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  • 2021-05-14 发布

高考数学真题汇编数列有答案

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高考数学真题汇编---数列 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________‎ ‎ 一.选择题(共9小题)‎ ‎1.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )‎ A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎2.(2017•新课标Ⅱ)在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首古诗描述的这个宝塔(古称浮屠),本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?你算出的结果是(  )‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎3.(2017•新课标Ⅲ)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )‎ A.﹣24 B.﹣3 C.3 D.8‎ ‎4.(2017•新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是(  )‎ A.440 B.330 C.220 D.110‎ ‎5.(2016•上海)已知无穷等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且=S,下列条件中,使得2Sn<S(n∈N*)恒成立的是(  )‎ A.a1>0,0.6<q<0.7 B.a1<0,﹣0.7<q<﹣0.6‎ C.a1>0,0.7<q<0.8 D.a1<0,﹣0.8<q<﹣0.7‎ ‎6.(2016•新课标Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(  )‎ A.100 B.99 C.98 D.97‎ ‎7.(2016•四川)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(  )‎ ‎(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)‎ A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年 ‎8.(2016•浙江)如图,点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(  )‎ A.{Sn}是等差数列 B.{Sn2}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{dn2}是等差数列 ‎9.(2016•新课标Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有(  )‎ A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 ‎ ‎ 二.填空题(共9小题)‎ ‎10.(2017•北京)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1,a4=b4=8,则=   .‎ ‎11.(2017•江苏)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8=   .‎ ‎12.(2017•新课标Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 =   .‎ ‎13.(2017•新课标Ⅲ)设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1,a1﹣a3‎ ‎=﹣3,则a4=   .‎ ‎14.(2016•江苏)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,若a1+a22=﹣3,S5=10,则a9的值是   .‎ ‎15.(2016•北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=   .‎ ‎16.(2016•上海)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为   .‎ ‎17.(2016•新课标Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为   .‎ ‎18.(2016•浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=   ,S5=   .‎ ‎ 三.解答题(共22小题)‎ ‎19.(2017•新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2.‎ ‎(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若T3=21,求S3.‎ ‎20.(2017•山东)已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3﹣x2=2.‎ ‎(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1 P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.‎ ‎21.(2017•山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.‎ ‎(1)求数列{an}通项公式;‎ ‎(2){bn} 为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.‎ ‎22.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).‎ ‎23.(2017•天津)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.‎ ‎(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).‎ ‎24.(2017•新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{}的前n项和.‎ ‎25.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=﹣6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.‎ ‎26.(2017•江苏)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.‎ ‎(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;‎ ‎(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{an}是等差数列.‎ ‎27.(2017•北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1.‎ ‎28.(2017•北京)设{an}和{bn}是两个等差数列,记cn=max{b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,bn﹣ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数.‎ ‎(1)若an=n,bn=2n﹣1,求c1,c2,c3的值,并证明{cn}是等差数列;‎ ‎(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当n≥m时,>M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列.‎ ‎29.(2017•浙江)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*),证明:当n∈N*时,‎ ‎(Ⅰ)0<xn+1<xn;‎ ‎(Ⅱ)2xn+1﹣xn≤;‎ ‎(Ⅲ)≤xn≤.‎ ‎30.(2016•北京)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎31.(2016•北京)设数列A:a1,a2,…,aN (N≥2).如果对小于n(2≤n≤‎ N)的每个正整数k都有ak<an,则称n是数列A的一个“G时刻”,记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎(Ⅰ)对数列A:﹣2,2,﹣1,1,3,写出G(A)的所有元素;‎ ‎(Ⅱ)证明:若数列A中存在an使得an>a1,则G(A)≠∅;‎ ‎(Ⅲ)证明:若数列A满足an﹣an﹣1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN﹣a1.‎ ‎32.(2016•新课标Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ ‎33.(2016•天津)已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且﹣=,S6=63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(﹣1)nb}的前2n项和.‎ ‎34.(2016•上海)对于无穷数列{an}与{bn},记A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=bn,n∈N*},若同时满足条件:①{an},{bn}均单调递增;②A∩B=∅且A∪B=N*,则称{an}与{bn}是无穷互补数列.‎ ‎(1)若an=2n﹣1,bn=4n﹣2,判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列,并说明理由;‎ ‎(2)若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列,求数量{bn}的前16项的和;‎ ‎(3)若{an}与{bn}是无穷互补数列,{an}为等差数列且a16=36,求{an}与{bn}的通项公式.‎ ‎35.(2016•新课标Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ ‎36.(2016•浙江)设数列{an}的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎(Ⅰ)求通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.‎ ‎37.(2016•新课标Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7‎ ‎=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.‎ ‎(Ⅰ)求b1,b11,b101;‎ ‎(Ⅱ)求数列{bn}的前1000项和.‎ ‎38.(2016•四川)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+‎ ‎(Ⅰ)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+…+en2.‎ ‎39.(2016•新课标Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求{bn}的前n项和.‎ ‎40.(2016•江苏)记U={1,2,…,100},对数列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=∅,定义ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定义ST=++…+.例如:T={1,3,66}时,ST=a1+a3+a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,ST=30.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:ST<ak+1;‎ ‎(3)设C⊆U,D⊆U,SC≥SD,求证:SC+SC∩D≥2SD.‎ ‎ ‎ ‎41、(2016•山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎42、(2016•新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式 高考数学真题汇编---数列 参考答案与试题解析 ‎ 一.选择题(共9小题)‎ ‎1.‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.‎ ‎【解答】解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,‎ ‎∴,‎ 解得a1=﹣2,d=4,‎ ‎∴{an}的公差为4.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.‎ ‎【分析】设塔顶的a1盏灯,由题意{an}是公比为2的等比数列,利用等比数列前n项和公式列出方程,能求出结果.‎ ‎【解答】解:设塔顶的a1盏灯,‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列,‎ ‎∴S7==381,‎ 解得a1=3.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程,求出公差,由此能求出{an}前6项的和.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1,d≠0,‎ 解得d=﹣2,‎ ‎∴{an}前6项的和为==﹣24.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.‎ ‎【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{bn}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N+),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n+1﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;‎ 方法二:由题意求得数列的每一项,及前n项和Sn=2n+1﹣2﹣n,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,分别即可求得N的值.‎ ‎【解答】解:设该数列为{an},设bn=+…+=2n+1﹣1,(n∈N+),则=ai,‎ 由题意可设数列{an}的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2,‎ 可知当N为时(n∈N+),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n+1﹣n﹣2,‎ 容易得到N>100时,n≥14,‎ A项,由=435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A项符合题意.‎ B项,仿上可知=325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.‎ C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210‎ ‎﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.‎ D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.‎ 故选A.‎ 方法二:由题意可知:,,,…,‎ 根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1,…,2n﹣1,‎ 每项含有的项数为:1,2,3,…,n,‎ 总共的项数为N=1+2+3+…+n=,‎ 所有项数的和为Sn:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,‎ 由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,‎ 则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,‎ ‎②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,‎ ‎③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,‎ ‎④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N>100,‎ ‎∴该款软件的激活码440.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.‎ ‎【分析】由已知推导出,由此利用排除法能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵,S==,﹣1<q<1,‎ ‎2Sn<S,‎ ‎∴,‎ 若a1>0,则,故A与C不可能成立;‎ 若a1<0,则qn,‎ 在B中,a1<0,﹣0.7<q<﹣0.6故B成立;‎ 在D中,a1<0,﹣0.8<q<﹣0.7,此时q2>,D不成立.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.‎ ‎【分析】根据已知可得a5=3,进而求出公差,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}前9项的和为27,S9===9a5.‎ ‎∴9a5=27,a5=3,‎ 又∵a10=8,‎ ‎∴d=1,‎ ‎∴a100=a5+95d=98,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.‎ ‎【分析】设第n年开始超过200万元,可得130×(1+12%)n﹣2015>200,两边取对数即可得出.‎ ‎【解答】解:设第n年开始超过200万元,‎ 则130×(1+12%)n﹣2015>200,‎ 化为:(n﹣2015)lg1.12>lg2﹣lg1.3,‎ n﹣2015>=3.8.‎ 取n=2019.‎ 因此开始超过200万元的年份是2019年.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.‎ ‎【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,运用三角形相似知识,hn+hn+2=2hn+1,由Sn=d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,进而得到数列{Sn}为等差数列.‎ ‎【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,‎ ‎|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,‎ 由于a,c不确定,则{dn}不一定是等差数列,‎ ‎{dn2}不一定是等差数列,‎ 设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,‎ 由三角形的相似可得==,‎ ‎==,‎ 两式相加可得,==2,‎ 即有hn+hn+2=2hn+1,‎ 由Sn=d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,‎ 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn,‎ 则数列{Sn}为等差数列.‎ 另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,AnBnBn+1为直角三角形,‎ 且A1B1,A2B2,…,AnBn为直角边,‎ 即有hn+hn+2=2hn+1,‎ 由Sn=d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,‎ 即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn,‎ 则数列{Sn}为等差数列.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.‎ ‎【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,当m=4时,数列中有四个0和四个1,然后一一列举得答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,若m=4,说明数列有8项,满足条件的数列有:‎ ‎0,0,0,0,1,1,1,1; 0,0,0,1,0,1,1,1; 0,0,0,1,1,0,1,1; 0,0,0,1,1,1,0,1; 0,0,1,0,0,1,1,1;‎ ‎0,0,1,0,1,0,1,1; 0,0,1,0,1,1,0,1; 0,0,1,1,0,1,0,1; 0,0,1,1,0,0,1,1; 0,1,0,0,0,1,1,1;‎ ‎0,1,0,0,1,0,1,1; 0,1,0,0,1,1,0,1; 0,1,0,1,0,0,1,1; 0,1,0,1,0,1,0,1.共14个.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共9小题)‎ ‎10.‎ ‎【分析】利用等差数列求出公差,等比数列求出公比,然后求解第二项,即可得到结果.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1,a4=b4=8,‎ 设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.‎ 可得:8=﹣1+3d,d=3,a2=2;‎ ‎8=﹣q3,解得q=﹣2,∴b2=2.‎ 可得=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎11.‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1,S3=,S6=,可得=,=,联立解出即可得出.‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q≠1,‎ ‎∵S3=,S6=,∴=,=,‎ 解得a1=,q=2.‎ 则a8==32.‎ 故答案为:32.‎ ‎ ‎ ‎12.‎ ‎【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和,然后化简所求的表达式,求解即可.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,‎ 可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,‎ Sn=,=,‎ 则 =2[1﹣++…+]=2(1﹣)=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎13.‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=﹣1,a1﹣a3=﹣3,可得:a1(1+q)=﹣1,a1(1﹣q2)=﹣3,解出即可得出.‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,∵a1+a2=﹣1,a1﹣a3=﹣3,‎ ‎∴a1(1+q)=﹣1,a1(1﹣q2)=﹣3,‎ 解得a1=1,q=﹣2.‎ 则a4=(﹣2)3=﹣8.‎ 故答案为:﹣8.‎ ‎ ‎ ‎14.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出a9的值.‎ ‎【解答】解:∵{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1+a22=﹣3,S5=10,‎ ‎∴,‎ 解得a1=﹣4,d=3,‎ ‎∴a9=﹣4+8×3=20.‎ 故答案为:20.‎ ‎ ‎ ‎15.‎ ‎【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差,由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6.‎ ‎【解答】解:∵{an}为等差数列,Sn为其前n项和.‎ a1=6,a3+a5=0,‎ ‎∴a1+2d+a1+4d=0,‎ ‎∴12+6d=0,‎ 解得d=﹣2,‎ ‎∴S6==36﹣30=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎16.‎ ‎【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n=1,2,3,4的情况,归纳可得n>4后都为0或1或﹣1,则k的最大个数为4.‎ ‎【解答】解:对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得 当n=1时,a1=S1=2或3;‎ 若n=2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0;或2,1;或3,0;或3,﹣1;‎ 若n=3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0;或2,0,1;‎ 或2,1,0;或2,1,﹣1;或3,0,0;或3,0,﹣1;或3,1,0;或3,1,﹣1;‎ 若n=4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0;或2,0,0,1;‎ 或2,0,1,0;或2,0,1,﹣1;或2,1,0,0;或2,1,0,﹣1;‎ 或2,1,﹣1,0;或2,1,﹣1,1;或3,0,0,0;或3,0,0,﹣1;‎ 或3,0,﹣1,0;或3,0,﹣1,1;或3,﹣1,0,0;或3,﹣1,0,1;‎ 或3,﹣1,1,0;或3,﹣1,1,﹣1;‎ ‎…‎ 即有n>4后一项都为0或1或﹣1,则k的最大个数为4,‎ 不同的四个数均为2,0,1,﹣1,或3,0,1,﹣1.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎17.‎ ‎【分析】求出数列的等比与首项,化简a1a2…an,然后求解最值.‎ ‎【解答】解:等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,‎ 可得q(a1+a3)=5,解得q=.‎ a1+q2a1=10,解得a1=8.‎ 则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+(n﹣1)=8n•==,‎ 当n=3或4时,表达式取得最大值:=26=64.‎ 故答案为:64.‎ ‎ ‎ ‎18.‎ ‎【分析】运用n=1时,a1=S1,代入条件,结合S2=4,解方程可得首项;再由n>1时,an+1=Sn+1﹣Sn,结合条件,计算即可得到所求和.‎ ‎【解答】解:由n=1时,a1=S1,可得a2=2S1+1=2a1+1,‎ 又S2=4,即a1+a2=4,‎ 即有3a1+1=4,解得a1=1;‎ 由an+1=Sn+1﹣Sn,可得 Sn+1=3Sn+1,‎ 由S2=4,可得S3=3×4+1=13,‎ S4=3×13+1=40,‎ S5=3×40+1=121.‎ 故答案为:1,121.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共22小题)‎ ‎19.‎ ‎【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,运用等差数列和等比数列的通项公式,列方程解方程可得d,q,即可得到所求通项公式;‎ ‎(2)运用等比数列的求和公式,解方程可得公比,再由等差数列的通项公式和求和,计算即可得到所求和.‎ ‎【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,‎ a1=﹣1,b1=1,a2+b2=2,a3+b3=5,‎ 可得﹣1+d+q=2,﹣1+2d+q2=5,‎ 解得d=1,q=2或d=3,q=0(舍去),‎ 则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1,n∈N*;‎ ‎(2)b1=1,T3=21,‎ 可得1+q+q2=21,‎ 解得q=4或﹣5,‎ 当q=4时,b2=4,a2=2﹣4=﹣2,‎ d=﹣2﹣(﹣1)=﹣1,S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6;‎ 当q=﹣5时,b2=﹣5,a2=2﹣(﹣5)=7,‎ d=7﹣(﹣1)=8,S3=﹣1+7+15=21.‎ ‎ ‎ ‎20.‎ ‎【分析】(I)列方程组求出首项和公比即可得出通项公式;‎ ‎(II)从各点向x轴作垂线,求出梯形的面积的通项公式,利用错位相减法求和即可.‎ ‎【解答】解:(I)设数列{xn}的公比为q,则q>0,‎ 由题意得,‎ 两式相比得:,解得q=2或q=﹣(舍),‎ ‎∴x1=1,‎ ‎∴xn=2n﹣1.‎ ‎(II)过P1,P2,P3,…,Pn向x轴作垂线,垂足为Q1,Q2,Q3,…,Qn,‎ 记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,‎ 则bn==(2n+1)×2n﹣2,‎ ‎∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+(2n+1)×2n﹣2,①‎ ‎∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n﹣1,②‎ ‎①﹣②得:﹣Tn=+(2+22+…+2n﹣1)﹣(2n+1)×2n﹣1‎ ‎=+﹣(2n+1)×2n﹣1=﹣+(1﹣2n)×2n﹣1.‎ ‎∴Tn=.‎ ‎ ‎ ‎21.‎ ‎【分析】(1)通过首项和公比,联立a1+a2=6、a1a2=a3,可求出a1=q=2,进而利用等比数列的通项公式可得结论;‎ ‎(2)利用等差数列的性质可知S2n+1=(2n+1)bn+1,结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1,进而可知=,利用错位相减法计算即得结论.‎ ‎【解答】解:(1)记正项等比数列{an}的公比为q,‎ 因为a1+a2=6,a1a2=a3,‎ 所以(1+q)a1=6,q=q2a1,‎ 解得:a1=q=2,‎ 所以an=2n;‎ ‎(2)因为{bn} 为各项非零的等差数列,‎ 所以S2n+1=(2n+1)bn+1,‎ 又因为S2n+1=bnbn+1,‎ 所以bn=2n+1,=,‎ 所以Tn=3•+5•+…+(2n+1)•,‎ Tn=3•+5•+…+(2n﹣1)•+(2n+1)•,‎ 两式相减得:Tn=3•+2(++…+)﹣(2n+1)•,‎ 即Tn=3•+(+++…+)﹣(2n+1)•,‎ 即Tn=3+1++++…+)﹣(2n+1)•=3+﹣(2n+1)•‎ ‎=5﹣.‎ ‎ ‎ ‎22.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.通过b2+b3=12,求出q,得到.然后求出公差d,推出an=3n﹣2.‎ ‎(Ⅱ)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,利用错位相减法,转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由已知b2+b3=12,得,而b1=2,所以q2+q﹣6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,.‎ 由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8.‎ 由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立①②,解得a1=1,d=3,‎ 由此可得an=3n﹣2.‎ 所以,{an}的通项公式为an=3n﹣2,{bn}的通项公式为.‎ ‎(Ⅱ)解:设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n﹣2,有,,‎ 上述两式相减,得=.‎ 得.‎ 所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n﹣4)2n+2+16.‎ ‎ ‎ ‎23.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{an}和{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.‎ ‎【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.‎ 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.‎ 又因为q>0,解得q=2.所以,bn=2n.‎ 由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8①.‎ 由S11=11b4,可得a1+5d=16②,‎ 联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n﹣2.‎ 所以,数列{an}的通项公式为an=3n﹣2,数列{bn}的通项公式为bn=2n.‎ ‎(II)设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn,‎ 由a2n=6n﹣2,b2n﹣1=4n,有a2nb2n﹣1=(3n﹣1)4n,‎ 故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n,‎ ‎4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1,‎ 上述两式相减,得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1‎ ‎==﹣(3n﹣2)4n+1﹣8‎ 得Tn=.‎ 所以,数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为.‎ ‎ ‎ ‎24.‎ ‎【分析】(1)利用数列递推关系即可得出.‎ ‎(2)==﹣.利用裂项求和方法即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.‎ n≥2时,a1+3a2+…+(2n﹣3)an﹣1=2(n﹣1).‎ ‎∴(2n﹣1)an=2.∴an=.‎ 当n=1时,a1=2,上式也成立.‎ ‎∴an=.‎ ‎(2)==﹣.‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=.‎ ‎ ‎ ‎25.‎ ‎【分析】(1)由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8,a1==,a2==,由a1+a2=2,列方程即可求得q及a1,根据等比数列通项公式,即可求得{an}的通项公式;‎ ‎(2)由(1)可知.利用等比数列前n项和公式,即可求得Sn,分别求得Sn+1,Sn+2,显然Sn+1+Sn+2=2Sn,则Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.‎ ‎【解答】解:(1)设等比数列{an}首项为a1,公比为q,‎ 则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8,则a1==,a2==,‎ 由a1+a2=2,+=2,整理得:q2+4q+4=0,解得:q=﹣2,‎ 则a1=﹣2,an=(﹣2)(﹣2)n﹣1=(﹣2)n,‎ ‎∴{an}的通项公式an=(﹣2)n;‎ ‎(2)由(1)可知:Sn===﹣[2+(﹣2)n+1],‎ 则Sn+1=﹣[2+(﹣2)n+2],Sn+2=﹣[2+(﹣2)n+3],‎ 由Sn+1+Sn+2=﹣[2+(﹣2)n+2]﹣[2+(﹣2)n+3],‎ ‎=﹣[4+(﹣2)×(﹣2)n+1+(﹣2)2×(﹣2)n+1],‎ ‎=﹣[4+2(﹣2)n+1]=2×[﹣(2+(﹣2)n+1)],‎ ‎=2Sn,‎ 即Sn+1+Sn+2=2Sn,‎ ‎∴Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.‎ ‎ ‎ ‎26.‎ ‎【分析】(1)由题意可知根据等差数列的性质,an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=(an﹣3+an+3)+(an﹣2+an+2)+(an﹣1+an+1)═2×3an,根据“P(k)数列”的定义,可得数列{an}是“P(3)数列”;‎ ‎(2)由已知条件结合(1)中的结论,可得到{an}从第3项起为等差数列,再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系,可知{an}为等差数列.‎ ‎【解答】解:(1)证明:设等差数列{an}首项为a1,公差为d,则an=a1+(n﹣1)d,‎ 则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3,‎ ‎=(an﹣3+an+3)+(an﹣2+an+2)+(an﹣1+an+1),‎ ‎=2an+2an+2an,‎ ‎=2×3an,‎ ‎∴等差数列{an}是“P(3)数列”;‎ ‎(2)证明:当n≥4时,因为数列{an}是P(3)数列,则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an,①‎ 因为数列{an}是“P(2)数列”,所以an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an,②‎ 则an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1,③,‎ ‎②+③﹣①,得2an=4an﹣1+4an+1﹣6an,即2an=an﹣1+an+1,(n≥4),‎ 因此n≥4从第3项起为等差数列,设公差为d,注意到a2+a3+a5+a6=4a4,‎ 所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4(a3+d)﹣a3﹣(a3+2d)﹣(a3+3d)=a3﹣d,‎ 因为a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4(a2+d)﹣a2﹣(a2+2d)﹣(a2+3d)=a2﹣d,‎ 也即前3项满足等差数列的通项公式,‎ 所以{an}为等差数列.‎ ‎ ‎ ‎27.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出等差数列的公差,然后求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)利用已知条件求出公比,然后求解数列的和即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)等差数列{an},a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2,‎ 所以{an}的通项公式:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9,‎ 等比数列{bn}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同).‎ ‎∴q2=3,‎ ‎{b2n﹣1}是等比数列,公比为3,首项为1.‎ b1+b3+b5+…+b2n﹣1==.‎ ‎ ‎ ‎28.‎ ‎【分析】(1)分别求得a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,代入即可求得c1,c2,c3;由(bk﹣nak)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥bk﹣nak,则cn=b1﹣na1=1﹣n,cn+1﹣cn=﹣1对∀n∈N*均成立;‎ ‎(2)由bi﹣ain=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),分类讨论d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论根据等差数列的性质,即可求得使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列;设=An+B+‎ 对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,分类讨论,采用放缩法即可求得因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M.‎ ‎【解答】解:(1)a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=3,b3=5,‎ 当n=1时,c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0,‎ 当n=2时,c2=max{b1﹣2a1,b2﹣2a2}=max{﹣1,﹣1}=﹣1,‎ 当n=3时,c3=max{b1﹣3a1,b2﹣3a2,b3﹣3a3}=max{﹣2,﹣3,﹣4}=﹣2,‎ 下面证明:对∀n∈N*,且n≥2,都有cn=b1﹣na1,‎ 当n∈N*,且2≤k≤n时,‎ 则(bk﹣nak)﹣(b1﹣na1),‎ ‎=[(2k﹣1)﹣nk]﹣1+n,‎ ‎=(2k﹣2)﹣n(k﹣1),‎ ‎=(k﹣1)(2﹣n),由k﹣1>0,且2﹣n≤0,‎ 则(bk﹣nak)﹣(b1﹣na1)≤0,则b1﹣na1≥bk﹣nak,‎ 因此,对∀n∈N*,且n≥2,cn=b1﹣na1=1﹣n,‎ cn+1﹣cn=﹣1,‎ ‎∴c2﹣c1=﹣1,‎ ‎∴cn+1﹣cn=﹣1对∀n∈N*均成立,‎ ‎∴数列{cn}是等差数列;‎ ‎(2)证明:设数列{an}和{bn}的公差分别为d1,d2,下面考虑的cn取值,‎ 由b1﹣a1n,b2﹣a2n,…,bn﹣ann,‎ 考虑其中任意bi﹣ain,(i∈N*,且1≤i≤n),‎ 则bi﹣ain=[b1+(i﹣1)d1]﹣[a1+(i﹣1)d2]×n,‎ ‎=(b1﹣a1n)+(i﹣1)(d2﹣d1×n),‎ 下面分d1=0,d1>0,d1<0三种情况进行讨论,‎ ‎①若d1=0,则bi﹣ain═(b1﹣a1n)+(i﹣1)d2,‎ 当若d2≤0,则(bi﹣ain)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)d2≤0,‎ 则对于给定的正整数n而言,cn=b1﹣a1n,此时cn+1﹣cn=﹣a1,‎ ‎∴数列{cn}是等差数列;‎ 当d2>0,(bi﹣ain)﹣(bn﹣ann)=(i﹣n)d2>0,‎ 则对于给定的正整数n而言,cn=bn﹣ann=bn﹣a1n,‎ 此时cn+1﹣cn=d2﹣a1,‎ ‎∴数列{cn}是等差数列;‎ 此时取m=1,则c1,c2,…,是等差数列,命题成立;‎ ‎②若d1>0,则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数,‎ 故必存在m∈N*,使得n≥m时,﹣d1n+d2<0,‎ 则当n≥m时,(bi﹣ain)﹣(b1﹣a1n)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i≤n),‎ 因此当n≥m时,cn=b1﹣a1n,‎ 此时cn+1﹣cn=﹣a1,故数列{cn}从第m项开始为等差数列,命题成立;‎ ‎③若d1<0,此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数,‎ 故必存在s∈N*,使得n≥s时,﹣d1n+d2>0,‎ 则当n≥s时,(bi﹣ain)﹣(bn﹣ann)=(i﹣1)(﹣d1n+d2)≤0,(i∈N*,1≤i≤n),‎ 因此,当n≥s时,cn=bn﹣ann,‎ 此时==﹣an+,‎ ‎=﹣d2n+(d1﹣a1+d2)+,‎ 令﹣d1=A>0,d1﹣a1+d2=B,b1﹣d2=C,‎ 下面证明:=An+B+对任意正整数M,存在正整数m,使得n≥m,>M,‎ 若C≥0,取m=[+1],[x]表示不大于x的最大整数,‎ 当n≥m时,≥An+B≥Am+B=A[+1]+B>A•+B=M,‎ 此时命题成立;‎ 若C<0,取m=[]+1,‎ 当n≥m时,‎ ‎≥An+B+≥Am+B+C>A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M,‎ 此时命题成立,‎ 因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n≥m时,>M;‎ 综合以上三种情况,命题得证.‎ ‎ ‎ ‎29.‎ ‎【分析】(Ⅰ)用数学归纳法即可证明,‎ ‎(Ⅱ)构造函数,利用导数判断函数的单调性,把数列问题转化为函数问题,即可证明,‎ ‎(Ⅲ)由≥2xn+1﹣xn得﹣≥2(﹣)>0,继续放缩即可证明 ‎【解答】解:(Ⅰ)用数学归纳法证明:xn>0,‎ 当n=1时,x1=1>0,成立,‎ 假设当n=k时成立,则xk>0,‎ 那么n=k+1时,若xk+1<0,则0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)<0,矛盾,‎ 故xn+1>0,‎ 因此xn>0,(n∈N*)‎ ‎∴xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1,‎ 因此0<xn+1<xn(n∈N*),‎ ‎(Ⅱ)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1),‎ 记函数f(x)=x2﹣2x+(x+2)ln(1+x),x≥0‎ ‎∴f′(x)=+ln(1+x)>0,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f(x)≥f(0)=0,‎ 因此xn+12﹣2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)≥0,‎ 故2xn+1﹣xn≤;‎ ‎(Ⅲ)∵xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,‎ ‎∴xn≥,‎ 由≥2xn+1﹣xn得﹣≥2(﹣)>0,‎ ‎∴﹣≥2(﹣)≥…≥2n﹣1(﹣)=2n﹣2,‎ ‎∴xn≤,‎ 综上所述≤xn≤.‎ ‎ ‎ ‎30.‎ ‎【分析】(1)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列,运用通项公式可得q=3,d=2,进而得到所求通项公式;‎ ‎(2)求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,再由数列的求和方法:分组求和,运用等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.‎ ‎【解答】解:(1)设{an}是公差为d的等差数列,‎ ‎{bn}是公比为q的等比数列,‎ 由b2=3,b3=9,可得q==3,‎ bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1;‎ 即有a1=b1=1,a14=b4=27,‎ 则d==2,‎ 则an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1;‎ ‎(2)cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1,‎ 则数列{cn}的前n项和为 ‎(1+3+…+(2n﹣1))+(1+3+9+…+3n﹣1)=n•2n+‎ ‎=n2+.‎ ‎ ‎ ‎31.‎ ‎【分析】(Ⅰ)结合“G时刻”的定义进行分析;‎ ‎(Ⅱ)可以采用假设法和递推法进行分析;‎ ‎(Ⅲ)可以采用假设法和列举法进行分析.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据题干可得,a1=﹣2,a2=2,a3=﹣1,a4=1,a5=3,a1<a2满足条件,2满足条件,a2>a3不满足条件,3不满足条件,‎ a2>a4不满足条件,4不满足条件,a1,a2,a3,a4,均小于a5,因此5满足条件,因此G(A)={2,5}.‎ ‎(Ⅱ)因为存在an>a1,设数列A中第一个大于a1的项为ak,则ak>a1≥ai,其中2≤i≤k﹣1,所以k∈G(A),G(A)≠∅;‎ ‎(Ⅲ)设A数列的所有“G时刻”为i1<i2<…<ik,‎ 对于第一个“G时刻”i1,有>a1≥ai(i=2,3,…,i1﹣1),则 ‎﹣a1≤﹣≤1.‎ 对于第二个“G时刻”i1,有>≥ai(i=2,3,…,i1﹣1),则 ‎﹣≤﹣≤1.‎ 类似的﹣≤1,…,﹣≤1.‎ 于是,k≥(﹣)+(﹣)+…+(﹣)+(﹣a1)=﹣a1.‎ 对于aN,若N∈G(A),则=aN.‎ 若N∉G(A),则aN≤,否则由(2)知,,…,aN,中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾.‎ 从而k≥﹣a1≥aN﹣a1.‎ ‎ ‎ ‎32.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,根据已知构造关于首项和公差方程组,解得答案;‎ ‎(Ⅱ)根据bn=[an],列出数列{bn}的前10项,相加可得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,‎ ‎∵a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎∴,‎ 解得:,‎ ‎∴an=;‎ ‎(Ⅱ)∵bn=[an],‎ ‎∴b1=b2=b3=1,‎ b4=b5=2,‎ b6=b7=b8=3,‎ b9=b10=4.‎ 故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24.‎ ‎ ‎ ‎33.‎ ‎【分析】(1)根据等比数列的通项公式列方程解出公比q,利用求和公式解出a1,得出通项公式;‎ ‎(2)利用对数的运算性质求出bn,使用分项求和法和平方差公式计算.‎ ‎【解答】解:(1)设{an}的公比为q,则﹣=,即1﹣=,‎ 解得q=2或q=﹣1.‎ 若q=﹣1,则S6=0,与S6=63矛盾,不符合题意.∴q=2,‎ ‎∴S6==63,∴a1=1.‎ ‎∴an=2n﹣1.‎ ‎(2)∵bn是log2an和log2an+1的等差中项,‎ ‎∴bn=(log2an+log2an+1)=(log22n﹣1+log22n)=n﹣.‎ ‎∴bn+1﹣bn=1.‎ ‎∴{bn}是以为首项,以1为公差的等差数列.‎ 设{(﹣1)nbn2}的前2n项和为Tn,则 Tn=(﹣b12+b22)+(﹣b32+b42)+…+(﹣b2n﹣12+b2n2)‎ ‎=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n ‎==‎ ‎=2n2.‎ ‎ ‎ ‎34.‎ ‎【分析】(1){an}与{bn}不是无穷互补数列.由4∉A,4∉B,4∉A∪B=N*,即可判断;‎ ‎(2)由an=2n,可得a4=16,a5=32,再由新定义可得b16=16+4=20,运用等差数列的求和公式,计算即可得到所求和;‎ ‎(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于1,可得d=1或2,讨论d=1,2求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式.‎ ‎【解答】解:(1){an}与{bn}不是无穷互补数列.‎ 理由:由an=2n﹣1,bn=4n﹣2,可得4∉A,4∉B,‎ 即有4∉A∪B=N*,即有{an}与{bn}不是无穷互补数列;‎ ‎(2)由an=2n,可得a4=16,a5=32,‎ 由{an}与{bn}是无穷互补数列,可得b16=16+4=20,‎ 即有数列{bn}的前16项的和为 ‎(1+2+3+…+20)﹣(2+4+8+16)=×20﹣30=180;‎ ‎(3)设{an}为公差为d(d为正整数)的等差数列且a16=36,则a1+15d=36,‎ 由a1=36﹣15d≥1,可得d=1或2,‎ 若d=1,则a1=21,an=n+20,bn=n(1≤n≤20),‎ 与{an}与{bn}是无穷互补数列矛盾,舍去;‎ 若d=2,则a1=6,an=2n+4,bn=.‎ 综上可得,an=2n+4,bn=.‎ ‎ ‎ ‎35.‎ ‎【分析】(1)根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推,结合等比数列的定义进行证明求解即可.‎ ‎(2)根据条件建立方程关系进行求解就可.‎ ‎【解答】解:(1)∵Sn=1+λan,λ≠0.‎ ‎∴an≠0.‎ 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1,‎ 即(λ﹣1)an=λan﹣1,‎ ‎∵λ≠0,an≠0.∴λ﹣1≠0.即λ≠1,‎ 即=,(n≥2),‎ ‎∴{an}是等比数列,公比q=,‎ 当n=1时,S1=1+λa1=a1,‎ 即a1=,‎ ‎∴an=•()n﹣1.‎ ‎(2)若S5=,‎ 则若S5=1+λ[•()4]=,‎ 即()5=﹣1=﹣,‎ 则=﹣,得λ=﹣1.‎ ‎ ‎ ‎36.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式an;‎ ‎(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.‎ ‎∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,‎ 解得a1=1,a2=3,‎ 当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,‎ 两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,‎ 即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,‎ 满足an+1=3an,‎ ‎∴=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,‎ 则通项公式an=3n﹣1.‎ ‎(Ⅱ)an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,‎ 设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,‎ 则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,‎ 当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,‎ 则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,‎ 此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=,‎ 则Tn==.‎ ‎ ‎ ‎37.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用已知条件求出等差数列的公差,求出通项公式,然后求解b1,b11,b101;‎ ‎(Ⅱ)找出数列的规律,然后求数列{bn}的前1000项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,7a4=28.‎ 可得a4=4,则公差d=1.‎ an=n,‎ bn=[lgn],则b1=[lg1]=0,‎ b11=[lg11]=1,‎ b101=[lg101]=2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:b1=b2=b3=…=b9=0,b10=b11=b12=…=b99=1.‎ b100=b101=b102=b103=…=b999=2,b10,00=3.‎ 数列{bn}的前1000项和为:9×0+90×1+900×2+3=1893.‎ ‎ ‎ ‎38.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得a2与a3的值,又由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+(a2+a3),代入a2与a3的值可得q2=2q,解可得q的值,进而可得Sn+1=2Sn+1,进而可得Sn=2Sn﹣1+1,将两式相减可得an=2an﹣1,即可得数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案;‎ ‎(Ⅱ)根据题意Sn+1=qSn+1,同理有Sn=qSn﹣1+1,将两式相减可得an=qan﹣1,分析可得an=qn﹣1;又由双曲线x2﹣=1的离心率为en,且e2=2,分析可得e2==2,‎ 解可得a2的值,由an=qn﹣1可得q的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n﹣1,运用分组求和法计算可得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据题意,数列{an}的首项为1,即a1=1,‎ 又由Sn+1=qSn+1,则S2=qa1+1,则a2=q,‎ 又有S3=qS2+1,则有a3=q2,‎ 若a2,a3,a2+a3成等差数列,即2a3=a2+(a2+a3),‎ 则可得q2=2q,(q>0),‎ 解可得q=2,‎ 则有Sn+1=2Sn+1,①‎ 进而有Sn=2Sn﹣1+1,②‎ ‎①﹣②可得an=2an﹣1,‎ 则数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列,‎ 则an=1×2n﹣1=2n﹣1;‎ ‎(Ⅱ)根据题意,有Sn+1=qSn+1,③‎ 同理可得Sn=qSn﹣1+1,④‎ ‎③﹣④可得:an=qan﹣1,‎ 又由q>0,‎ 则数列{an}是以1为首项,公比为q的等比数列,则an=1×qn﹣1=qn﹣1;‎ 若e2=2,则e2==2,‎ 解可得a2=,‎ 则a2=q=,即q=,‎ an=1×qn﹣1=qn﹣1=()n﹣1,‎ 则en2=1+an2=1+3n﹣1,‎ 故e12+e22+…+en2=n+(1+3+32+…+3n﹣1)=n+.‎ ‎ ‎ ‎39.‎ ‎【分析】(Ⅰ)令n=1,可得a1=2,结合{an}是公差为3的等差数列,可得{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)由(1)可得:数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,进而可得:{bn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵anbn+1+bn+1=nbn.‎ 当n=1时,a1b2+b2=b1.‎ ‎∵b1=1,b2=,‎ ‎∴a1=2,‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列,‎ ‎∴an=3n﹣1,‎ ‎(Ⅱ)由(I)知:(3n﹣1)bn+1+bn+1=nbn.‎ 即3bn+1=bn.‎ 即数列{bn}是以1为首项,以为公比的等比数列,‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣.‎ ‎ ‎ ‎40.‎ ‎【分析】(1)根据题意,由ST的定义,分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30,计算可得a2=3,进而可得a1的值,由等比数列通项公式即可得答案;‎ ‎(2)根据题意,由ST的定义,分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1,由等比数列的前n项和公式计算可得证明;‎ ‎(3)设A=∁C(C∩D),B=∁D(C∩D),则A∩B=∅‎ ‎,进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB,分2种情况进行讨论:①、若B=∅,②、若B≠∅,可以证明得到SA≥2SB,即可得证明.‎ ‎【解答】解:(1)等比数列{an}中,a4=3a3=9a2,‎ 当T={2,4}时,ST=a2+a4=a2+9a2=30,‎ 因此a2=3,从而a1==1,‎ 故an=3n﹣1,‎ ‎(2)ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=<3k=ak+1,‎ ‎(3)设A=∁C(C∩D),B=∁D(C∩D),则A∩B=∅,‎ 分析可得SC=SA+SC∩D,SD=SB+SC∩D,则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB,‎ 因此原命题的等价于证明SC≥2SB,‎ 由条件SC≥SD,可得SA≥SB,‎ ‎①、若B=∅,则SB=0,故SA≥2SB,‎ ‎②、若B≠∅,由SA≥SB可得A≠∅,设A中最大元素为l,B中最大元素为m,‎ 若m≥l+1,则其与SA<ai+1≤am≤SB相矛盾,‎ 因为A∩B=∅,所以l≠m,则l≥m+1,‎ SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=,即SA≥2SB,‎ 综上所述,SA≥2SB,‎ 故SC+SC∩D≥2SD.‎ ‎ ‎ ‎41、【分析】(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求出数列{cn}的通项,利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)Sn=3n2+8n,‎ ‎∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5,‎ n=1时,a1=S1=11,∴an=6n+5;‎ ‎∵an=bn+bn+1,‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn,‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1.‎ ‎∴2d=6,‎ ‎∴d=3,‎ ‎∵a1=b1+b2,‎ ‎∴11=2b1+3,‎ ‎∴b1=4,‎ ‎∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1;‎ ‎(Ⅱ)cn========6(n+1)•2n,‎ ‎∴Tn=6[2•2+3•22+…+(n+1)•2n]①,‎ ‎∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1]②,‎ ‎①﹣②可得 ‎﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣(n+1)•2n+1]‎ ‎=12+6×﹣6(n+1)•2n+1‎ ‎=(﹣6n)•2n+1=﹣3n•2n+2,‎ ‎∴Tn=3n•2n+2.‎ ‎42、【分析】(1)根据题意,由数列的递推公式,令n=1可得a12﹣(2a2﹣1)a1﹣2a2=0,将a1=1代入可得a2的值,进而令n=2可得a22﹣(2a3﹣1)a2﹣2a3=0,将a2=代入计算可得a3的值,即可得答案;‎ ‎(2)根据题意,将an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0变形可得(an﹣2an+1)(an+an+1)=0,进而分析可得an=2an+1或an=﹣an+1,结合数列各项为正可得an=2an+1,结合等比数列的性质可得{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0,‎ 当n=1时,有a12﹣(2a2﹣1)a1﹣2a2=0,‎ 而a1=1,则有1﹣(2a2﹣1)﹣2a2=0,解可得a2=,‎ 当n=2时,有a22﹣(2a3﹣1)a2﹣2a3=0,‎ 又由a2=,解可得a3=,‎ 故a2=,a3=;‎ ‎(2)根据题意,an2﹣(2an+1﹣1)an﹣2an+1=0,‎ 变形可得(an﹣2an+1)(an+1)=0,‎ 即有an=2an+1或an=﹣1,‎ 又由数列{an}各项都为正数,‎ 则有an=2an+1,‎ 故数列{an}是首项为a1=1,公比为的等比数列,‎ 则an=1×()n﹣1=()n﹣1,‎ 故an=()n﹣1.‎