nC 1 nC 2 nC n nC k nC 1 1 k nC − − k nC 1 1 k nC − − 0 1nC − 1 1nC − 2 1nC − 1 1 n nC − − 0 1nC − 1 1nC − 2 1nC − 1 1 n nC − − ① 求 Pn 的通项公式；②求第 2007 次小虫爬到顶点 A 概率。（理科：若不断地爬下去，小虫最终停在 A 处的 概率是多少？） 解：①小虫第 n 次在顶点 A 的概率为 Pn；第 n-1 次在顶点 A 的概率为 Pn-1，则此时在 B 或 C、D 处的概率为 1-Pn-1，而由其中任何一个顶点爬到 A 的概率均为 1 3，则有 Pn=（1-Pn-1）× 1 3，则有 Pn - 1 4 = -1 3 （Pn-1 - 1 4 ）， 且 P1=1，则有 Pn = 3 4（ -1 3 ）n-1 + 1 4；②P2007 = 3 4（ -1 3 ）2006 + 1 4， Pn= 1 4 ★题 10、经统计，长沙友谊商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下： 求:①每天不超过 20 人排队结算的概率是多少? ②一周七天中,若有 3 天以上(含 3 天)出现超过 15 人排队结算 的概率大于 0.75,商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口,为什么? 解:①由于概率之和等于 1,则有 x=0.25;P1=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75;②每一天超过 15 人排队结算的概率是 0.25+0.2+0.05= 1 2,则一周七天中:➊没有出现超过 15 人排队结算的概率是 C0 7( 1 2)7;➋ 有一天出现超过 15 人排 队结算的概率是 C1 7 ( 1 2)7;➌ 有两天出现超过 15 人排队结算的概率是 C2 7 ( 1 2)7;∴有三天以上(含三天)出现超过 15 人排队结算的概率是 1-[ C0 7( 1 2)7+C1 7( 1 2)7+C2 7 ( 1 2)7]= 99 128 >0.75,∴该商场需要增加窗口. 一、课堂回顾与小结 求较复杂事件的概率，可以将它分解为几个比较简单的互斥事件，再利用互斥事件概率的加法公式来求解， 这种方法实质就是分类讨论思想。 四、今日训练练习：《专题透析》P45-53 专题内容：高考直线平面与简单几何体题型分析与预测 湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312 四、方法概述 近几年高考的立体几何,命题形式比较稳定,难易适中,一般保持着“两小一大”的题型格局;考查的主要内 容有:线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，线线、线面、面面所成的角及有关距离的计算，面积 和体积的计算（侧重于体积）。试题的特点是；推理论证与几何量的计算并重，常常是一题两解，兼顾几何 法与向量法，且由于向量法的独特性，使得向量法在得分上略显优势。试题以中等难度为主，兼有少量容 易题，没有出现过很难的题。 五、典例剖析 ★ 【※题 1】①如图,在正四面体 A-BCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 AE EB= CF FD = (>0),设（）=+,其中与分别表示 EF 与 AC、BD 所成的角， 则 （D ） A （）是（0，+∞)上的增函数 B （）是（0，+∞)上的减函数 C （）是（0，1)上的增函数 , 是（1，+∞)上的减函数 D （）是（0，+∞)上的常函数 ②关于直线 m,n 与平面，有下列四个命题：➊若 m∥,n∥,且∥,则 m∥n;➋若 m⊥,n⊥ 排队人数 0～5 6～10 11～15 16～20 21～25 25 以上 概率 0.1 0.15 0.25 x 0.2 0.05 lim∞→n ,且⊥,则 m⊥n;➌若 m⊥,n∥,且∥,则 m⊥n;➍若 m∥,n⊥,且⊥,则 m∥n；其中真命题 的序号为____(答案:➋➌) ③设 l,m 为两条异面直线,,为两个不同的平面,若 l⊥m,且 l,m,给出下列四个结论:➊ ∥;➋⊥;➌l∥;➍m⊥;其中可能成立的结论个数有＿＿＿＿个．（答案：４个） ④设 l,m 为空间两条直线,,为空间两个不同的平面,且 l,m⊄,则下列命题中，其否命题为假命 题的是（　　Ｃ　） Ａ　若 m∥,则 m∥l;　　　　　　　　　　Ｂ　若 m⊥l,则 m⊥;　 Ｃ　若 l⊥,则⊥;　　　　　　　　　　Ｄ　若 l∥,则∥ ⑤设,为空间两个不同的平面, m、n 为平面，外的两条不同的直线,给出下列四个论断：➊m∥ n;➋n∥;➌⊥;➍m⊥;以其中的任意三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共可组成四个命题， 则这四个命题中正确的命题有______(答案:➊➋➍➌或➊➌➍➋) ★ 【※题 2】已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直, ∠ABC=90°,BC=2,AC=2 ,且 AA1⊥A1C,AA1=A1C,①求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成的 角的大小;②求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成的二面角的大小;③求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离. (解: ①45°; ② 60°; ③ ) ★【※题 3】如图 3，已知Ｏ为半径为 1 的球的球心，点Ａ、Ｂ、Ｃ在球面上，ＯＡ、OB、ＯC 两两垂直，点Ｅ、Ｆ分别为大圆弧 和 的中点，则点Ｅ、Ｆ在该球面上的球面距离 为________ 解: 要求过Ｅ、Ｆ两点的球面距离，则要求∠ＥＯＦ的弧度数；为此，则要求出弦ＥＦ的长度, 则应过Ｅ、Ｆ做平行于平面ＯＢＣ的平面交ＯＡ于Ｄ，由于Ｅ、Ｆ分别是 和 的 中点，可知ＤＥ＝ＤＦ＝ ，从而求出ＥＦ＝１，那么得到∠ＥＯＦ＝ ，则 点Ｅ、Ｆ在该球面上的球 面距离为 ★【※题 4】【§Ⅰ】下列命题正确的序号有_____①②④____ ① 直线 m、n、L 和平面、：若 m,L∩=A,点 Am,则 L 与 m 不共面 ② 若 L 与 m 是异面直线，L∥,m∥,且 n⊥L,n⊥m,则,n⊥ ③ 若 L∥,m∥,且∥，则 L∥m ④ 若 L， m， L ∩m=A, L∥,m∥,则∥ 【§Ⅱ】、已知直线 L⊥，直线 m,则： ①若∥ L⊥m； ②⊥L∥m ③L∥m⊥ ④L⊥m∥ 正确的有 ①③ 【§Ⅲ】、已知直线 m、n、和平面、，则 ①若 m⊥，m⊥，则∥ ②若 m, n, m∥n,则∥ ③若 m∥n, m⊥，则 n⊥ ④若 m⊥，m，则⊥ 正确的有　①③④　　　　 3 3 AB AC AB AC 2 2 3 π 3 π 【§Ⅳ】、如图，在正方体 ABCD—A′B′C′D′中，EF 是异面直线 AC 与 A′D 的公垂线,则由正方 体的八个顶点所连接的直线中,与 EF 平行的直线( A ) A 有且只有一条 B 有二条 C 有四条 D 不存在 解、转为线面关系，则 EF⊥平面 A′C′D ，而只有 BD′⊥平面 A′C′D 从而选（A） 【§Ⅴ】、一个三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC 两两互相垂直，且长度分别为 1、 6、3 已知 该项三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ A ） A 16π B 32π C 36π D 64π 解、建立长方体模型，则球的直径为长方体的对角线，从而有 2R= 1 + 6 + 9=4 【§Ⅵ】在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点，若∠CMN=90°，则异面 直线 AD1 与 DM 所成的角为( D ) A 30° B 45° C 60° D 90° 解、由三垂线定理知所求为 90° 【§Ⅶ】在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC= 60°,将菱形沿对角线 AC 折 起,使折起后 BD=1,则二面角 B-AC-D 的余弦值为( A ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 2 【§Ⅷ】如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所 在平面成 60°的二面角,则 AB 与平面 BCD 所成角的大小为_______(答案:arcsin4_) ★【※题 5】如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的中点,平面 B1ED 交 A1D1 于 F,①指出 F 在 A1D1 上的位置,并说明理由; ②求直线 A1C 与 DE 所成的角的大小; ③设 P 为面 BCC1B1 上的动点,且 AP= 2 3,试指出动点 P 的轨迹,并求出其轨迹所表示的曲 线 的长度. 解:①F 为 A1D1 的中点;②arccos15; ③△APB 为 Rt△,则 PB= AP2 - AB2 = ,而 B 为 定点,则点 P 的轨迹是以 B 为圆心, 为半径的 圆,其长度为 ×2π× = 6 π ★【※题 6】因需要进行商业谈判,我急于要从北京出发前往智利的圣地亚哥,航空公司开出 了 两条路线供我选择:其一:从北京 纽约 圣地亚哥；其二:从 北京 澳大利 亚的弗里曼特尔 圣地亚哥。已知这四个城市的经纬度为：北京（东经 120°、北纬 40°）；纽 约（西经 70°、北纬 40°）；圣地亚哥（西经 70°、南纬 30°）；弗里曼特尔（东经 120°、南纬 30°） 请帮我比较策划这两种方案中哪一种飞行距离更短些，请说明理由。 解:不妨用 表示地球上两点间的球面距离，用各城市的头一个字母Ｂ、Ｎ、Ｆ、Ｓ分别代表北京、纽约、 弗里曼特尔、圣地亚哥。甲方案的空中航线长为： ＋ ;乙方案的空中航线长为： ＋ 由于向南飞行是同经度，沿经度线飞行，经度线所在就是地球的大圆线，它们间纬度差正好相等，则有 3 33 3 4 1 4 1 3 3 →向西 →向南 →向南 →向西 ABL BNL NSL BFL FSL NSL = ，从而只要比较 和 就可以了。在 中，北纬 40°的小圆半径ｒ=Ｒ·cos40° ,经度差为 170 °，它的弦长ＢＮ= 2Ｒsin85°·cos40° 同理有ＦＳ= 2Ｒsin85°·cos30°； ∵cos40°＜cos30° ∴ＢＮ＜ＦＳ ∵对于同一个球，较长的弦对应的球心角也较大，则 ＜ ∴两个方案中第一个方案飞行的距离要短些。 i. 本题不必去求出具体的距离数值，而只要去比较大小即可，从而减少计算量。同时，要能熟练掌握 同纬度两城市间的距离和同经度两城市间距离的求解 三、课堂回顾与小结 立体几何中经常涉及的知识与题型有：①证明平行与垂直；②求多面体的体积；③三种角的计算；④有关 距离的计算；⑤多面体表面积的计算。这类问题的解法主要是化归思想，如两条异面直线所成的角转化为两相 交直线所成的角；面面距离转化为线面距离，再转化为点面距离等。其解答题的设计，注意了求解方法既可用 向量法处理，又可用传统的几何法解决，并且向量方法比用传统的方法解决较为简单。 四、今日训练练习；《专题透析》P67-81 专题内容： 导数及其应用 湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312 一、方法概述 1、 导数是一个知识独特、应用广泛，与初、高等数学衔接紧密的重要内容，因此成为高考的热点，并且 在大题和小题中都有相关试题。其中选择、填空题主要是考查导数的基本概念、基本运算和基本方法； 解答题一般是考查导数与函数、方程、不等式的综合应用。 2、 要特别关注对某些不等式的证明、方程根的存在范围或个数讨论问题。其基本方法是构造函数，然后 利用导数分析其单调性和极值、最值，概括其函数值分布，进而推出相应结论。最好画出其单调性示 意图，以加强直观理解。这是一种函数思想，导数是研究函数性质的工具和手段。 3、 理科要加强数列的极限、函数的极限、函数的连续的概念的理解和简单应用。 二、范例剖析 ★【※题 1】已知函数(x)=- x3-bx2-5cx-2d 在(-∞,0]上为↘,在[0,6]上↗,且方程(x)=0 有 3 个实 数根 m,n,1 ① 求(4)的取值范围; ② ②问 m2-4mn+n2 是否有最小值?若有,求出最小值,若没有,请说明理由. 解: ①由′(0)=0,则 c=0; ②′(x)=0 的两根为 x1=0,x2= -2b 3 ,而(x) 在[0,6]上↗,则 -2b 3 ≥6,则 b≤-9, ∴(4)=-63-15b≥72; ③设(x)=-(x-m)(x-n)(x-1)= - x3-bx2-2d,则有 -b=m+n+1,且 0=m+n+mn,且-2d=mn,∴ m2-4mn+n2=(-1-b)2+12d=(b-2)2-9≥112,则有最小值为 112. ★【※题 2】已知函数(x)=x3- 1 2x2+bx+c,①若(x)的图象有与 x 轴平行的切线,求 b 的取值范围; ②若 (x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时, (x)2 为所求. ★【※题 3】已知函数 y=（x)在区间（0，+∞）内可导，导函数′（x)是↘，且′（x)>0,设 x0∈(0,+ ∞),y=kx+m 是曲线 y=(x)在点(x0,(x0))处的切线方程，并设函数 g(x)=kx+m BFL BNL FSL BNL BNL FSL ① 用 x0,(x0)、′(x0)表示 m; ②证明：当 x∈(0,+∞)时，g(x)≥(x) 解: ① m=(x0)- x0·′(x0) ② 构建辅助函数 G(x)= g(x)- (x)；对其求导: G′(x)= g′(x)- ′(x)=k-′(x)= ′(x0) - ′(x)；则当 x=x0 时，G′(x0)= 0； ③ 又已知′（x)是↘，则-′（x)是↗，则 G′(x) = ′(x0) -′(x) 是↗， ∴ 当 x>x0 时，G′(x）> G′(x0)= 0, xx0 时，G(x）为↗,则 G(x）> G(x0）=0； 当 x G(x0）=0； ∴ 当 x∈(0,+∞)时, G(x）> G(x0）=0,即 g(x)- (x)≥0,从而 g(x) ≥(x). ★【※题 4】设 x1、x2 是函数(x)= a 3x3+x2-a2x(a>0)的两个极值点，g(x)=′(x)-2a(x-x1)，已知 x1<0， |x1|+|x2|=2 求证：当 x10,又 x1a 时,总有(x)0,则 h(x)为↗,又 h(a)=a-(a)=0,则当 x>a 时, h(x)>0,即有(x)0,则(x)为↗;则(x1)≤(x2), 又(x)-x 为↘,则(x1)-x1≥(x2)-x2,∴0≤(x2)- (x1)≤x2-x1,即|(x2)- (x1)| ≤|x2-x1|; 而|x2-x1|≤|x2-a|+|x1-a|<2, ∴|(x1)-(x2)|<2 ★【※题 7】(理) 已知函数(x)=lnx,g(x)=x; 1 2( ) ( 2 ) 2 x x x x− + + − ① 若 x>1,求证:(x)>2g( x - 1 x + 1) ② 若关于 x 的方程 1 2g(x2)-(1+x2)=k 有四个不同的实数根,求实数 k 的取值范围. 解:①设辅助函数 h(x)= (x)-2g( x - 1 x + 1)=lnx - 2(x - 1) x + 1 ,求导后知,h(x)在[1,+∞)上为↗,则 h(x)> h(1)=0; ②令(x)= 1 2g(x2)-(1+x2)= 1 2 x2- ln(1+x2),求导并得出其单调性 示意图,则有 k∈( 1 2-ln2,0) 三、课堂回顾与小结 函数、不等式、导数的综合问题，除了利用导数判断函数的单 调性和 利用导数求极值、最值外，高考命题中出现较多的还有导数与 不等式 的整合：一是将一类范围问题转化为求函数的最值，使用导数 求解； 二是构造函数，利用导数证明不等式。 四、今日训练练习：《专题透析》P8-10 专题内容：高考应用性问题与数学建模的分析和探究 湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com 手机号码： 13975987411 邮编： 422312 一、方法概述 1、数学应用性问题要求学生，将一个用文字语言叙述的问题，根据其实际意义概括抽象为一 个纯粹的数学问题，化归为一个数学模型（即数学建模）来解决；其本质是建立合理的数 学模型，并利用相关数学知识进行求解。 2、 数学应用题的一个显著特点是文字叙述多、生活常识多、科技术语多、字母变量符号多、 相关制约因素多。解题时，首先要认真读题，准确理解题意，舍弃问题中与数学无关的非 本质因素，梳理信息；其次要抓住问题中的关键词语，抽取出涉及问题本质的数学结构， 建立适当的数学模型。 3、应用题中往往数据较多,数量关系隐蔽,而且这些数据具有生活实际的本来面目,并非纯数 学化的数据,解题时可以适当用表格处理复杂的数量关系,把信息以表格的形式进行整合, 以此理顺各数据之间的内在取系,再进行数学建模. 4、数学应用问题,最后要对所提出的问题进行总结作答,这是求解应用性问题的一个必不可少 的步骤. 二、 范例剖析 ★【※题 1】根据国家版权局《书籍稿酬暂行规定》，书籍稿酬由基本稿酬和印数稿酬组成。（Ⅰ） 基本稿酬的标准为：①著作稿酬每千字 10 至 30 元，确有学术价值的，可适当提高，但每千字不 超过 40 元；②词书稿有两种计酬的方法：其一是按一般著作稿酬标准另加 15%至 20%计算（词条 书目）；其二是按每千字 20 元至 30 元计算，另增加 20%至 30%的基本稿酬（百科全书词条）。（Ⅱ） 印数稿酬的标准为：①一般书籍，印数在一万册以内，以一万册计算付基本稿酬的 8%，印数超过 一万册的，其超过部分每千册付基本稿酬的 0.8%;②确有学术价值而印数较少的专著,印数在一万 册以内的,以一万册计算付基本稿酬的 30%,印数超过一万册的,计算方法同①.根据以上内容,解答 下列问题:①若印 x 千册,试写出每千字最高稿酬(x)和每千字最低稿酬 g(x)的函数关系式;②若 王教授出版了一本 25.4 万字的书,印数 1.8 万册,试计算他可获得的最高稿酬和最低稿酬. 解:①每千字最高稿酬(x)= 40(1+20%)+40(1+20%)×30% (x≤10) 40(1+20%)+40(1+20%)×30%+40(1+20%)(x-10)×0.8% (x>10) 即(x)= 62.4 (x≤10) 62.4+0.384(x-10) (x>10) 每千字最低稿酬 g(x)= 10+10×8% (x≤10) 10+10×8%+10×8%(x-10) (x>10) 即 g(x)= 10.8 (x≤10) 10.8+0.08(x-10) (x>10) ②此时 x=18, (18)=65.472, g(18)=11.44,因此此书 25.4 万字(254 千字),所以最高稿酬为 65.472×254=16629.888≈16630 元,最低稿酬为 11.44×254=2095.76≈2096 元. ★ 【※题 2】载人宇宙飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在 返回舱预计到达区域安排三个救援中心(记为 A,B,C),A 在 B 的正东方向,相距 6 千 米;C 在 B 的北偏西 30°方向,相距 4 千米;P 为航天员着陆点,某一时刻,A 收到来自 P 的求救信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 远，因此 4 秒后，B、C 两个求援中心才同时收到 这一信号，已知该信号的传播速度为 1 千米/秒； ① 求 P 相对于 A 的方位角。 ② 若信号从 P 点正上空 Q 点发出，则 A、B 收到信号时间差变大还是变小，说明理由。 解、①点 P 处于双曲线 （x>0)上； 点 P 又处于 BC 的中垂线 x- y+7=0 上，联立两方程得 x=8, ∴P（8，5 ），则 P 点处于 A 点的北偏东 30°处。 ③ 如图，设|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y,由于传播速度为 1 千米/秒，则 主要是比较|QB|-|QA|= x2 + h2 - y2 + h2 = (x-y)·x + y + <1， 则|QB|-|QA|<|PB|-|PA|，故 A、B 收到信号时间差变小，B、C 两求援中心收到信号的时 间少于 4 秒。 ★【※题 3】一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为 n(n≥3,n∈N*)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花； （Ⅰ）、如图 1，圆环被分成 a1,a2,a3 三等份时，共有多少种不同的种植方法？ （Ⅱ）、如图 2，圆环被分成 a1,a2,a3,a4 四等份时，共有多少种不同的种植方法？ （Ⅲ）、如图 3，圆环被分成 a1,a2,a3,…,an-1,an 这 n 等份时，共有不同的种植方法数记为 S（n),试 写出 S（n）与 S（n-1)满足的关系式，并求出 S（n)关于 n 的表达式。 解：①S（3）=C 1 3 C 1 2 C 1 1 =6； ②S（4）=C 1 3 C 1 2 （C 1 2 +C 1 1 ）=18 ③如图 3，圆环分成 n 等分，a1 有 3 种不同 的种法，对 a2,a3,…,an-1,an 都有两种不同 的种法，但这样种法只能保证 a1 与 ai(i=2,3,…,n-1)不同颜色，但不能保 证 a1 与 an 不同颜色； 于是，分为两类：一类是 an 与 a1 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 S（n） 2 2 14 5 x y− = 3 3 (n≥3)种；另一类是 an 与 a1 同色的种法，这时可以把 an 与 a1 看成一个整体，这样的种法相 当于对 n-1 部分符合要求的种法，记为 S（n-1）；两类合计共有 3×2n-1 种种法， 则 S（n）+ S（n-1）=3×2n-1 = 2n+2n-1， 则有 S（n）-2n=-[ S（n-1）-2n-1]，则数列｛S（n）-2n｝是首项为 S（3）-23=-2，公比为-1 的等比数列，则 S（n）-2n=-2·（-1）n-3 ∴S（n）=2n-2·（-1）n-3(n≥3) ★ 【※题 4】在抗洪抢险的大堤上，有一个三角形的遮阳棚△ABC（如图），其中 A、B 是地面上 南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳（用点 O 表示）光线 OCD 与地面成锐角，△ABD 为光照遮阳棚产生的阴影。 ① 遮阳棚与地面成多少角度时，才能使阴影△ABD 面积最大？ ② 当 AC=3，BC=4，AB=5，=30°时，求出阴影△ABD 的最大面积。 解：过 C 做 AB 的垂线，垂足为 E，则 DE 为 CE 在地面上的射影，且 AB⊥平面 CED，∴∠ CED 是平面 ABC 与平面 ABD 所成的平面角； 在△CED 中,∠CDE=,设∠CED=,则 DE=sin( + ) sin ·CE, ∴S△ ABD=1 2·AB·DE=1 2·AB·sin( + ) sin ·CE=1 2·AB·CE· sin( + ) sin = S△ABC·sin( + ) sin ,∴当=π 2 -时,阴影△ABD 面积最大. ③ 利用①中结论可得所求为 12 ★【※题 5】如图所示,某村在 P 处有一堆肥料,今要把这堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到成矩形的一块田 ABCD 中去,已知 PA=100 米,PB=150 米,BC=60 米, ∠APB=60°,能否在田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路 PA 送 肥较近而另一侧的点沿道路 PB 送肥较近?如果能,请说出这条界线是什 么 曲线,并求出它的方程. 解:田地 ABCD 中的点可分为三类：第一类是沿 PA 送肥较近；第二类是沿 PB 送肥较近；第三 类是沿 PA 或 PB 送肥一样远近；由题意知，界线是第三类点的轨迹。 如图建立平面直角坐标系,设 M 为界线上的任意一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,则 |MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,故所求的界线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支， 其方程为 x2 625- y2 3750 =1(25≤x≤35,y≥0) 三、课堂回顾与小结： 解答应用题的一般步骤是： ①审题认真阅读理解文字所表达的意义，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模按问题的主要关系列式，将实际问题抽象成数学问题，构建数学模型，这是最关键 的一步； ③求解并作答利用相关的数学知识求解，获得数学上的结论；再将所得的结果返回到实际 问题，然后作答。 注意：要透彻地理解题意，要在实际问题的情景中去理解、分析给出的问题，清理出问题所 需要的实质性因素，舍弃与解题无关的非本质性的东西。要将实际问题抽象成某种（或几种） 数学模型，运用数学式子加以描述，使实际问题得以转化，成为所熟悉的纯数学问题，然后 解之。 四、今日训练练习：《专题透析》P 82-94 专题内容：高考创新题型分析与预测 湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312 一、方法概述 1、创新型数学试题大致可以分为两大类：一是新概念问题，二是新情景问题。给出一个 陌生的数学背景，要求考生在深刻、准确理解题意的基础上，运用所学的数学知识解决相关的实 际问题，是创新型试题的基本特点。这类试题的设问方式各式各样，具有开放性和探索性，要求 具备较强的知识迁移能力。 2、新概念问题是指试题中自定义一个概念、一种运算、一个规定符等，再提出一个与之相 关的问题，要求考生结合所学数学知识进行解答。解题时首先必须深刻理解新概念的内涵，再利 用新概念将所研究的问题化为常规的数学问题来解决。 3、新情景问题是指给出一个新颖、陌生的数学背景，要求考生利用所学数学知识设计一个 辅助问题，然后将新情景问题转化为辅助问题来解决。这是一种创新思维，要求能敏锐地抓住问 题本质。 4、有些创新型试题只给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出问题的一般规律，其 解题过程就是一个从特殊到一般的归纳探索过程，充分分析题目给出的基本材料，明确所探求的 结论的一般结构，认清解题的基本方向，是正确解题的基础。 5、对于新概念、新情景下的存在型探索性问题，一般有肯定型、否定型和讨论型三种。解题 时一般先假定结论成立，再探求它成立的条件是否与已知条件相符，然后作出相应的回答；有时 也直接由已知条件推断结论是否存在。 二、典例剖析 【※题 1】➊设 A=(a1,a2,a3), b1 B= b2 b3 , 若记 A*B=max{a1b1,a2b2,a3b3},其中 max{p,q,r}表示 p,q,r 三者中最大者,则设 A=(x-1,x+1,1), x-2 B= |x-1| 1 若 A*B=x-1,则 x 的取值范围是( B ) A [1- ,1] B [1,1+ ] C [1- ,1] D [1,1+ ] ➋在计算机的算法中，有一种算法叫做冒泡排序法，它是用来将一列数按照规定的次序进行 排列的一种算法。例如用冒泡排序法将一列数按照从小到大的顺序排列时，其过程是：将该列数 的第一个数与第二个数进行比较，如果第一个数小于第二个数，则两个数的位置保持不变；如果 第一个数大于第二个数，则交换两个数的位置，然后再将这时的第二个数与第三个数进行比较， 若第二个数小于第三个数，则两个数的位置保持不变；如果第二个数大于第三个数，则交换两个 数的位置，依次下去，直到最后两个数，就算完成了一趟排序；然后再从第一个数开始按照上述 方法进行第二趟排序，第三趟排序…直到所有的数最终按照从小到大的顺序排列 ，整个排序过程 结束。现有一列数：15，3，12，14，7，10，用上述的冒泡排序法将这 6 个数从小到大进行排序 时，第二趟的结果是_____,需要几趟排序即可将这列数按照从小到大的顺序完成排列_____ 3 2 2 3 (答案: 第二趟的结果是：3,12,7,10,14,15; 需要 3 趟排序) ➌在一个数列中，如果每一项与它后面一项的乘积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积 数列，这个常数叫做该数列的公积。已知数列｛an｝是等积数列，an ≠0 且 a2006=2，公积为 5，则 a1 =_____ 解、an ·an+1= an+1· an+2  an= an+2 ， 则 a1= a3 =…= a2005 ， a2 = a4 =…= a2006 =2，∴ a1 = 5 2 ➍定义运算 a*b 为： a*b= a (a≤b) b (a>b) 则 1*2x 的取值范围是______(答案:(0,1]) ➎椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,B 为上顶点,A 为右顶点, 当FB⊥AB时,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭圆” 可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 的值为( ) A +1 2 B -1 2 C 5-1 D 5+1 解：由FB·AB=0 则 b2=ac ∴e= +1 2 ★【※题 2】①一个机器猫每秒前进或后退一步,程序设计人员让机器猫以每前进 3 步,然后再 后退 2 步的规律移动.如果将此机器猫放在数轴的原点上,面向正的方向,以 1 步的距离为 1 个 单位长,令 P(n)表示第 n 秒时机器猫所在的位置的坐标,且 P(0)=0,那么下列结论中错误的是 ( D ) A P(3)=3 B P(5)=1 C P(101)=21 D P(103)< P(104) 解: P(1)=1, P(2)=2, P(3)=3, P(4)=2, P(5)=1,则此机器猫每 5 秒向正的方向前进一步,则 P(103)=23, P(104)=22 ②如图,已知图形满足:➊第 n 行首尾两数均为 n;➋表中的递推关系类似杨辉三 角,则第 n 行(≥2)第 2 个数是________(答案: n2 - n + 2 2 ) 解 : 每 一 行 的 第 2 个 数 , 满 足 an=an-1+n-1, 于 是 有 an=a1+1+2+3+…(n-1)=1+ n(n - 1) 2 ③椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质.对于椭圆有如下的命题:已知 A,F,B 分别是优美椭圆 (a>b>0)(离心率为黄金分割比 -1 2 的椭圆)的左顶点、右焦点和上顶点，则有 AB⊥BF；类似地，对于双曲线有如 下命题：已知:A,F,B 分别是优美双曲线 （a>0,b>0)(离心率为黄金分割比的倒数 +1 2 的双曲线)的左 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 1x y a b − = 顶点、右焦点及其虚轴的上端点，则有_____(答案:AB⊥BF) ④在平面几何中有勾股定理:“设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2”；拓展到空间，类比平面几 何有勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的 三个侧面 ABC，ACD，ADB 两两互相垂直，则____(答案:S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2=SBCD2) ⑤有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”，即运算符号紧跟在运算对象后面，按照从左到右 的顺序运算，如表达式 3×（x-2)+7,其运算为：3，x,2,-,*,7,+.若计算机进行运算：x,x,2,-,*,lg,那么使 此表达式有意义的 x 的范围为___(答案:x<0 或 x>2) 【※题 3】ABCD-A′B′C′D′是单位正方体,黑、白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱 向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”。白蚂蚁爬行的路线是 AA′ A′D′…；黑蚂蚁爬行的路线是 ABBB′…；它们都遵循如下规则： 所 爬行的第 i+2 段与第 i 段所在的直线必须是异面直线（其中 i 是自然 数） ，设黑、白蚂蚁都爬完 2008 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、 白蚂蚁的距离是_____ 解:每爬完三段,黑、白蚂蚁相汇于单位正方体的一个顶点处,由于 2008=669×3+1,则爬完 2008 段后,黑、白蚂蚁位于正方体的同一个面的相对两个顶点处,它们的 距离是 2 ★【※题 4】设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线 C 上的点,且 a1=|OP1|2,…,an=|OPn|2 构成公差为 d(d≠0)的等差数列,其中 O 是坐标原点,记 Sn=a1+a2+…+an; ① 若 C 的方程为 x2 100+y2 25 =1,n=3,点 P1(10,0),且 S3=255,求点 P3 的坐标(只需写出一个); ② 若 C 的方程为x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0),点 P1(a,0)对给定的自然数 n,当公差 d 变化时,求 Sn 的最小 值; ③ 请选定一条椭圆以外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点 P1,P2,…Pn 存在的充要条件,并说明理由. 解:①a1=|OP1|2=100,由且 S3=3 2 (a1+a3)=255,得 a3=|OP3|2=70,则有 x32 100+y32 25 =1,且 x32+y32=70 从 而解得 x32=60,y32=10,∴点 P3 的坐标可以是(2 15, 10) ②原点 O 到二次曲线 C: x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)上各点的最小距离为 b,最大距离为 a, ∵a1=|OP1|2=a2,∴d<0,且 an=|OPn|2=a2+(n-1)d≥b2,∴b2 - a2 n - 1 ≤d<0,∵n≥3,n(n - 1) 2 >0, ∴Sn=na2+n(n - 1) 2 · d 在[b2 - a2 n - 1 ,0)上↗,故 Sn 的最小值为 na2+n(n - 1) 2 ·b2 - a2 n - 1 = n(a2 + b2) 2 若双曲线 C: x2 a2 - y2 b2 =1,点 P1(a,0),a>0,则对于给定的 n,点 P1,P2,…Pn 存在的充要条件是 d>0, ∴点 P1,P2,…Pn 存在当且仅当|OPn|2>|OP1|2,即 d>0. ★ 【※题 5】给定 an=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使 a1·a2·a3·…·ak 为整数的数 k(k∈N*)叫做 潇湘数,则区间[1,2006]内的所有潇湘数之和为_______(答案 :2026) 三、课堂回顾与小结 对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段去进行分析处理，再灵活、综合地应用所学的 数学知识、思想与方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，然后创新性地将问题解决。2007 年的考纲强调在平稳过渡中主要加强设计试题的创新程度，值得我们注意。 四、今日训练练习：《专题透析》P65-82 专题内容：高考应用性问题和创新题型分析与预测(2) 湖南省洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 邮编： 422312 一、典例剖析 【※例 1】设数列｛an｝的前 n 项之和为 Sn，定义 Tn=S1 + S2 + S3 + … + Sn n 为数列 a1,a2,…an 的 “和均数”，那么数列 1，2，6，10 的“和均数”是______；若数列 a1,a2,…a100 的“和均数”是 2020，则数列：7，a1,a2,…a100 的“和均数”是______ 答案：①8 ②2007 ★ 【※例 2】已知等式 x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 对一切实数 x 都成立，定义(a1,a2,a3,a4)=b1+b2+b3+b4，则(4,3,2,-1）=_______(答案为-2） ★ 【※例 3】对于在区间[m,n](m0,且 a≠1)，试讨论(x)与 g(x)在区间[a+2,a+3]上是否为邻近函数， 并证明。 ★ 【※例 4】对于定义于区间[2，4]上的函数(x),若对任意的 x∈[1,2]，都有(2x)∈(1,2)，且 存在常数 k∈(0,1)，使得对于任意的 x1,x2∈[1,2]都有|(2x1)-(2x2)|≤k|x1-x2|成立，则称函 数(x)为“凯森函数”；证明：①函数(x)=3 1 + xx∈[2,4]为“凯森函数”；②若(x)为“凯 森函数”，且存在 x0∈(1,2)，使得 x0=(2x0)，则这样的 x0 是惟一的。 ★ 【※例 5】已知两定点 M（0，3）、N（0，-3），若某曲线上存在点 P，使|PM|- |PN|=4,则称该 曲线为“等差曲线”,给出下列曲线方程:①x2+(y-2)2=1;②y=x;③x2=5y;④x-2y-5=0,其中是“等 差曲线”的方程的序号是（ B ）A ①③ B ②④ C ①② D ③④ ★ 【※例 6】对于任意的两个实数对（a，b)和(c，d)，规定：(a，b)=(c，d)，当且仅当 a=c，b=d 时成立，定义运算“⊙”为(a，b) ⊙(c，d)=(ac-bd，bc+ad)；定义运算“⊕”：(a，b) ⊕ (c，d)=(a+c，b+d)；设 p,q∈R，若(1,2) ⊙ (p，q)=(5,0)，则(1,2) ⊕ (p，q)=________（答案： （2，0）） ★【※例 7】如果定义在集合 A 上的函数（x)满足：对任意的 x1、x2∈A，都有(x1 + x2 2 )≤1 2 [ (x1)+(x2)]成立，则称函数（x)是 A 上的凹函数，①试判断函数(x)=3x2+x 是否是 R 上的凹函 数；②若函数(x)=logax 是 R+上的凹函数，求不等式(x2+2x-2)≥0 的解集。 解：①是；②x∈[-3,-1- )∪(-1+ ,1] ★ 【※例 8】已知函数(x)= x + 1 - a a - x ,按如图所示构造一个数列发生 器, 其工作原理如下:①输入数据 x1(x1≠a),经数列发生器输出 x2= (x1);② 若 x2=a,则数列发生器结束工作;若 x2≠a,则将 x2 反馈到输入端,再输 出 x3=(x2),并依此规律继续下去. (Ⅰ)求当 a 为何值时,数列｛xn｝为无穷数列? (Ⅱ)试推断是否存在数据 x1, 使数列｛xn｝为无穷递增数列,若存在,求 x1 的取值范围,若不存在,说明理 由. 解:①a=-1;②不存在. ★ 【※例 9】把数列｛2n+1｝中的各项从小到大依将次按第一个括号放一个数,第二个括号放 2 个数,第三个括号放 3 个数,第四个括号放 4 个数,第 5 个括号又放 1 个数,…循环分为:（3）, （5,7）,（9,11,13）,（15,17,19,21）,（23）,（25,27）,（29,31,33）,（35,37,39,41）,… 那么第 104 个括号内各数之和为( D ) A 2036 B 2048 C 2060 D 2072 专题内容：数学选择题的求解常见策略 一、方法概述 数学选择题具有概念性強,知识面广,注重基础,内容灵巧等特点.由于选择题提供了备选 答案,又不要求写出解答过程,因此,选择题的解法灵活多样,不拘一格.最常用的的方法主要有直 接法、排除法、特例法、验证法、图象法、估算法等;在实际应用中,同一个选择是题可以用几种 方法去求解,也可以联合几种方法去求解,方法的选取要以提高解题效率为目的,力求“快、准、 巧”,防止小题大做. ①直接法:直接从题设条件出发,通过正确的的运算或推理求得结论,再与选择支对照,从而作出 判断;这种方法解题严谨,适用于解题过程简单的选择题. ②排除法:充分运用单项选择题的特点,结合题目中的有关信息,采用简捷有效的手段,对各选择 支进行筛选,排除其中三个假支,即可选出真支;这种方法适用范围广,解题效率高,是一种简单可行的 典型方法. ③特例法:运用满足题设条件的某些特殊值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊函数等,对 各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真这一原理,达 到肯定一支或否定三支的目的,从而得出正确选项,这种方法符合普遍性存在于特殊性之中的辩证 原理,是一种非常重要的解题策略. ④验证法:将选择支中的具体数值逐一代入,验证题设条件是否成立,然后确定符合题设条件的 选择支,这种方法适用于选择支是方程、不等式的解集,参数的值或取值范围等. ⑤图象法:利用函数图象或数学问题的几何意义,将数的问题转化为形的问题,利用图形的直观 性,辅以简单的计算,再确定正确选项;这种方法是一种数形结合的数学思想,能使解题简捷、迅速. 3 3 ⑥估算法:通过粗略的计算,把复杂的问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数 据扩大或缩小,对运算结果确定一个大致范围或作出一个估计,进而作出判断选择真支;这种方法常 用于解选择支为数据运算结果的某些选择题. 二、范例剖析 ※【★题 1】已知定义于 R 上的函数(x)满足(x+2)= 1 (x),若(1)=-5,则[ (5)]的值为( C ) A -5 B 5 C -1 5 D 1 5 ※【★题 2】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 ( C ) A 16π B 20π C 24π D 32π ※【★题 3】设函数(x)=lg2 + x 2 - x,则( x 2) +( 2 x)的定义域为( A ) A (-4,0)∪(0,4) B (-4,1)∪(1,4) C (-2,-1)∪(1,2) D (-4,-2)∪(2,4) ※【★题 4】设函数(x)= 2 –x -1, (x≤0) , (x>0) 若(x0)>1,则 x0 的取值范围是( D ) A (-1,1) B(-1,+∞) C (-∞,-2)∪(0,+∞) D (-∞,-1)∪(1,+∞) ※【★题 5】已知长方形的四个顶点 A（0，0）,B（2，0）,C（2，1）,D（0，1）一质点从 AB 的 中点 P0 沿与 AB 夹角为的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、 P3、P4（入射角等于反射角），设 P4 的坐标为(x4,0)，若 1b>0)的两条渐近线的夹角为，离心率为 e,则 cos  2 等于（ B ） A e B 1 e C e2 D 1 e2 ※【★题 8】已知|OA|=1,|OB|= ,OA·OB=0,点 C 在∠AOB 的内部,且∠AOC=30°,设OC=mOA+n0B(m,n ∈R),则m n=(　B） 　Ａ1 3 B 3 C 3 D ※【★题 9】若定义于区间（-1，0）的函数(x)=log2a(x+1)满足(x)>0,则 a 的取值范围是（A ） A （0，1 2） B （0，1 2] C （1 2，+∞） D （0，+∞） ※【★题 10】已知等差数列｛an｝的前 n 项之和为 30，前 2n 项之和为 100，则它的前 3n 项之和 为（C ）A 130 B 170 C 210 D 260 ※【★题 11】设 a>0,b>0 则以下不等式中不恒成立的是（ B） A (a+b) (1 a+1 b) ≥4 B a3+b3≥2ab2 C a2+b2+2≥2a+2b D |a - b|≥ a- b ※【★题 12】函数 y=ln(x + 1 x - 1) (x∈1,+∞)的反函数为（ B ） A y=ex - 1 ex + 1 （x∈(0,+∞) ） B y=ex + 1 ex - 1 （x∈(0,+∞) ） C y=ex - 1 ex + 1 （x∈(-∞,0) ） D y=ex + 1 ex - 1 （x∈(-∞,0) ） 1 2x 2 2 2 2 1x y a b − = 3 3 ※【★题 13】若平面向量b与a=(1,-2)的夹角为 180°,且|b|=3 5,则b=( A ) A (-3,6) B (3,-6) C (6,-3) D (-6,3) ※【★题 14】设直线 L 过点 A(0,a),且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( C ) A ±4 B ±2 2 C±2 D ± 2 ※【★题 15】已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=( 2cos, 2sin),则向量OA与向量OB的夹角的取值 范围为( C ) A [0, π 4 ] B [π 4 , 5 12π] C [π 12, 5 12π] D [ 5 12π,π 2 ] ※【★题 16】设 a>1 为常数,对任意的 x∈(1,a),下列不等式中正确的是( B ) A loga(logax)cosx,则区间 I 为( C ) A ( π 4 ,π 2 ] B [π 2 ,π] C [π,5π 4 ) D (5π 4 ,3π 2 ] ※【★题 18】定义两种运算：a⊕b= a2 - b2,a⊙b= (a - b)2,则函数(x)= 2 ⊕ x (x ⊙ 2) - 2 为（ A ） A 奇函数 B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数 ※【★题 19】过点 A(1,-1)和 B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程为( C ) A (x-3)2+(y+1)2=4 B (x+3)2+(y-1)2=4 C (x-1)2+(y-1)2=4 D (x+1)2+(y+1)2=4 ※【★题 20】与点 A(1,2)相距为 3,且与点 B(4,6)相距为 2 的直线共有( C )条 A 1 B 2 C 3 D 4 解:转为考查以 A 和 B 为圆心的两圆的公切线条数,所以有 3 条。 ※ 【★题 21】函数（x)=x2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数 g(x)= 在区间（1， +∞）上必有（ D ） A 最小值 B 最大值 C 是减函数 D 是增函数 解：则 a 必须小于 1 ※【★题 22】四位同学参加某次竞赛，竞赛规则规定：每一个同学都必须从甲、乙两道题中任选 一道做答，选甲题答对得 21 分，答错得-21 分；选乙题答对得 7 分，答错得-7 分；若这四人的总 成绩刚好为 0 分，则这四位同学不同的得分情况的种数有（ B ）种。 A 48 B 44 C 36 D 24 专题内容： 直接法、特值法、图象法求解填空题 洞口三中 方锦昌 电子邮箱： fangjingchang2007@163.com QQ：694969336（晴雨天空） 手机号码： 13975987411 一、方法概述 数学填空题不要求写出计算和推理过程,命题形式千姿百态,解法灵活多变。最常见的求 解方法有以下几种： ①直接法 直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式、法则等知识，通过变形、 推理、计算、判断等手段得出正确的结论。 ②特值法 根据题设条件的特征，选取恰当的特殊值、特殊函数、特殊位置、特殊图形、特 殊模型等进行推理计算，从而得出相关的结论。这种方法适用于在一般条件下答案为定值的填空 题,是一种高效率的求解策略. ③图象法 根据试题的特点,找出其几何意义,画出符合题意的辅助图形,借助图形的直观性进 ( )f x x 行分析探究,得出正确结论.这是一种数形结合的解题策略,在填空题中有着广泛的应用. ④构造法 根据题意将问题进行合理类比,通过构造方程、函数、向量、图形等，把原问题转 化为另一个简单的问题来解决，从而得出所求的结论，这是一种非常规的解法，需要有一定的创 新思维能力。 ⑤检验法 在题设条件下给出多个结论，要求判断正确结论的个数或序号，一般可通过逐一检 验各个结论或命题的正确性来作出判断，从而得出所填答案，这类填空题实质是一种变通的选择 题，因此可利用解选择题的方法进行求解。 ⑥临界法 对于确定变量取值范围的某些填空题，先求出变量的临界取值，再考虑在变化过 程中变量的取值与临界值的大小关系，就可以得出变量的取值范围；解题中要注意数形结合，找 准变量的临界位置。 求解选择题时，要注意适当选取方法，尽量避免繁杂的推理和运算，有时要综合几种方法去 求解，力争小题巧做。 二、范例剖析 ※【★题 1】已知(x3+1 x)n 的展开式中的常数项为 84,则 n=_____(答案:n=9) ※【★题 2】函数 y=(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成的图形的面积称为函数(x)在 [a,b]上的面积。已知函数 y=sinnx 在[0, π n ]上的面积为2 n (n∈N*)，则函数 y=sin3x 在[0,2π 3 ]上的面 积为______（答案： 4 3） ※【★题 3】口袋里装有 10 个相同的球,其中 5 个球标有数字 0,另 5 个球标有数字 1,若从袋子 中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球中所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是______(答案: 13 63) ※【★题 4】设集合 A=｛x|lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)｝,集合 B=｛x| x x - 3 ≤0｝,若 A∩B 中有且只有 一个元素,则实数 m 的取值范围是_____(答案:｛m|-3≤m≤0 或 m=1｝ ※【★题 5】设 O 为坐标原点，过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作 L，交抛物线于 A、B 两点，则 OA·OB等于______（答案： -3 4 ） ※【★题 6】设函数(x)= 4 - x2的定义域为 A，函数 g(x)=ln(3a-ax-x2)的定义域为 B，若 A B，则实数 a 的取值范围是______（答案：（4，+∞）） ※【★题 7】已知函数(x)=sinx-|a|为奇函数，则实数 a 的值为_____(答案：0） ※【★题 8】若数列｛an｝满足：a1= 1 3，且对于任意的正整数 m,n 都有 am+n=am·an，则 a1+a2+…+an=_____（答案：3n - 1 2·3n） ※【★题 9】已知 lgx1=3-x1,10(x2) =3-x2,x1+x2=_______(答案：3） ※【★题 10】已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互相垂直,且 PA=2,PB=PC=4,则这三棱锥的 外接球的体积是_____(答案:36π) ※【★题 11】定义一种运算“*”，对于正整数 n 满足以下运算性质：①1*1=1； ②(n+1)*1=3(n*1),那么 n*1 用含 n 的代数式表示是_____(答案：3n-1) ※【★题 12】椭圆 的焦点为 F1，F2，点 P 为其上的动点，当∠F1PF2 为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是______(答案：（ -3 5 ，3 5）） ※【★题 13】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设｛an｝是公比为 q 的无穷等比数列，下列｛an｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第几组 2 2 19 4 x y+ = _____①S1,S2;②a2 与 S3;③a1 与 an④q 与 an；其中 n 为大于 1 的整数，Sn 为｛an｝的前 n 项之和 （答案：①④） ※【★题 14】设 F 是椭圆 的右焦点，且椭圆至少有 21 个不同的点 Pi(i=1,2,3,…), 使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为 d 的等差数列，则 d 的取值范围是______(答案：[ -1 10 ，0）∪ （0， 1 10]） ※【★题 15】已知 m,n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：①若∥,m ，n，则 m∥n；②若 m,n,m∥,n∥，则∥；③若 m⊥,n⊥,m∥n，则∥ ；④m,n 是两条异面直线，若 m∥,m∥,n∥,n∥,则∥。上述命题中，真命题的序号 是____(答案：③④） 高考数学填空题求解策略讲解 填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、 数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表 达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分 类加以例说. 1. 函数与不等式 例 1 已知函数 ，则 讲解　由 ，得 ，应填 4.请思考为什么不必求 呢？ 例2 集合 的真子集的个数是 讲解　 ，显然集合 M 中有 90 个元素，其真子集的个 数是 ，应填 . ●快速解答此题需要记住小结论:对于含有 n 个元素的有限集合,其真子集的个数是 例3 　若函数 的图象关于直线 对称，则 讲解　由已知抛物线的对称轴为 ,得　 ，而 ，有 ，故应填 6. 例4 　如果函数 ，那么 讲解　容易发现 ，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝ ，应填 ●本题是 2002 年全国高考题，十分有趣的是，2003 年上海春考题中也有一道类似题： 设 ，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 2 2 17 6 x y+ = ( ) 1+= xxf ( ) ._______31 =−f 13 += x ( ) 431 ==− xf ( )xf 1−       ∈−<≤−= NxxM x ,2 110log1 1 .______ { } { }NxxxxM ∈<≤=∈<≤= ,10010Nx2,lgx1 1290 − 1290 − .122 − ( ) [ ]baxxaxy ,,322 ∈+−+= 1=x ._____=b 2 2+−= ax 4−=a 12 =+ ba 6=b ( ) 2 2 1 x xxf += ( ) ( ) ( ) ( ) ._____4 143 132 121 =    ++    ++    ++ fffffff ( ) 11 =    + tftf ( ) 2 731 =+f .2 7 ( ) 22 1 + = xxf ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .______650f45 =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+−+− ffff 2. 三角与复数 例5 　已知点 P 在第三象限，则角 的终边在第 象限. 讲解　由已知得　 从而角 的终边在第二象限，故应填二. 例6 不等式 （ ）的解集为 . 讲解 注意到 ，于是原不等式可变形为:　 而 ，所以 ，故应填 例7 　如果函数 的图象关于直线 对称，那么 讲解　 ，其中 . 是已知函数的对称轴， ，即 ，于是 　故应填 . ●在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数 和 的图象关于过最值 点且垂直于 x 轴的直线分别成轴对称图形. 例 8、设非零复数 满足　 ，则代数式　 的值是_____ 讲解　将已知方程变形为　　 ， 解这个一元二次方程，得　 显然有 ,　而 ,于是 原式＝ 　＝ ＝ ●在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视. 3. 数列、排列组合与二项式定理 例 9、　已知 是公差不为零的等差数列，如果 是 的前 n 项和，那么 讲解　特别取 ，有 ，于是有 故应填 2. ( )αα cos,tan α ____    < >⇒    < < ,0cos ,0sin ,0cos ,0tan α α α α α ( ) 120lg cos2 ≥x ( )π,0∈x __________ 120lg > .0cos0cos2 ≥⇔≥ xx π<< x0 20 π≤< x .20       ∈≤< Rxxx ，π xaxy 2cos2sin += 8 π−=x ._____=a ( )ϕ++= 2sin1 2ay a=ϕtan  8 π−=x 282 ππϕπ +=+    −∴ k Zkk ∈+= ， 4 3ππϕ .14 3tantan −=     +== ππϕ ka 1− ( )ϕω += xAy sin ( )ϕω += xAy cos yx, 022 =++ yxyx 20052005       ++      + yx y yx x 11 2 =+     +      y x y x .2 3 2 1 ω=±−= iy x 23 1,1 ωωω −=+= 166832005 +×= ( ) ( )20052005 2005 1 1 1 ωω ω + + + ( ) ( )2005220052 1 ωω ω − + − .11 2 =− + ω ω { }na nS { }na ._____lim = ∞→ n n n S na nan = ( ) 2 1+= nnSn ( ) .211 2 1 2 limlimlim 2 = + =+= ∞→∞→∞→ n nn n S na nnn n n 例 10、数列 中， , 则 讲解 分类求和，得 ，故应填 ． 例11 有以下四个命题：(文科生只要求记结论) ① ② ③凸 n 边形内角和为 ④凸 n 边形对角线的条数是 其中满足“假设 时命题成立，则当 n=k+1 时命题也成立’’.但不满足“当 （ 是 题中给定的 n 的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　. 讲解 ①当 n=3 时， ，不等式成立； ② 当 n=1 时， ，但假设 n=k 时等式成立，则 　 ； ③　 ，但假设 成立，则 ④　 ，假设 成立，则　 故应填②③. 　　例 13　某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从 000000 到 999999. 若号码的奇位数字是不同的奇 数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　. 讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有 种方法，偶位数字上排偶数的方法有 ， 从而中奖号码共有 种，于是中奖面为　 故应填 例14 的展开式中 的系数是 讲解　由 知，所求系数应为 的 x 项的系数与 项的系数的 和，即有 故应填 1008. 4. 立体几何 例 15 过长方体一个顶点的三条棱长为 3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 ________. { }na ( )      − = 是偶数），（ 是奇数， n n a n n n 5 2 5 1 nn aaaS 2212 +⋅⋅⋅++= .________2lim = ∞→ n n S ( ) ( )，nnn aaaaaaS 24212312 +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= − ∴ 8 1 5 11 5 2 5 11 5 1 2 2 2 2lim = − − + − = ∞→ n n S 8 1 ( )；〉 3122 ≥+ nnn ( )；122642 2 ≥++=+⋅⋅⋅+++ nnnn ( ) ( ) ( )；31 ≥−= nnnf π ( ) ( ) ( ).42 2 ≥−= nnnnf ( )0, kkNkkn ≥∈= 0nn = 0n 13223 +×> 2112 2 ++≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 21112212642 22 ++++=++++=++⋅⋅⋅+++ kkkkkk ( ) ( )π133 −≠f ( ) ( )π1−= kkf ( ) ( ) ( )[ ] ；ππ 111 −+=+=+ kkfkf ( ) ( ) 2 2444 −≠f ( ) ( ) 2 2−= kkkf ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] .2 21131 −++≠−+=+ kkkkfkf 3 5P 35 33 5 5×P %,75.0%1001000000 533 5 =××P %.75.0 ( )( )72 21 −+ xx 3x .__________ ( )( ) ( ) ( )77272 2221 −+−=−+ xxxxx ( )72−x 3x ( ) ( ) ，100822 44 7 66 7 =−+− CC 讲解　长方体的对角线就是外接球的直径 ,　即有 从而 ，故应填 例 16 若四面体各棱的长是 1 或 2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　　　　（只需写出一 个可能的值）． 讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边 之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三 类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , , ，故应 填. 、 、 中的一个即可. 例 17 如右图，E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射 影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上） 讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前 后三个方向的射影，也就是在面 ABCD、面 ABB1A1、面 ADD1A1 上的射影. 四边形 BFD1E 在面 ABCD 和面 ABB1A1 上的射影相同，如图○2 所示； 四边形 BFD1E 在该正方体对角面的 ABC1D1 内，它在面 ADD1A1 上的射影显然是一条线段，如图○3 所示. 故应 填○2 ○3 . 4. 解析几何 例 18 直线 被抛物线 截得线段的中点坐标是___________. 讲解　由 消去 y，化简得：　 设此方程二根为 ，所截线段的中点坐标 为： 故 应填 . 例 19 椭圆 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值时，点 P 的坐标是__ 讲解 记椭圆的二焦点为 ，有 则知 显然当 ，即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25.故应填 或 例 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是 ，在杯内放一个玻 R2 ( ) ,5054342 22222 =++== RR ππ 504 2 == RS球 .50π 6 11 12 11 12 14 6 11 12 11 12 14 1−= xy xy 42 =    = −= xy xy 4 ,1 2 ,0162 =+− xx 21 xx ， .21 32 00 21 0 =−= =+= xy xxx ， ( )2,3 1259 22 =+ yx 21 FF， ,10221 ==+ aPFPF .252 2 21 21 =      +≤⋅= PFPFPFPFm 521 == PFPF ( )0,3− ( ).0,3 ( )2002 2 ≤≤= yxy ○1 ○2 ○3 ○4 A B D C E F A1 B1 C1D1 璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径 r 的取值范围是___________. 讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在 y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆 的方程为 由 消去 x，得 （*）；解出 或 要使（*）式有且只有一个实数根 ，只要且只需要 即 再结合半径 ，故应填 填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学 高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要 做好应试的技·能准备. ( ) .222 rryx =−+ ( )    = =−+ ， ， 2 2 222 xy rryx ( ) 0122 =−+ yry 0=y ( ).12 ry −= 0=y ( ) ,012 ≤−r .1≤r 0>r .10 ≤< r