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- 2021-05-14 发布
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2017年天津文
1.(2017年天津文)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C= ( )
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,6}
1.B 【解析】由题意可得A∪B ={1,2,4,6},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
2. (2017·天津高考)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选B 由2-x≥0,得x≤2,
由|x-1|≤1,得0≤x≤2.
∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2,
故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.
3. (2017年天津文)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
3. C 【解析】选取两支彩笔的方法有:红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫,共10种,含有红色彩笔的选法有:红黄、红蓝、红绿、红紫,共4种,由古典概型的概率计算公式,可得所求概率P==.故选C.
4. (2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选C 第一次循环,24能被3整除,N==8>3;第二次循环,8不能被3整除,N=8-1=7>3;
第三次循环,7不能被3整除,N=7-1=6>3;
第四次循环,6能被3整除,N==2<3,结束循环,
故输出N的值为2.
5. (2017年天津文)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )
A. -=1 B. -=1 C. -y2=1 D.x2-=1
5. D 【解析】由题意可得解得a2=1,b2=3,故双曲线方程为x2-=1.故选D.
6. (2017年天津文)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f(log2),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b
6. C 【解析】由题意可得a=f(log2)=f(log25),且f(log25)>log24.1>2,1<20.8<2,所以log25>log24.1>20.8,结合函数的单调性可得f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c,即c<b<a.故选C.
7. (2017年天津文)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A. ω=,φ= B. ω=,φ=-
C. ω=,φ=- D. ω=,φ=
7. A 【解析】由题意得其中k1,k2∈Z,所以ω=(k2-2k1)-,又T=>2π,所以0<ω<1,所以ω=,,由|φ|<π得φ=,故选A.
8. (2017·天津高考)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-2,2]
C.[-2,2 ] D.[-2,2 ]
[解析] 选A 法一:作出f(x)的图象如图所示.
当y=的图象经过点(0,2)时,可知a=±2.
当y=+a的图象与y=x+的图象相切时,
由+a=x+,得x2-2ax+4=0,由Δ=0,
并结合图象可得a=2.
要使f(x)≥恒成立,
当a≤0时,需满足-a≤2,即-2≤a≤0,
当a>0时,需满足a≤2,即0<a≤2,
综上可知,-2≤a≤2.
法二:∵f(x)≥在R上恒成立,
∴-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立.
①令g(x)=-f(x)-.
当0≤x<1时,f(x)=x+2,
g(x)=-x-2-=-x-2≤-2,
即g(x)max=-2.
当x<0时,f(x)=-x+2,g(x)=x-2-=-2,
即g(x)<-2.
当x≥1时,
f(x)=x+,g(x)=-x--=-x-≤-2,
即g(x)max=-2.
∴a≥-2.
②令h(x)=f(x)-.
当0≤x<1时,
f(x)=x+2,h(x)=x+2-=+2≥2,
即h(x)min=2.
当x<0时,
f(x)=-x+2,h(x)=-x+2-=-x+2>2,
即h(x)>2.
当x≥1时,
f(x)=x+,h(x)=x+-=+≥2,
即h(x)min=2.
∴a≤2.
综上可知,-2≤a≤2.
法三:若a=2,则当x=0时,f(0)=2,
而=2,不等式不成立,故排除选项C,D.
若a=-2,则当x=0时,f(0)=2,而=2,不等式不成立,故排除选项B.故选A.
此题直接求解难度较大,但也有一定的技巧可取,通过比较四个选项,只需判断a=2,-2是否满足条件即可,这种策略在做选择题时经常用到.
9. (2017年天津文)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为___________.
9. -2 【解析】===-i为实数,则=0,a=-2.
10. (2017年天津)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y
轴上的截距为_________.
解析:由题可得f(1)=a,则切点为(1,a).因为f′(x)=a-,所以切线l的斜率为f′(1)=a-1,切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0可得y=1,故l在y轴上的截距为1.
11. (2017年天津文)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为___________.
11. 【解析】设正方体的边长为a,则6a2=18a=,其外接球直径为2R=a=3,故这个球的体积V=πR3=π×=.
12. (2017年天津文)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为___________.
12.(x+1)2+(y-)2=1 【解析】由题可设圆心坐标为C(-1,m),则A(0,m),焦点F(1,0),=(-1,0),=(1,-m),cos∠CAF===-,解得m=±,由于圆C与y轴的正半轴相切,则m=,所求圆的圆心为(-1,),半径为1,所求圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.
13. (2017年天津文)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为___________.
13. 4 【解析】≥=4ab+≥2=4,前一个等号成立的条件是a2=2b2,后一个等号成立的条件是ab=,两个等号可以同时成立,当且仅当a2=,b2=时取等号.
14. (2017年天津文)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为___________.
14. 【解析】由题可得·=3×2×cos 60°=3,=+,则·=(+)(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4λ=.
15. (2017年天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=(a2-b2-c2).
(1)求cos A的值;
(2)求sin(2B-A)的值.
【解析】(1)由asin A=4bsin B及正弦定理,得a=2b.
由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得cos A===-.
(2)由(1)可得sin A=,代入asin A=4bsin B,得sin B==.
由(1)知A为钝角,所以cos B==.
于是sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=,
故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=×-×=-.
16. (2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放时长(分钟)
广告播放时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多?
【分析】(1)由甲、乙连续剧总的播放时间不多于600分钟、广告时间不少于30分钟、甲连续播放的次数不多于乙连续播放的次数的2倍分别列出x,y满足的不等式,结合x,y为自然数建立不等式组,再画出平面区域.(2)列出目标函数,根据目标函数的几何意义求出最值.
解:(1)由已知x,y满足的数学关系式为即
该不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点(包括边界).
(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.
由z=60x+25y,得y=-x+.
当取得最大值时,z的值最大.
由图2可知当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,最大,即z最大.
联立解得M(6,3),
所以电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
17. (2017年天津)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面PBC;
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】(1)如图,由已知AD∥BC,
∴∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知得AP==,
∴cos∠DAP==.
∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)∵AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.
又∵BC//AD,∴PD⊥BC.
又PD⊥PB,∴PD⊥平面PBC.
(3)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,
则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
∵PD⊥平面PBC,∴PF为DF在平面PBC上的射影,
∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
∵AD∥BC,DF∥AB,∴BF=AD=1.
由已知得CF=BC-BF=2.
又AD⊥DC,∴BC⊥DC.
在Rt△DCF中,DF==2.
在Rt△DPF中,sin∠DFP==.
∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
18. (2017年天津文)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).
18.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.
又因为q>0,解得q=2,所以bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①;由S11=11b4,可得a1+5d=16②,
联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.
所以,{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.
(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有
Tn=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,
2Tn=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,
上述两式相减,得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16,得Tn=(3n-4)2n+2+16.
所以,数列{a2nbn}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.
19.4.(2017·天津高考)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
①求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;
②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0-1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.
解:(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,
可得f′(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)[x-(4-a)].
令f′(x)=0,解得x=a,或x=4-a.
由|a|≤1,得a<4-a.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a)
(a,4-a)
(4-a,+∞)
f′(x)
+
-
+
f(x)
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(4-a,+∞),单调递减区间为(a,4-a).
(2)①证明:因为g′(x)=ex[f(x)+f′(x)],
由题意知
所以
解得
所以f(x)在x=x0处的导数等于0.
②因为g(x)≤ex,x∈[x0-1,x0+1],
由ex>0,可得f(x)≤1.
又因为f(x0)=1,f′(x0)=0,
所以x0为f(x)的极大值点,结合(1)知x0=a.
另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4-a,
由(1)知f(x)在(a-1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,
故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a-1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤ex在[x0-1,x0+1]上恒成立.
由f(a)=a3-6a2-3a(a-4)a+b=1,
得b=2a3-6a2+1,-1≤a≤1.
令t(x)=2x3-6x2+1,x∈[-1,1],
所以t′(x)=6x2-12x,令t′(x)=0,
解得x=2(舍去)或x=0.
因为t(-1)=-7,t(1)=-3,t(0)=1,
因此t(x)的值域为[-7,1].
所以b的取值范围是[-7,1].
20. (2017年天津文)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
(i)求直线EP的斜率;
(ii)求椭圆的方程.
20.解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.
所以,椭圆的离心率为.
(2)(ⅰ)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,
与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为(,).
由已知|FQ|=,有[+c]2+()2=()2,整理得3m2-4m=0,所以m=-,故直线FP的斜率为.
(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.
由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立
消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.
因此可得点P(c,),进而可得|FP|==,
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,
故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,
所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△EPM的面积等于,
由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,椭圆的方程为+=1.