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  • 2021-05-14 发布

高考全国Ⅱ理科数学试题及答案word解析版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国II)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2014年全国Ⅱ,理1,5分】设集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】把中的数代入不等式,经检验满足,故选D.‎ ‎(2)【2014年全国Ⅱ,理2,5分】设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则 ‎ ‎( )‎ ‎(A) (B)5 (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,与关于虚轴对称,,,故选A.‎ ‎(3)【2014年全国Ⅱ,理3,5分】设向量满足,,则( )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)5‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,,,联立方程解得,故选A.‎ ‎(4)【2014年全国Ⅱ,理4,5分】钝角三角形的面积是,,,则( )‎ ‎(A) (B) (C)2 (D)1‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,或,当时,经计算为等腰直角三角形,不符合题意,舍去;当时,使用余弦定理,,解得,故选B.‎ ‎(5)【2014年全国Ⅱ,理5,5分】某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )‎ ‎(A)0.8 (B)0.75 (C)0.6 (D)0.45‎ ‎【答案】A ‎【解析】设某天空气质量优良,则随后一个空气质量也优良的概率为,则据题意有,解得,‎ 故选A.‎ ‎(6)【2014年全国Ⅱ,理6,5分】如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】加工前的零件半径为3,高6,体积,加工后的零件,左半部为小圆柱,半径2,高4,右半部为大圆柱,半径为3,高为2,体积,消掉部分的体积与原体积之比,故选C.‎ ‎(7)【2014年全国Ⅱ,理7,5分】执行右图程序框图,如果输入的均为2,则输出的( )‎ ‎(A)4 (B)5 (C)6 (D)7‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,变量变化情况:,故选D.‎ ‎(8)【2014年全国Ⅱ,理8,5分】设曲线在点处的切线方程为,则(   ) ‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,,且,联立得,故选D.‎ ‎(9)【2014年全国Ⅱ,理9,5分】设满足约束条件,则的最大值为( )‎ ‎(A)10 (B)8 (C)3 (D)2‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出区域,可知区域为三角形,经比较斜率,可知目标函数在两条直线与 的交点处,取得最大值,故选B.‎ ‎(10)【2014年全国Ⅱ,理10,5分】设为抛物线的焦点,过且倾斜角为的直线交于,两点,为坐标原点,则的面积为( ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点,分别在第一和第四象限,,,则由抛物线的定义和直角三角形可得:,,解得,,,,故选D.‎ ‎(11)【2014年全国Ⅱ,理11,5分】直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成的角的余弦值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图,分别以,,为轴,建立坐标系.令,则,,‎ ‎,,,,,故选C.‎ ‎(12)【2014年全国Ⅱ,理12,5分】设函数,若存在的极值点满足,则的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】的极值为,即,,,,解得,故选C.‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上 ‎(13)【2014年全国Ⅱ,理13,5分】的展开式中,的系数为15,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,.‎ ‎(14)【2014年全国Ⅱ,理14,5分】函数的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,最大值为1.‎ ‎(15)【2014年全国Ⅱ,理15,5分】已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】偶函数在单调递减,且,的解集为,的解集为,解得.‎ ‎(16)【2014年全国Ⅱ,理16,5分】设点,若在圆上存在点,使得,则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在坐标系中画出圆和直线,其中在直线上,由圆的切线相等及三角形外角知识,可得.‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)【2014年全国Ⅱ,理17,12分】已知数列满足,.‎ ‎(1)证明是等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(2)证明:.‎ 解:(1),,,‎ 是首项为,公比为3的等比数列.,因此的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)可知,,,当时,,‎ ‎ ,.‎ ‎(18)【2014年全国Ⅱ,理18,12分】如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)设二面角为,,,求三棱锥的体积.‎ 解:(1)设的中点为, 连接.在三角形中,中位线,且在平面 上,所以平面.‎ ‎(2)设,分别以,,为,,轴建立坐标系,‎ 则,,,,,,‎ ‎.‎ 设平面的法向量为,则,,解得一个.‎ 同理设平面法向量为,则,,解得一个,‎ ‎,解得.‎ 设为的中点,则,且,面,即为三棱锥的高.‎ ‎,所以三棱锥的体积为.‎ ‎(19)【2014年全国Ⅱ,理19,12分】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入 ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎(1)求关于的线性回归方程;‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测 该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.‎ 解:(1),,‎ 设回归方程为,代入公式,经计算得:,‎ ‎,所以关于的回归方程为.‎ ‎(2),2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长,预计到2015年,该区人均纯收(千元),所以,预计到2015年,该区人均纯收入约为6.8千元.‎ ‎(20)【2014年全国Ⅱ,理20,12分】设,分别是椭圆的左右焦点,是上一点且与轴垂直,直线与的另一个交点为.‎ ‎(1)若直线的斜率为,求的离心率;‎ ‎(2)若直线在轴上的截距为2,且,求,.‎ 解:(1)由题知,,,且.联立整理得:,解得.‎ ‎ 的离心率为.‎ ‎(2)由三角形中位线知识可知,,即.设,由题可知.由两直角三角形 相似,可得,两点横坐标分别为,.由焦半径公式可得:,,‎ ‎ 且,,.联立解得,.‎ ‎(21)【2014年全国Ⅱ,理21,12分】已知函数. ‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)设,当时,,求的最大值;‎ ‎(3)已知,估计的近似值(精确到0.001).‎ 解:解法一:‎ ‎(1),,.‎ ‎ 所以,在上单增.‎ ‎(2),.‎ 令,,则.,‎ ‎,,使,即,‎ 即.同理,令,,,‎ 则这.,,,使.‎ 即,即,且,即,‎ 即,所以的最大值为2.‎ ‎(3)设,则,即,解得.‎ 由(2)知,,令,则,即,‎ 即,,解得,所以.‎ 解法二:‎ ‎(1),等号仅当时成立.所以在单调递增.‎ ‎(2),‎ ‎ .‎ ‎ (ⅰ)当时,,等号仅当时成立,所以在单调递增.而,所以对任意,.‎ ‎ (ⅱ)当时,若满足,即时,.而,‎ ‎ 因此当时,.‎ ‎ 综上所述,的最大值为2.‎ ‎(3)由(2)可知,,‎ 当时,,;‎ 当时,,,.‎ 所以的近似值为.‎ 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个 题目计分,做答时请写清题号.‎ ‎(22)【2014年全国Ⅱ,理22,10分】(选修4-1:几何证明选讲)如图,是外一点,是 切线,为切点,割线与相交于点,,,为的中点,的 延长线交于点.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 解:解法一:‎ ‎(1),,,为等腰三角形.连接,则 ‎.,‎ ‎,即,即,所以.‎ ‎(2),,,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 解法二:‎ ‎(1)连接,.由题意知,故.因为,‎ ‎ ,,所以,从而.‎ ‎(2)由切割线定理得.因为,所以,.‎ ‎ 由相交弦定理得,所以.‎ ‎(23)【2014年全国Ⅱ,理23,10分】(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴为极轴建立极坐标系,半圆的极坐标方程为,.‎ ‎(1)求的参数方程;‎ ‎(2)设点在上,在处的切线与直线垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 的坐标.‎ 解:(1)C的普通方程为:.可得的参数方程为.‎ ‎(2)设,由(1)知是以为圆心,1为半径的上半圆.‎ ‎ 因为在点处的切线与垂直,所以直线与的斜率相同,,.‎ ‎ 故的直角坐标为,即.‎ ‎(24)【2014年全国Ⅱ,理24,10分】(选修4-5:不等式选讲)设函数.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ 解:(1)由,有,所以.‎ ‎(2),当时,,由得.‎ ‎ 当时,,由得.‎ 综上所述,的取值范围是.‎