• 603.50 KB
  • 2021-05-14 发布

上海市静安区高考数学一模试卷

  • 21页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2019年上海市静安区高考数学一模试卷 一、填空题 ‎1.(3分)函数y=log2 (4﹣x2)的定义域是   .‎ ‎2.(3分)已知向量=(1,2),=(3,5),则向量的坐标是   .‎ ‎3.(3分)在二项式(x2﹣)5的展开式中,含x4的项的系数是   .‎ ‎4.(3分)若直线(2a2﹣7a+3)x+(a2﹣9)y+3=0与x轴平行,则a的值是   .‎ ‎5.(3分)若α,β是一二次方程2x2+x+3=0的两根,则=   .‎ ‎6.(3分)在数列{an}中,a1=1,且{an}是公比为的等比数列,设Tn=a1+a3+a5+…+a2n﹣1,则Tn=   .(n∈N*)‎ ‎7.(3分)某用人单位为鼓励员工爱岗敬业,在分配方案中规定:年度考核合格的员工,从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入.假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职,且同一年内月工资收入相同,2004年的月工资收入为5000元,则2019年一月该员工的月工资收入为   元.(结果保留两位小数)‎ ‎8.(3分)已知cos()=,则cos()=   .‎ ‎9.(3分)以两条直线11:2x+y=0.l2:x+3y+5=0的交点为圆心,并且与直线x+3y+15=0相切的圆的方程是   .‎ ‎10.(3分)已知球的半径为24cm,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是   cm3.‎ ‎11.(3分)集合A={y|y=logx﹣x,1≤x≤2},B={x|x2﹣5tx+1≤0},若A∩B=A,则实数t的取值范围是   ‎ ‎12.(3分)若定义在实数集R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x,则方程f(x)=在区间(﹣4,10)内的所有实根之和为   .‎ 二、选择题 ‎13.(3分)电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告,其中4个商业广告2个公益广告,现要求2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式共有(  )‎ A.A•A B.C•C ‎ C.A•A D.C•C ‎14.(3分)已知椭圆的标准方程为=1(m>0),焦点在x轴上,则其焦距为(  )‎ A.2 B.2 C.2 D.2‎ ‎15.(3分)已知下列4个命题:‎ ‎①若复数z1,z2的模相等,则z1,z2是共轭复数 ‎②z1,z2都是复数,若z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数 ‎③复数z是实数的充要条件是z=.(是z的共轭复数).‎ ‎④已知复数z1=﹣1+2i,z2=1﹣i,z3=3﹣2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y=1.‎ 则其中正确命题的个数为(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎16.(3分)设表示平面向量,||,||都是小于9的正整数,且满足(||+||)(||+3||)=105,(+)(+3)=33,则和的夹角大小为(  )‎ A. B. C. D.‎ 三、解答题 ‎17.如图,自动卸货汽车采用液压机构,设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角为60°,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米,AB与水平线之间的夹角为6°20′,AC的长为1.40米,计算BC的长(结果保留3个有效数字,单位:米)‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AC=AB,E、F分别是CD、PD的中点.‎ ‎(1)求证:CD⊥平面PAE;‎ ‎(2)求异面直线AF与PE所成角的大小(结果用反三角函数值表示).‎ ‎19.设f(x)=sin2x+2acosx+a2﹣6a+13.x∈[﹣,].‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值M;‎ ‎(2)对(1)中的M,是否存在常数b(b>0且b≠1),使得当a>1时,y=logbM有意义,且y的最大值是﹣?若存在,求出b的值;若不存在,说明理由.‎ ‎20.设m>0,椭圆Γ:=1与双曲线C:m2x2﹣y2=m2的焦点相同.‎ ‎(1)求椭圆Γ与双曲线C的方程;‎ ‎(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,分别交双曲线C于点P,Q(P,Q不同于右顶点),若k1•k2=﹣1,求证:直线PQ的倾斜角为定值,并求出此定值;‎ ‎(3)设点T(0,2),若对于直线l:y=x+b,椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称,且9<4<10,求实数b的取值范围.‎ ‎21.将n个数a1,a2,…,an的连乘积a1•a2•…•an记为ai,将n个数a1,a2,…,an的和a1+a2+…+an记为,n∈N*)‎ ‎(1)若数列{xn}满足x1=1,xn+1=x+xn,n∈N*,设Pn=,Sn=.‎ 求P5+S5;‎ ‎(2)用[x]表示不超过x的最大整数,例如[2]=2,[3.4]=3,[﹣1.8]=﹣2.若数列{xn}满足x1=1,xn+1=x+xn,n∈N*,求[]的值;‎ ‎(3)设定义在正整数集N*上的函数f(n)满足,当<n≤(m∈N*)时,f(n)=m,问是否存在正整数n,使得=2019?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由(已知=).‎ ‎2019年上海市静安区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题 ‎1.(3分)函数y=log2 (4﹣x2)的定义域是 (﹣2,2) .‎ ‎【考点】33:函数的定义域及其求法.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;4O:定义法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】根据对数函数的性质转化为不等式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:要使函数有意义,4﹣x2>0,‎ 得x2<4,得﹣2<x<2,‎ 即函数的定义域为(﹣2,2),‎ 故答案为:(﹣2,2)‎ ‎【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.比较基础.‎ ‎2.(3分)已知向量=(1,2),=(3,5),则向量的坐标是 (2,3) .‎ ‎【考点】9J:平面向量的坐标运算.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;41:向量法;5A:平面向量及应用.‎ ‎【分析】根据即可求出向量的坐标.‎ ‎【解答】解:.‎ 故答案为:(2,3).‎ ‎【点评】考查向量减法的几何意义,以及向量坐标的减法运算.‎ ‎3.(3分)在二项式(x2﹣)5的展开式中,含x4的项的系数是 10 .‎ ‎【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题.‎ ‎【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为4求得r,再代入系数求出结果.‎ ‎【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,‎ ‎ ,‎ 要求x4的项的系数 ‎∴10﹣3r=4,‎ ‎∴r=2,‎ ‎∴x4的项的系数是C52(﹣1)2=10‎ 故答案为:10‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.‎ ‎4.(3分)若直线(2a2﹣7a+3)x+(a2﹣9)y+3=0与x轴平行,则a的值是  .‎ ‎【考点】I3:直线的斜率;II:直线的一般式方程与直线的平行关系.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;5B:直线与圆.‎ ‎【分析】直线(2a2﹣7a+3)x+(a2﹣9)y+3=0与x轴平行,则,解得即可.‎ ‎【解答】解:直线(2a2﹣7a+3)x+(a2﹣9)y+3=0与x轴平行,则,解得a=,‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题给出两条直线互相平行,求参数a的值.着重考查了两条直线平行的条件及其应用的知识,属于基础题.‎ ‎5.(3分)若α,β是一二次方程2x2+x+3=0的两根,则= ﹣ .‎ ‎【考点】3V:二次函数的性质与图象.菁优网版权所有 ‎【专题】51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】由已知结合韦达定理,可得α+β=﹣,α•β=,进而根据=代入可得答案.‎ ‎【解答】解:∵α,β是一二次方程2x2+x+3=0的两根,‎ ‎∴α+β=﹣,α•β=,‎ ‎∴===﹣,‎ 故答案为:﹣‎ ‎【点评】本题考查的知识点是根与系数的关系(韦达定理),难度不大,属于基础题.‎ ‎6.(3分)在数列{an}中,a1=1,且{an}是公比为的等比数列,设Tn=a1+a3+a5+…+a2n﹣1,则Tn=  .(n∈N*)‎ ‎【考点】8E:数列的求和;8J:数列的极限.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列;55:点列、递归数列与数学归纳法.‎ ‎【分析】利用等比数列,求出数列的和,然后求解数列的极限即可.‎ ‎【解答】解:数列{an}中,a1=1,且{an}是公比为的等比数列,‎ Tn=a1+a3+a5+…+a2n﹣1==.‎ 则Tn==.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的求法,考查转化思想以及计算能力.‎ ‎7.(3分)某用人单位为鼓励员工爱岗敬业,在分配方案中规定:年度考核合格的员工,从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入.假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职,且同一年内月工资收入相同,2004年的月工资收入为5000元,则2019年一月该员工的月工资收入为 13795.16 元.(结果保留两位小数)‎ ‎【考点】5C:根据实际问题选择函数类型.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;38:对应思想;4A:数学模型法;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】本题实质为一个等比数列求某一项题,建模,得知b2004=5000,q=0.07,计算 b2019,即可 ‎【解答】解:b2004=5000,q=0.07,‎ ‎∴b2019=b2004q15=5000•(0.07)15≈13795.16,‎ 故答案为:13795.16.‎ ‎【点评】本题考查了实际问题的在实际生活中的应用,考查了等比数列的应用,属于基础题 ‎8.(3分)已知cos()=,则cos()=  .‎ ‎【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;49:综合法;56:三角函数的求值.‎ ‎【分析】利用诱导公式求得sin(﹣α)=,再利用二倍角的余弦公式求得cos()的值.‎ ‎【解答】解:∵已知cos()=sin(﹣α)=,则cos()=1﹣2=1﹣2•=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查诱导公式,二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.‎ ‎9.(3分)以两条直线11:2x+y=0.l2:x+3y+5=0的交点为圆心,并且与直线x+3y+15=0相切的圆的方程是 (x﹣1)2+(y+2)2=10 .‎ ‎【考点】JE:直线和圆的方程的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;5B:直线与圆.‎ ‎【分析】根据题意,联立直线的方程分析可得圆心的坐标,又由直线与圆的位置关系可得r==,由圆的标准方程分析可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,,解可得:,即圆心的坐标为(1,﹣2);‎ 又由圆与直线x+3y+15=0相切,则r==,‎ 即要求圆的方程为(x﹣1)2+(y+2)2=10;‎ 故答案为:(x﹣1)2+(y+2)2=10.‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及直线的交点,属于基础题.‎ ‎10.(3分)已知球的半径为24cm ‎,一个圆锥的高等于这个球的直径,而且球的表面积等于圆锥的表面积,则这个圆锥的体积是 12288π cm3.‎ ‎【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离;5Q:立体几何.‎ ‎【分析】设圆锥的底面半径为r,结合已知可得圆锥的表面积S=πr(r+)=4π×242,求出底面半径,代入圆锥体积公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:∵球的半径为24cm,圆锥的高等于这个球的直径,‎ ‎∴圆锥的高h=48cm,‎ 设圆锥的底面半径为r,则圆锥的母线长为:cm,‎ 故圆锥的表面积S=πr(r+)=4π×242cm2,‎ 解得:r=16cm,‎ 故圆锥的体积V==12288πcm3,‎ 故答案为:12288π ‎【点评】本题考查的知识点是旋转体,圆锥的几何特征,球的表面积公式,难度中档.‎ ‎11.(3分)集合A={y|y=logx﹣x,1≤x≤2},B={x|x2﹣5tx+1≤0},若A∩B=A,则实数t的取值范围是 t≤﹣ ‎ ‎【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;51:函数的性质及应用;5J:集合.‎ ‎【分析】根据题意,先分析集合A,是减函数,结合x的取值范围分析可得y的取值范围,即可得集合A;又A∩B=A,则A⊆B,设f(x)=x2﹣5tx+1,则函数f(x)与x轴有2个交点,设两个交点的坐标为(x1,0)、(x2,0),且x1<x2;进而可得x1≤﹣3,x2≥﹣1,结合二次函数的性质可得,解可得t的取值范围,即可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,对于集合A,是减函数,且1≤x≤2;‎ 则﹣3≤y≤﹣1,故A=[﹣3,﹣1];‎ 又A∩B=A,则A⊆B,B不能为空集,‎ 设f(x)=x2﹣5tx+1,则函数f(x)与x轴有2个交点,设两个交点的坐标为(x1‎ ‎,0)、(x2,0),且x1<x2;‎ 则B={x|x2﹣5tx+1≤0}={x|x1<x<x2},‎ 若A∩B=A,则有x1≤﹣3,x2≥﹣1,‎ 则有,解可得t≤﹣;‎ 故答案为:t≤﹣.‎ ‎【点评】本题考查集合的包含关系的应用,涉及二次函数的性质,注意借助二次函数的性质分析集合B,属于基础题.‎ ‎12.(3分)若定义在实数集R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0≤x≤1时,f(x)=x,则方程f(x)=在区间(﹣4,10)内的所有实根之和为 24 .‎ ‎【考点】57:函数与方程的综合运用.菁优网版权所有 ‎【专题】31:数形结合;4R:转化法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】根据函数对称性和奇偶性求出函数的周期性,判断函数在一个周期内方程f(x)=根的个数以及对称关系进行求解即可.‎ ‎【解答】解:奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,‎ 即f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),‎ 即f(x+2)=﹣f(x),‎ 则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),‎ 即函数f(x)是周期为4的周期函数,‎ 若﹣1≤x≤0,则﹣1≤﹣x≤0,‎ 则f(﹣x)=(﹣x)=﹣f(x),‎ 即f(x)=﹣(﹣x),‎ ‎∵当0≤x≤1时,f(x)=x,‎ ‎∴0≤f(x)≤1,‎ 此时f(x)=在区间(0,1)内只有一个根,‎ 则f(x)在[﹣1,1]内f(x)=只有一个根,‎ 又f(x)图象关于直线x=1对称,‎ ‎∴在一个周期内f(x)=有有两个根,且这两个根关于对称轴对称,(图象为草图只代表单调性)‎ ‎∵在(﹣4,10)内函数的对称轴为x=﹣3,x=1,x=5,x=9,‎ 即方程f(x)=在区间(﹣4,10)内有8个根,它们两两关于对称轴对称,‎ 设8个根分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,‎ 则x1+x2=2×(﹣3)=﹣6,x3+x4=2×1=2,x5+x6=2×5=10,x7,x8=2×9=18,‎ 则所以根之和为﹣6+2+10+18=24,‎ 故答案为:24.‎ ‎【点评】本题主要考查函数与方程的应用,根据条件判断函数的周期性,利用函数的周期性和对称,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,有一定的难度.‎ 二、选择题 ‎13.(3分)电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告,其中4个商业广告2个公益广告,现要求2个公益广告不能连续播放,则不同的播放方式共有(  )‎ A.A•A B.C•C ‎ C.A•A D.C•C ‎【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;49:综合法;5O:排列组合.‎ ‎【分析】先把4个商业广告排好顺序,再用插空法求得2个公益广告不能连续播放的方法数.‎ ‎【解答】解:先把4个商业广告排好顺序,共有种方法,再把2个公益广告插入5个空(包括两头)中,‎ 根据分布计数原理,共有• 种方法,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查排列组合的应用,分布计数原理,不相邻问题采用插空法,属于中档题.‎ ‎14.(3分)已知椭圆的标准方程为=1(m>0),焦点在x轴上,则其焦距为(  )‎ A.2 B.2 C.2 D.2‎ ‎【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】利用椭圆的焦点坐标所在的x轴,推出焦距即可.‎ ‎【解答】解:椭圆的标准方程为=1(m>0),焦点在x轴上,‎ 可得c=,‎ 可得焦距:2.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.‎ ‎15.(3分)已知下列4个命题:‎ ‎①若复数z1,z2的模相等,则z1,z2是共轭复数 ‎②z1,z2都是复数,若z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数 ‎③复数z是实数的充要条件是z=.(是z的共轭复数).‎ ‎④已知复数z1=﹣1+2i,z2=1﹣i,z3=3﹣2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y=1.‎ 则其中正确命题的个数为(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【考点】2K:命题的真假判断与应用.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;48:分析法;5A:平面向量及应用;5N:数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】由复数的模和共轭复数的概念可判断①;由虚数和共轭复数的概念可判断②;‎ 由复数为实数的条件可判断③;由复数的几何意义和向量的坐标表示,解方程可判断④.‎ ‎【解答】解:①,若复数z1,z2的模相等,比如z1=1+3i,z2=3﹣i,则z1,z2不是共轭复数,故①错;‎ ‎②,z1,z2都是复数,若z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数,反之z1,z2是共轭复数 可得其和为实数,故②对;‎ ‎③,复数z是实数的充要条件是z=.(是z的共轭复数),故③对;‎ ‎④,已知复数z1=﹣1+2i,z2=1﹣i,z3=3﹣2i(i是虚数单位),‎ 它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,‎ 若=x+y(x,y∈R),即有3=﹣x+y,﹣2=2x﹣y,解得x=1,y=4,‎ 则x+y=5,故④错.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查复数的概念,主要是复数的模和实数、虚数和共轭复数的概念,考查判断能力和运算能力,属于基础题.‎ ‎16.(3分)设表示平面向量,||,||都是小于9的正整数,且满足(||+||)(||+3||)=105,(+)(+3)=33,则和的夹角大小为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;5A:平面向量及应用.‎ ‎【分析】解不定方程+4||•||+3=105,由105=3×5×7,又因为||,||都是小于9的正整数,则||=3,||=4,‎ 由数量积表示两个向量的夹角及(+)•(+3)=33,得cosθ==﹣又θ∈[0,π],所以θ=,‎ ‎【解答】解:由(||+||)(||+3||)=105,得:+4||•||+3=105,‎ 由105=3×5×7,又因为||,||都是小于9的正整数,‎ 则||=3,||=4,‎ 又(+)•(+3)=33,‎ 所以+4•+3=33,‎ 所以•=﹣6,‎ cosθ==﹣‎ 又θ∈[0,π]‎ 所以θ=,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考了不定方程求解及数量积表示两个向量的夹角,属中档题.‎ 三、解答题 ‎17.如图,自动卸货汽车采用液压机构,设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角为60°,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米,AB与水平线之间的夹角为6°20′,AC的长为1.40米,计算BC的长(结果保留3个有效数字,单位:米)‎ ‎【考点】HR:余弦定理;HU:解三角形.菁优网版权所有 ‎【专题】58:解三角形.‎ ‎【分析】由题意,△ABC中,已知△ABC两边AB=1.95m,AC=1.40m,夹角A=66° 20′,求BC.‎ ‎【解答】解:由余弦定理,得BC2=AB2+AC2﹣2AB×ACcosA=1.952+1.402﹣2×1.95×1.40cos66°20′=3.568,‎ 所以BC≈1.89(m)‎ 答:顶杆BC约长1.89m.‎ ‎【点评】本题考查了利用余弦定理解决实际中的线段长度;关键是将所求抽象为数学问题解答.‎ ‎18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AC=AB,E、F分别是CD、PD的中点.‎ ‎(1)求证:CD⊥平面PAE;‎ ‎(2)求异面直线AF与PE所成角的大小(结果用反三角函数值表示).‎ ‎【考点】LM:异面直线及其所成的角;LW:直线与平面垂直.菁优网版权所有 ‎【专题】14:证明题;31:数形结合;41:向量法;5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.‎ ‎【分析】(1)推导出CD⊥PA,CD⊥AE,由此能证明CD⊥平面PAE.‎ ‎(2)以A为原点,AB为x轴,AE为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AF与PE所成角的大小.‎ ‎【解答】证明:(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AC=AB,‎ E、F分别是CD、PD的中点.‎ ‎∴CD⊥PA,CD⊥AE,‎ ‎∵PA∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.‎ 解:(2)以A为原点,AB为x轴,AE为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 设PA=AC=AB=2,‎ 则A(0,0,0),D(﹣1,,0),P(0,0,2),F(﹣,,1),E(0,),‎ ‎=(﹣,1),=(0,),‎ 设异面直线AF与PE所成角的大小为θ,‎ 则cosθ===.‎ ‎∴异面直线AF与PE所成角的大小为arccos.‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明,考查异面直线所成角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎19.设f(x)=sin2x+2acosx+a2﹣6a+13.x∈[﹣,].‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值M;‎ ‎(2)对(1)中的M,是否存在常数b(b>0且b≠1),使得当a>1时,y=logbM有意义,且y的最大值是﹣?若存在,求出b的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【考点】HW:三角函数的最值.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;33:函数思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】(1)设cosx=t,则0≤t≤1,可得f(t)=﹣(t﹣a)2+2a2﹣6a+14,0≤t≤1,分段讨论,即可求出,‎ ‎(2)当a>1时,M=a2﹣4a+13=(a﹣2)2+9≥9恒成立,则可得logb9=﹣,解得即可.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=sin2x+2acosx+a2﹣6a+13=﹣cos2x+2acosx+a2﹣6a+14,x∈[﹣,],‎ 设cosx=t,则0≤t≤1,‎ ‎∴f(t)=﹣t2+2at+a2﹣6a+14=﹣(t﹣a)2+2a2﹣6a+14,0≤t≤1,‎ 当a<0时,f(t)max=f(0)=a2﹣6a+14,‎ 当0≤a≤1时,f(t)max=f(a)=2a2﹣6a+14‎ 当a>1时吗,f(t)max=f(1)=a2﹣4a+13,‎ 故M=;‎ ‎(2)当a>1时,M=a2﹣4a+13=(a﹣2)2+9≥9恒成立,‎ ‎∵当a>1时,y=logbM有意义,且y的最大值是﹣,‎ ‎∴0<b<1,‎ ‎∴logb9=﹣,‎ ‎∴b=9,‎ ‎∴b=‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的化简以及性质和二次函数的性质,以及对数的意义,属于中档题 ‎20.设m>0,椭圆Γ:=1与双曲线C:m2x2﹣y2=m2的焦点相同.‎ ‎(1)求椭圆Γ与双曲线C的方程;‎ ‎(2)过双曲线C的右顶点作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,分别交双曲线C于点P,Q(P,Q不同于右顶点),若k1•k2=﹣1,求证:直线PQ的倾斜角为定值,并求出此定值;‎ ‎(3)设点T(0,2),若对于直线l:y=x+b,椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称,且9<4<10,求实数b的取值范围.‎ ‎【考点】KL:直线与椭圆的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】15:综合题;38:对应思想;4R:转化法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.‎ ‎【分析】(1)根据椭圆Γ:=1与双曲线C:m2x2﹣y2=m2的焦点相同,即可求出m的值,‎ ‎(2)设l1,l2的方程分别为y=k1(x﹣1),y=k2(x﹣1),分别联立方程组 ‎,,即可求出点P,Q的坐标,根据斜率公式计算即可,‎ ‎(3)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为:y=﹣x+t.联立消y整理可得:4x2﹣6tx+3t2﹣3=0,由△>0解得t的范围.再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标,代入直线AB,再由点P在直线l上求得b和t的关系,再根据向量的数量积公式求出t的范围,即可即可求得b的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆Γ:=1与双曲线C:m2x2﹣y2=m2即x2﹣=1的焦点相同,‎ ‎∴3m﹣m=1+m2,且m>0,‎ 解得m=1,‎ ‎∴椭圆Γ的方程为+y2=1,双曲线C的方程为x2﹣y2=1,‎ 证明:(2)由(1)可知,双曲线的右顶点为(1,0),‎ 设l1,l2的方程分别为y=k1(x﹣1),y=k2(x﹣1),‎ 分别联立方程组,,‎ 解得,,‎ 即P(,),Q(,),‎ ‎∵k1•k2=﹣1,‎ ‎∴kPQ===0,‎ ‎∴直线PQ的倾斜角为0°,‎ 故直线PQ的倾斜角为定值,为0°,‎ ‎(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为:y=﹣x+t,‎ 由,消y整理可得:4x2﹣6tx+3t2﹣3=0,消x整理可得4y2﹣2ty+t2﹣3=0,‎ 由△=(﹣6t)2﹣16(3t2﹣3)=4﹣t2>0,解得﹣2<t<2.‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=(t2﹣1),y1+y2=,y1y2=(t2﹣3),‎ 设直线AB之中点为P(x0,y0),则x0=(x1+x2)=‎ 由点P在直线AB上得:y0=﹣x0+b=,‎ 又点P在直线l上,∴=+b,则b=﹣t.‎ 又∵=(x1,y1﹣2),=(x2,y2﹣2),‎ ‎∴•=x1x2+y1y2﹣2(y1+y2)+4=(t2﹣1)+(t2﹣3)﹣t+4,‎ ‎∴4•=4t2﹣4t+10,‎ ‎∵9<4<10,‎ ‎∴9<4t2﹣4t+10<10,‎ ‎∴(2t﹣1)2>0,t(t﹣1)<0‎ 解得0<t<1,且t≠‎ ‎∴b=﹣t∈(﹣,﹣)∪(﹣,0).‎ ‎【点评】本题考查椭圆双曲线的简单性质,考查直线与双曲线椭圆位置关系的应用,训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用,是中档题.‎ ‎21.将n个数a1,a2,…,an的连乘积a1•a2•…•an记为ai,将n个数a1,a2,…,an的和a1+a2+…+an记为,n∈N*)‎ ‎(1)若数列{xn}满足x1=1,xn+1=x+xn,n∈N*,设Pn=,Sn=.‎ 求P5+S5;‎ ‎(2)用[x]表示不超过x的最大整数,例如[2]=2,[3.4]=3,[﹣1.8]=﹣2.若数列{xn ‎}满足x1=1,xn+1=x+xn,n∈N*,求[]的值;‎ ‎(3)设定义在正整数集N*上的函数f(n)满足,当<n≤(m∈N*)时,f(n)=m,问是否存在正整数n,使得=2019?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由(已知=).‎ ‎【考点】8E:数列的求和.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;48:分析法;55:点列、递归数列与数学归纳法.‎ ‎【分析】(1)由题意可得=,==﹣,即有=﹣,由累乘法和裂项相消求和即可得到所求和;‎ ‎(2)由=1﹣=1﹣(﹣),运用裂项相消求和和[x]表示的含义,即可得到所求值;‎ ‎(3)求得f(n)的解析式,结合自然数的平方和公式,计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:(1)数列{xn}满足x1=1,xn+1=x+xn,n∈N*,设Pn=,Sn=,‎ 可得xn+1=x+xn=xn(1+xn),‎ 即有=,‎ ‎==﹣,‎ 即有=﹣,‎ 可得P5+S5=•…+﹣+﹣+…+﹣=+﹣‎ ‎=+1﹣=1;‎ ‎(2)x1=1,xn+1=x+xn,n∈N*,可得=1﹣=1﹣(﹣),‎ 可得=2009﹣(﹣+﹣+…+﹣)‎ ‎=2019﹣1+=2018+,‎ 由x1=1,xn+1=x+xn>1,可得∈(0,1),‎ 即有[]=2018;‎ ‎(3)设定义在正整数集N*上的函数f(n)满足,‎ 当<n≤(m∈N*)时,f(n)=m,‎ 当m=1时,0<n≤1,可得f(1)=1;‎ 当m=2时,1<n≤3时,f(2)=f(3)=2;‎ 当m=3时,3<n≤6时,f(4)=f(5)=f(6)=3,‎ ‎…,m=k时,可得f(n)=k(k个k),‎ 可得=1+(2+2)+(3+3+3)+(4+4+4+4)+…+(k+k+…+k)+…‎ ‎=1+22+32+42+…+k2+…,‎ 由12+22+32+42+…+182==2109,‎ 由2109﹣90=2019,90÷18=5,‎ 可得当n=×18×(18+1)﹣5=166时,满足=2019.‎ ‎【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和和公式法求和,考查运算能力和推理能力,属于难题.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/4/17 7:59:24;用户:qgjyuser10373;邮箱:qgjyuser10373.21957750;学号:21985380‎