高考全国Ⅱ理科数学试题及答案word解析版 6页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国II）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2014年全国Ⅱ，理1，5分】设集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】把中的数代入不等式，经检验满足，故选D．‎ ‎（2）【2014年全国Ⅱ，理2，5分】设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则 ‎ ‎（ ）‎ ‎（A） （B）5 （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，与关于虚轴对称，，，故选A．‎ ‎（3）【2014年全国Ⅱ，理3，5分】设向量满足，，则（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）5‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，，，联立方程解得，故选A．‎ ‎（4）【2014年全国Ⅱ，理4，5分】钝角三角形的面积是，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）1‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，或，当时，经计算为等腰直角三角形，不符合题意，舍去；当时，使用余弦定理，，解得，故选B．‎ ‎（5）【2014年全国Ⅱ，理5，5分】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）‎ ‎（A）0.8 （B）0.75 （C）0.6 （D）0.45‎ ‎【答案】A ‎【解析】设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为，则据题意有，解得，‎ 故选A．‎ ‎（6）【2014年全国Ⅱ，理6，5分】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】加工前的零件半径为3，高6，体积，加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，体积，消掉部分的体积与原体积之比，故选C．‎ ‎（7）【2014年全国Ⅱ，理7，5分】执行右图程序框图，如果输入的均为2，则输出的（ ）‎ ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，变量变化情况：，故选D．‎ ‎（8）【2014年全国Ⅱ，理8，5分】设曲线在点处的切线方程为，则(　　 ) ‎ ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）3‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，，且，联立得，故选D．‎ ‎（9）【2014年全国Ⅱ，理9，5分】设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ ‎（A）10 （B）8 （C）3 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数在两条直线与 的交点处，取得最大值，故选B．‎ ‎（10）【2014年全国Ⅱ，理10，5分】设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点，分别在第一和第四象限，，，则由抛物线的定义和直角三角形可得：，，解得，，，，故选D．‎ ‎（11）【2014年全国Ⅱ，理11，5分】直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，分别以，，为轴，建立坐标系．令，则，，‎ ‎，，，，，故选C．‎ ‎（12）【2014年全国Ⅱ，理12，5分】设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】的极值为，即，，，，解得，故选C．‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 ‎（13）【2014年全国Ⅱ，理13，5分】的展开式中，的系数为15，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，．‎ ‎（14）【2014年全国Ⅱ，理14，5分】函数的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，最大值为1．‎ ‎（15）【2014年全国Ⅱ，理15，5分】已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】偶函数在单调递减，且，的解集为，的解集为，解得．‎ ‎（16）【2014年全国Ⅱ，理16，5分】设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在坐标系中画出圆和直线，其中在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得．‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）【2014年全国Ⅱ，理17，12分】已知数列满足，．‎ ‎（1）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）证明：．‎ 解：（1），，，‎ 是首项为，公比为3的等比数列．，因此的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）可知，，，当时，，‎ ‎ ，．‎ ‎（18）【2014年全国Ⅱ，理18，12分】如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设二面角为，，，求三棱锥的体积．‎ 解：（1）设的中点为, 连接．在三角形中，中位线，且在平面 上，所以平面．‎ ‎（2）设，分别以，，为，，轴建立坐标系，‎ 则，，，，，，‎ ‎．‎ 设平面的法向量为，则，，解得一个．‎ 同理设平面法向量为，则，，解得一个，‎ ‎，解得．‎ 设为的中点，则，且，面，即为三棱锥的高．‎ ‎，所以三棱锥的体积为．‎ ‎（19）【2014年全国Ⅱ，理19，12分】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测 该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．‎ 解：（1），，‎ 设回归方程为，代入公式，经计算得：，‎ ‎，所以关于的回归方程为．‎ ‎（2），2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收（千元），所以，预计到2015年，该区人均纯收入约为6.8千元．‎ ‎（20）【2014年全国Ⅱ，理20，12分】设,分别是椭圆的左右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．‎ ‎（1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎（2）若直线在轴上的截距为2，且，求，．‎ 解：（1）由题知，，，且．联立整理得：，解得．‎ ‎ 的离心率为．‎ ‎（2）由三角形中位线知识可知，，即．设，由题可知．由两直角三角形 相似，可得，两点横坐标分别为，．由焦半径公式可得：，，‎ ‎ 且，，．联立解得，．‎ ‎（21）【2014年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数． ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，当时，，求的最大值；‎ ‎（3）已知，估计的近似值（精确到0.001）．‎ 解：解法一：‎ ‎（1），，．‎ ‎ 所以，在上单增．‎ ‎（2），．‎ 令，，则．，‎ ‎，，使，即，‎ 即．同理，令，，，‎ 则这．，，，使．‎ 即，即，且，即，‎ 即，所以的最大值为2．‎ ‎（3）设，则，即，解得．‎ 由（2）知，，令，则，即，‎ 即，，解得，所以．‎ 解法二：‎ ‎（1），等号仅当时成立．所以在单调递增．‎ ‎（2），‎ ‎ ．‎ ‎ （ⅰ）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增．而，所以对任意，．‎ ‎ （ⅱ）当时，若满足，即时，．而，‎ ‎ 因此当时，．‎ ‎ 综上所述，的最大值为2．‎ ‎（3）由（2）可知，，‎ 当时，，；‎ 当时，，，．‎ 所以的近似值为．‎ 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号．‎ ‎（22）【2014年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，是外一点，是 切线，为切点，割线与相交于点，，，为的中点，的 延长线交于点．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 解：解法一：‎ ‎（1），，，为等腰三角形．连接，则 ‎．，‎ ‎，即，即，所以．‎ ‎（2），，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 解法二：‎ ‎（1）连接，．由题意知，故．因为，‎ ‎ ，，所以，从而．‎ ‎（2）由切割线定理得．因为，所以，．‎ ‎ 由相交弦定理得，所以．‎ ‎（23）【2014年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，．‎ ‎（1）求的参数方程；‎ ‎（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 的坐标．‎ 解：（1）C的普通方程为：．可得的参数方程为．‎ ‎（2）设，由（1）知是以为圆心，1为半径的上半圆．‎ ‎ 因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同，，．‎ ‎ 故的直角坐标为，即．‎ ‎（24）【2014年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ 解：（1）由，有，所以．‎ ‎（2），当时，，由得．‎ ‎ 当时，，由得．‎ 综上所述，的取值范围是．‎