辽宁省沈阳市高考数学二模试卷理科 18页

‎2016年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）（2016•大连一模）集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（　　）‎ A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，3） D．（﹣1，3）‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），‎ 则A∩B=（﹣1，2），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•大连一模）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（　　）‎ A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i ‎【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：依题z2=﹣2+i，从而，于是=﹣3﹣4i，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•大连一模）已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（　　）‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．‎ ‎【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•大连一模）已知函数，则=（　　）‎ A．4 B． C．﹣4 D．‎ ‎【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．‎ ‎【解答】解：f（）=log5=﹣2，‎ ‎=f（﹣2）=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016•大连一模）已知x，y∈{1，2，3，4，5，6}，且x+y=7，则的概率（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：由题基本事件空间中的元素有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2）（6，1），‎ 满足题意的有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），‎ 故则的概率为=‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了古典概率的问题，关键是一一列举，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2016•大连一模）已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α+cosα的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值，可得要求式子的值．‎ ‎【解答】解：由tanα=2=，sin2α+cos2α=1，α为第一象限角，‎ 可得，，所以，‎ ‎∴sin2α+cosα=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016•大连一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．‎ ‎【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A的射影分别是C1、D1、D．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查三视图的作法，基本知识的考查，‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•大连一模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得，又图象关于y轴对称，结合范围|φ|＜，解得φ，可得函数解析式，又由已知可得，利用正弦函数的图象和性质即可解得f（x）在上的最小值．‎ ‎【解答】解：∵由题，‎ 又∵图象关于y轴对称，‎ ‎∴依题，‎ ‎∴结合范围|φ|＜，解得．这样，‎ 又∵x∈，‎ ‎∴，‎ ‎∴可得：，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016•商丘三模）见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（　　）‎ A．51 B．49 C．47 D．45‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，‎ 第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，‎ 第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，‎ 第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，‎ 第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，‎ 第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，‎ 故输出b值为51，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•大连一模）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，‎ 可得F到渐近线的距离为=b，‎ 即有圆F的半径为b，‎ 令x=c，可得y=±b=±，‎ 由题意可得=b，‎ 即a=b，c==a，‎ 即离心率e==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016•大连一模）△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则△ABC的形状是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【分析】由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°，设∠BAD=α，∠B=β，可得∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，在三角形ABD和三角形ADC中，分别根据正弦定理表示出BD：AD及CD：AD，由D为BC中点，得到BD=CD，从而得到两比值相等，列出关于α和β的关系式，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简后，得到sin2α=sin2β，由α和β的范围，可得出α=β或α+β=90°，由α=β根据等角对等边可得AD=BD=CD，根据三角形一边上的中线等于这边的一半可得三角形ABC为直角三角形；由α+β=90°，可得AD与BC垂直，又D为BC中点，故AD垂直平分BC，故AB=AC，此时三角形ABC为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：∵∠BAD+∠C=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠B=180°﹣（∠BAD+∠C）=90°，‎ 设∠BAD=α，∠B=β，则∠C=90°﹣α，∠CAD=90°﹣β，‎ 在△ABD和△ACD中，根据正弦定理得：sinα：sinβ=BD：AD，‎ sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=CD：AD，‎ 又D为BC中点，∴BD=CD，‎ ‎∴sinα：sinβ=sin（90°﹣β）：sin（90°﹣α）=cosβ：cosα，‎ ‎∴sinαcosα=sinβcosβ，即sin2α=sin2β，‎ ‎∴2α=2β或2α+2β=180°，‎ ‎∴α=β或α+β=90°，‎ ‎∴BD=AD=CD或AD⊥CD，‎ ‎∴∠BAC=90°或AB=AC，‎ ‎∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．‎ 故选D ‎【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，诱导公式，以及直角三角形和等腰三角形的判定，利用了分类讨论及数形结合的思想．由∠BAD+∠C=90°，根据三角形的内角和定理得到剩下的两角相加也为90°是本题的突破点．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016•沈阳二模）偶函数f（x）定义在（﹣1，0）∪（0，1）上，且，当x＞0时，总有，则不等式f（x）＜0的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1且x≠0} B．或 C．且x≠0} D．{x|﹣1＜x＜﹣或 ‎【分析】根据偶函数的对称性，利用导函数的性质求函数的单调性，利用排除法进行求解．‎ ‎【解答】解：因为f（x）是偶函数，它的图象关于纵轴对称，所以不等式f（x）＜0的解集也应是对称的，所以D排除；‎ 当x＞0时，总有恒成立，即成立，也就是恒成立，又因为ln（1﹣x2）=ln（1﹣x）+ln（1+x），所以，所以即是[f（x）•ln（1﹣x2）]'＞0恒成立，可见函数g（x）=f（x）•ln（1﹣x2）在（0，1）上单调递增，又因为函数y=ln（1﹣x2）是偶函数，所以函数g（x）=f（x）•ln（1﹣x2）是偶函数，所以在（﹣1，0）上单调递减．‎ 又，所以，所以g（x）的图象如下：‎ 所以在时，g（x）＞0，而ln（1﹣x2）＜0，所以f（x）＜0成立 而在时，g（x）＜0，而ln（1﹣x2）＜0，所以f（x）＞0，‎ 又由函数f（x）的图象对称性可知，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查利用函数的对称性及导函数的性质求函数单调区间，属于中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）‎ ‎13．（5分）（2016•沈阳二模）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为　4　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=2x+y得y=﹣2x+z，‎ 平移直线y=﹣2x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由，解得C（2，0）‎ 将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，‎ 得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016•大连一模）在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为　　．‎ ‎【分析】M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），‎ 则=•（﹣）=2﹣=2，‎ 由K（2，0），可得2=||2=（6cosα﹣2）2+（3sinα）2‎ ‎=27cos2α﹣24cosα+13‎ ‎=27（cosα﹣）2+，‎ 当cosα=时，2取得最小值，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查余弦函数的值域，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016•沈阳二模）已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为　　．‎ ‎【分析】画出图形，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，表示出三棱柱的体积为，0＜h＜2．利用导数求解三棱柱的体积最大时，三棱柱的高．‎ ‎【解答】解：如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，则由题意可知，A'O=B'O=C'O=1，，，，‎ 此时三棱柱的体积为，其中0＜h＜2．‎ 令y=﹣h3+4h（0＜h＜2），则y′=﹣3h2+4，令y′=0，‎ 则，当时，y′＞0，函数y增，‎ 当时，y′＜0，函数y减．‎ 故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法，导数的应用，考查转化思想以及计算能力空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016•沈阳二模）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：‎ ‎（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；‎ ‎（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；‎ ‎（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；‎ ‎（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．‎ 则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：‎ ‎①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序号是　①④　（将你认为正确的序号都写上）．‎ ‎【分析】逐一检验给出的集合与运算是否满足运算*构成群的定义中的两个条件，把满足运算*构成群的定义的找出来．‎ ‎【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（ iii）∃0∈G，∀a∈G，则）0+a=a+0=a；（ iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；‎ ‎②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（ iv）；‎ ‎③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；‎ ‎④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（ iii）∃1∈G，∀a∈G，则）1×a=a×1=a；（ iv）∀a∈G，在G中存在唯一一个，使．‎ 故答案为：①④．‎ ‎【点评】本题考查运算*构成群的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．‎ ‎　‎ 三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）（2016•沈阳二模）已知数列{an}满足a1=511，4an=an﹣1﹣3（n≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=|log2（an+1）|，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（I）由知：，利用等比数列的通项公式即可得出；‎ ‎（ II）bn=|11﹣2n|，设数列{11﹣2n}的前n项和为Tn，则．当n≤5时，Sn=Tn；当n≥6时，Sn=2S5﹣Tn．‎ ‎【解答】（I）证明：由知：，‎ ‎∴数列{an+1}是以512为首项，为公比的等比数列．‎ 则，．‎ ‎（ II）解：bn=|11﹣2n|，‎ 设数列{11﹣2n}的前n项和为Tn，则，‎ 当n≤5时，；‎ 当n≥6时，；‎ 所以．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•沈阳二模）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：‎ 男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．‎ 女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．‎ ‎（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；‎ ‎（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；‎ ‎（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．‎ ‎【分析】（I）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数．‎ ‎（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．‎ ‎（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．…（2分）‎ ‎（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，‎ 至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），‎ 又男生共12人，其中有8人合格，从而，（4分）‎ ‎，所以．（6分）‎ ‎（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，‎ 依题意，X的取值为0，1，2．‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（每项1分）（10分）‎ 因此，X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴（人）．（未化简不扣分）（12分）‎ ‎（或是，因为X服从超几何分布，所以（人）．‎ ‎【点评】本题考查中位数、概率、分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•大连一模）如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是线段CD上一动点，且CN=λND．‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：MN∥平面ADFE；‎ ‎（Ⅱ）当λ=1时，求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ，推导出MP⊥平面EFDA，NQ⊥EF，NQ⊥FD，从而NQ⊥平面EFDA，进而MPNQ，由此能证明MN∥平面ADFE．‎ ‎（Ⅱ）以F为坐标原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣NA﹣F的大小的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ．‎ 由题意，平面EFCB⊥平面EFDA，MP⊥EF，‎ ‎∴MP⊥平面EFDA，（2分）‎ 且MP==2，‎ ‎∵EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF=F，‎ ‎∴EF⊥平面CFD，又NQ⊂平面CFD，∴NQ⊥EF，‎ 又NQ⊥FD，∴NQ⊥平面EFDA，（4分）‎ 又CN=，则NQ=，即MPNQ，‎ ‎∴MN∥PQ且PQ⊂平面ADFE，∴MN∥平面ADFE．（6分）‎ 解：（Ⅱ）以F为坐标原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立如图所示坐标系．‎ 由题意，M（1，0，2），A（2，1，0），F（0，0，0），C（0，0，3），D（0，3，0），，‎ 设平面AMN的法向量为=（a，b，c），‎ ‎=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，），‎ 则，取a=1，得，…（8分）‎ 在平面FAN中，=（2，1，0），，‎ 设平面FAN的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得，（10分）‎ 则，‎ 又由图可知二面角M﹣NA﹣F的平面角是锐角，‎ 所以二面角M﹣NA﹣F的大小的余弦值为．（12分）‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•商丘三模）动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB的斜率分别为k1，k2，求|k1﹣k2|的最小值．‎ ‎【分析】（I）设M的坐标，根据中点坐标公式，将P点坐标代入整理可求得M的轨迹方程；‎ ‎（II）直线l过点N，设l的方程为：y=k（x﹣4）+5，与E联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，根据韦达定理，分类讨论l是否经过点S，并分别求得直线的斜率，即可求|k1﹣k2|的最小值．‎ ‎【解答】解：（I）设点M（x，y），P（x0，y0），则由，得，‎ 因为点P在抛物线x2=2y上，所以，x2=4y．（4分）‎ ‎（II）由已知，直线l的斜率一定存在，‎ 设点A（x1，y1），B（x2，y2），则 联立，‎ 得，x2﹣4kx+16k﹣20=0，‎ 由韦达定理，得．（6分）‎ 当直线l经过点S即x1=﹣4或x2=﹣4时，‎ 当x1=﹣4时，直线SA的斜率看作抛物线在点A处的切线斜率，‎ 则 k1=﹣2，，此时；‎ 同理，当点B与点S重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）‎ 直线l不经过点S即x1≠﹣4且x2≠﹣4时∵，‎ ‎∴，（8分）‎ ‎=，‎ ‎=，（10分）‎ 故，‎ 所以|k1﹣k2|的最小值为1．（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•南昌三模）已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）存在单调减区间，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a=0，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．‎ ‎【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，整理得f（x）=e1﹣x（a﹣（sinx+cosx）），函数存在单调递减区间，f'（x）＜0，有解，即可得到a﹣（sinx+cosx）＜0有解，利用辅助角公式及正弦函数性质求得a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若a=0，将f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）整理得cos（x+1）[ex+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）]，，cos（x+1）＞0，只要证明，对于任意上恒成立，先构造辅助函数，求导，根据函数单调性求得函数的最小值；再构造辅助函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，求导，利用函数单调性判断函数的最小值；并且g（x）和h（x）取最小值时，不能同时取等号，即可证明，，在上恒成立，不等式成立．‎ ‎【解答】解：（I）由已知，得f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+cosx）﹣e1﹣xsinx=e1﹣x（a﹣（sinx+cosx））（2分）‎ 因为函数f（x）存在单调减区间，所以方程f'（x）＜0有解．‎ 而e1﹣x＞0恒成立，即a﹣（sinx+cosx）＜0有解，所以a＜（sinx+cosx）max．‎ 又，所以，．（5分）‎ ‎（II）因为a=0，所以f（x）=e1﹣x•cosx，‎ 所以f（﹣x﹣1）=ex+2•cos（﹣x﹣1）=ex+2•cos（x+1）．‎ 因为2f'（x）•cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）•cos（x+1），‎ 所以f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）=cos（x+1）[ex+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）]，‎ 又对于任意，cos（x+1）＞0．（6分）‎ 要证原不等式成立，只要证ex+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，‎ 只要证，对于任意上恒成立．（8分）‎ 设函数，，‎ 则=，‎ 当x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数，‎ 当时，g'（x）＞0，即g（x）在上是增函数，‎ 所以，在上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．‎ 所以，，（当且仅当x=0时上式取等号）①（10分）‎ 设函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，则h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），‎ 当时，h'（x）≤0，即h（x）在上是减函数，‎ 当时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，‎ 所以在上，，所以h（x）≥0，‎ 即e2x+1≥2x+2，（当且仅当时上式取等号）②．‎ 综上所述，，‎ 因为①②不可能同时取等号 所以，在上恒成立，‎ 所以，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0成立．（12分）‎ ‎【点评】本题考查利用导函数求函数的单调性及函数的最值，采用分析法及构造辅助函数证明不等式成立，过程繁琐，属于难题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2016•商丘三模）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．‎ ‎（1）求证：AB•MD=AD•BM；‎ ‎（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．‎ ‎【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；‎ ‎（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，‎ 由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（2）由CP•MD=CB•BM，‎ 可知=，又因为BC=CD，所以=‎ 所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA 又因为∠PBC=∠BAC 所以∠BAC=∠BCA 所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎【点评】本题考查等腰三角形的性质、角分线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2016•沈阳二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．‎ ‎（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．‎ ‎【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；‎ ‎（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．‎ ‎【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．‎ ‎∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．‎ ‎∵F（﹣2，0）在直线l上，‎ ‎∴直线l的参数方程为（t为参数）．‎ 将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，‎ ‎∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．‎ ‎（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），‎ 则x2+3y2=12，∴x=．‎ ‎∴P=4x+4y=4+4y．‎ 令f（y）=4+4y，则f′（y）=．‎ 令f′（y）=0得y=1，‎ 当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．‎ ‎∴当y=1时，f（y）取得最大值16．‎ ‎∴P的最大值为16．‎ ‎【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•宁城县模拟）已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．‎ ‎（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；‎ ‎（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，‎ ‎∴T=（﹣∞，1]；‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，‎ 不等式•≥t恒成立，‎ 只需•≥tmax，‎ 所以•≥1，‎ 又因为m＞1，n＞1，‎ 所以＞0，＞0，‎ 又1≤•≤=（=时取“=”），‎ 所以≥4，‎ 所以≥2，mn≥9，‎ 所以m+n≥2≥6，‎ 即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的几何意义，考查对数函数以及级别不等式的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎