北京市房山区高考数学一模试卷理科解析 17页

‎2016年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则|z|=（　　）‎ A． B．5 C．3 D．1‎ ‎2．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出y的值是（　　）‎ A．7 B．15 C．23 D．31‎ ‎4．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线方程是（　　）‎ A．ρ=1 B．ρsinθ=1 C．ρcosθ=1 D．ρ=2sinθ ‎5．函数f（x）的定义域为R，“f（x）是奇函数”是“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．32 B．16 C． D．‎ ‎7．已知函数若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，﹣） D．[﹣2，0]‎ ‎8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（3）=4表示开始交易后第3小时的即时价格为4元；g（3）=2表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为2元．下面给出四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．双曲线的渐近线方程为　　　　　　．‎ ‎10．已知向量=（1，1），，若k﹣与垂直，则实数k=　　　　　　．‎ ‎11．在△ABC中，若a=3，c=4，cosC=﹣，则b=　　　　　　．‎ ‎12．在某校召开的高考总结表彰会上有3位数学老师、2位英语老师和1位语文老师做典型发言．现在安排这6位老师的发言顺序，则3位数学老师互不相邻的排法共有　　　　　　种．（请用数字作答）‎ ‎13．设Tn为等比数列{an}的前n项之积，且a1=﹣6，，则公比q=　　　　　　，当Tn最大时，n的值为　　　　　　．‎ ‎14．对于函数f（x）和实数M，若存在m，n∈N+，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，则称（m，n）为函数f（x）关于M的一个“生长点”．若（1，2）为函数f（x）=cos（x+）关于M的一个“生长点”，则M=　　　　　　；若f（x）=2x+1，M=105，则函数f（x）关于M的“生长点”共有　　　　　　个．‎ ‎　‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求α的值．‎ ‎16．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；‎ ‎（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利﹣80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品的获利，求X的分布列及数学期望．‎ ‎17．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥PM；‎ ‎（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a的取值范围．‎ ‎19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是，且椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和是4．直线l：y=kx+m与椭圆C相切于点P，且点P在第二象限．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求点P的坐标（用k表示）；‎ ‎（Ⅲ）若过坐标原点O的直线l1与l垂直于点Q，求|PQ|的最大值．‎ ‎20．已知数集M={a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于M．‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与{0，2，3，5}是否具有性质P，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：a1=0，且an=；‎ ‎（Ⅲ）当n=5时，证明：a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．‎ ‎　‎ ‎2016年北京市房山区高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则|z|=（　　）‎ A． B．5 C．3 D．1‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】由复数的几何意义可得z=2﹣i，由复数的模长公式可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得z=2﹣i，‎ ‎∴|z|==‎ 故选：A ‎　‎ ‎2．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则平面区域为D的面积S=2×2=4，‎ 点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内面积S=，‎ 则在区域D内随机取一点M，则点M落在圆（x﹣1）2+y2=1内的概率P==，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出y的值是（　　）‎ A．7 B．15 C．23 D．31‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】首先分析程序框图，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的y．‎ ‎【解答】解：根据题意，模拟执行程序，可得 输入x=1，‎ 第一次循环：y=2×1+1=3，不满足条件|x﹣y|＞8，x=3；‎ 第二次循环：y=2×3+1=7，不满足条件|x﹣y|＞8，x=7；‎ 第三次循环：y=2×7+1=15，不满足条件|x﹣y|＞8，x=15‎ 第四次循环：y=2×15+1=31，‎ ‎∵|x﹣y|=16＞8，‎ ‎∴结束循环，输出y=31．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线方程是（　　）‎ A．ρ=1 B．ρsinθ=1 C．ρcosθ=1 D．ρ=2sinθ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】设P（ρ，θ）为直线上的任意一点，利用直角三角形的边角关系即可得出．‎ ‎【解答】解：设P（ρ，θ）为直线上的任意一点，‎ 由题意可得：1=ρcosθ．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）的定义域为R，“f（x）是奇函数”是“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由“f（x）是奇函数”⇒“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”，反之不成立．即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：由“f（x）是奇函数”⇒“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”，反之不成立．‎ ‎∴“f（x）是奇函数”是“存在x∈R，f（x）+f（﹣x）=0”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（　　）‎ A．32 B．16 C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图得该几何体是放倒的四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由锥体的体积公式求出该几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据三视图得：该几何体是放倒的四棱锥，‎ 直观图如图所示：E是棱CD的中点，‎ 且PE⊥平面ABCD，PE=2，‎ 四棱锥的底面是边长为4、2的矩形，高为PE，‎ 所以该几何体的体积V=‎ ‎=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣2，﹣） D．[﹣2，0]‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数的值域．‎ ‎【分析】分别作出函数y=log2（x+1）+1和y=2（x+1）2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由分段函数的表达式得﹣1＜k≤1，‎ 此时函数f（x）在[k，1]上为增函数，此时f（1）=log22+1=1+1=2，f（k）=log2（k+1）+1，‎ 此时log2（k+1）+1≤f（x）≤2，‎ 当a≤x＜k时，f（x）=2（x+1）2在[a，k）上不是增函数，‎ 若f（x）=2（x+1）2=2得（x+1）2=1，即x=0或﹣2，‎ 若f（x）=2（x+1）2=0得x=﹣1，‎ 若log2（x+1）+1=0，则log2（x+1）=﹣1，‎ 则x+1=，即x=﹣，‎ 若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，‎ 则﹣≤k≤1，‎ 若a＜﹣2，则此时函数f（x）＞2，不满足条件．排除A．‎ 当a=﹣2时，f（﹣2）=2，此时当﹣≤k≤1满足条件，‎ 当a=0时，f（0）=2，当0≤x＜k时，f（x）≥2，不存在实数k使得该函数值域为[0，2]，排除D．‎ 若存在实数k使得该函数值域为[0，2]，‎ 则﹣2≤a＜﹣，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（3）=4表示开始交易后第3小时的即时价格为4元；g（3）=2表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为2元．下面给出四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】根据即时价格和平均价格的价格波动关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A，D错误；‎ 开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，‎ 故A，B，D均错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．双曲线的渐近线方程为　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 ‎ 而双曲线的渐近线方程为y=±‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±‎ 故答案为：y=±‎ ‎　‎ ‎10．已知向量=（1，1），，若k﹣与垂直，则实数k=　﹣1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由条件利用两个向量坐标形式的运算法则求得k﹣的坐标，再利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k的值．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，1），，‎ ‎∴k﹣=（k+3，k﹣1），‎ 若k﹣与垂直，则（k﹣）•=（k+3，k﹣1）•（1，1）=k+3+k﹣1=2k+2=0，‎ 求得实数k=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，若a=3，c=4，cosC=﹣，则b=　　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴42=32+b2﹣2×3b×，‎ 化为：2b2﹣3b﹣14=0，‎ 解得b=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎12．在某校召开的高考总结表彰会上有3位数学老师、2位英语老师和1位语文老师做典型发言．现在安排这6位老师的发言顺序，则3位数学老师互不相邻的排法共有　144　种．（请用数字作答）‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】把3位数学老师插入2位英语老师和1位语文老师全排，形成了4个空中，问题得解决．‎ ‎【解答】解：先把2位英语老师和1位语文老师全排，形成了4个空，再把3位数学老师插入，故有A33A43=144种，‎ 故答案为：144．‎ ‎　‎ ‎13．设Tn为等比数列{an}的前n项之积，且a1=﹣6，，则公比q=　　，当Tn最大时，n的值为　4　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】a1=﹣6，，可得： =﹣6q3，解得q=．可得an．于是Tn=（﹣6）n．只考虑n为偶数时，与1比较即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=﹣6，，‎ ‎∴=﹣6q3，‎ 解得q=．‎ ‎∴an=．‎ ‎∴Tn=（﹣6）n×‎ ‎=（﹣6）n．‎ T2n=36n．‎ ‎==36•．‎ n=1时， =＞1；n≥2时，＜1．‎ ‎∴T2＜T4＞T6＞T8＞…．‎ 则公比q=，当Tn最大时，n的值为4．‎ 故答案分别为：；4．‎ ‎　‎ ‎14．对于函数f（x）和实数M，若存在m，n∈N+，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，则称（m，n）为函数f（x）关于M的一个“生长点”．若（1，2）为函数f（x）=cos（x+）关于M的一个“生长点”，则M=　﹣　；若f（x）=2x+1，M=105，则函数f（x）关于M的“生长点”共有　3　个．‎ ‎【考点】数列与函数的综合；函数的值．‎ ‎【分析】根据“生长点”的定义建立方程即可求M，结合等差数列的求和公式进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若（1，2）为函数f（x）=cos（x+）关于M的一个“生长点”，‎ 则M=f（1）+f（2）+f（3）=cos（+）+cos（×2+）+cos（×3+）‎ ‎=﹣sin﹣cos+cos（﹣）=﹣﹣+=﹣，‎ 若f（x）=2x+1，M=105，‎ 则f（m）是公差为2的等差数列，‎ 则由f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=105‎ 得（n+1）（2m+1）+=105‎ 即（n+1）（2m+1）+n（n+1）=105，‎ 即（n+1）（2m+n+1）=105，‎ ‎∵105=1×105=3×35=5×21=7×15，‎ ‎∴由得，此时“生长点”为（2，16），‎ 由得，此时“生长点”为（4，8），‎ 由得，此时“生长点”为（6，4），‎ 故函数f（x）关于M的“生长点”共有3个，‎ 故答案为：﹣，3‎ ‎　‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求α的值．‎ ‎【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、最值，得出结论．‎ ‎（Ⅱ）由条件求得sin（2α﹣）=1，再根据2α﹣∈（﹣，）；可得2α﹣=，从而求得α的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵函数=sin2x+﹣=sin（2x﹣），‎ ‎∴f（x）的最小正周期为=π，函数的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）若，2α﹣∈（﹣，）；∵=sin（2α﹣），‎ ‎∴sin（2α﹣）=1，∴2α﹣=，∴α=．‎ ‎　‎ ‎16．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；‎ ‎（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利﹣80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品的获利，求X的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）（Ⅰ）记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，由此利用对立事件概率计算公式能求出每台新型防雾霾产品不能销售的概率．‎ ‎（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣240，﹣120，0，120．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及EX．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）（Ⅰ）记“每台新型防雾霾产品不能销售”为事件A，‎ 则P（A）=1﹣（1﹣）（1﹣）=．‎ 所以，该产品不能销售的概率为．‎ ‎（Ⅱ）由已知，可知X的取值为﹣240，﹣120，0，120．‎ P（X=﹣240）=（）3=，‎ P（X=﹣120）==，‎ P（X=0）==，‎ P（X=120）=（）3=，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎﹣240‎ ‎﹣120‎ ‎ 0‎ ‎ 120‎ ‎ P EX=﹣240×﹣120×+0×+120×=30．‎ ‎　‎ ‎17．在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥PM；‎ ‎（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（I）取AC中点O，连接OP，OM，可证AC⊥平面POM，故而AC⊥PM；‎ ‎（II）以O为原点建立坐标系，求出与平面PAB的法向量的坐标，于是PC与平面PAB所成角的正弦值为|cos＜＞|；‎ ‎（III）设，用λ表示出的坐标，求出，求出平面CNM的法向量，令=0得出λ．‎ ‎【解答】证明：（I）取AC中点O，连接OP，OM．‎ ‎∵PA=PC，∴PO⊥AC，‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，‎ ‎∴PO⊥平面ABC．‎ ‎∵M是AB的中点，∴OM∥BC，‎ ‎∵BC⊥AC，‎ ‎∴OM⊥AC．又OP∩OM=O，‎ ‎∴AC⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，‎ ‎∴AC⊥PM．‎ ‎（II）以O为原点，以OA，OM，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），P（0，0，1），B（﹣1，4，0）．‎ ‎∴=（﹣1，0，﹣1），=（﹣1，0，1），=（﹣2，4，0）．‎ 设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，令y=1得=（2，1，2），∴cos＜＞==﹣．‎ ‎∴PC与平面PAB所成角的正弦值为．‎ ‎（III）∵M（0，2，0），∴=（﹣1，4，﹣1），=（1，0，1），=（1，2，0）．‎ 设线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB．‎ 设=（﹣λ，4λ，﹣λ），（0≤λ≤1）．则==（1﹣λ，4λ，1﹣λ）．‎ 设平面CNM的法向量为=（x，y，z），则，‎ ‎∴，设y=1得=（﹣2，1，）．‎ ‎∵平面CNM⊥平面PAB，∴．‎ 即﹣4+1+=0，解得．‎ ‎∴线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB， =．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中．‎ ‎（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的极大值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极大值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，分类讨论，即可求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=lnx﹣2x2+3x，‎ ‎∴f′（x）=﹣4x+3=﹣，‎ ‎∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=1时，函数取得极大值1；‎ ‎（Ⅱ）因为f′（x）=‎ a≤0，函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∵f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，‎ ‎∴f（e）≤0，∴1+ae2﹣（2a+1）e≤0，‎ ‎∴a≥，‎ ‎∴≤a≤0；‎ a＞0，令f′（x）=0，x1=1，x2=＞1‎ 因为f（1）＜0，f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，‎ ‎∴f（e）≥0，∴1+ae2﹣（2a+1）e≥0，‎ ‎∴a≤，不合题意，‎ 综上所述，≤a≤0．‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率是，且椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和是4．直线l：y=kx+m与椭圆C相切于点P，且点P在第二象限．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求点P的坐标（用k表示）；‎ ‎（Ⅲ）若过坐标原点O的直线l1与l垂直于点Q，求|PQ|的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2，再由离心率公式可得c，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，解方程可得P的坐标；‎ ‎（Ⅲ）由于l1与l垂直于点Q，则|PQ|即为P到直线l1的距离，设l1：y=﹣x，即x+ky=0，运用点到直线的距离公式，化简整理，再由基本不等式可得最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，‎ 由e==，可得c=，b==1，‎ 即有椭圆C的方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）将直线y=kx+m代入椭圆方程x2+4y2=4，可得 ‎（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ 由直线和椭圆相切，可得△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，‎ 化为m2=1+4k2，‎ 可得P的横坐标为﹣=﹣=﹣，‎ 纵坐标为﹣+=，‎ 即有P（﹣，）；‎ ‎（Ⅲ）由于l1与l垂直于点Q，则|PQ|即为P到直线l1的距离，‎ 设l1：y=﹣x，即x+ky=0，‎ 可得|PQ|=‎ ‎==≤==1．‎ 当且仅当4k2=，即k=时，|PQ|取得最大值1．‎ ‎　‎ ‎20．已知数集M={a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于M．‎ ‎（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与{0，2，3，5}是否具有性质P，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：a1=0，且an=；‎ ‎（Ⅲ）当n=5时，证明：a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．‎ ‎【考点】集合的表示法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用新定义，可以判断集合{0，1，3}不具有性质P，{0，2，3，5}具有性质P；‎ ‎（Ⅱ）令j=n，i＞1，可得an﹣ai属于M，证明an=ai+an+1﹣i，倒序相加即可得到结论；‎ ‎（Ⅲ）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，由M具有性质P，结合等差数列的定义逐步可得．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：由于3﹣1和3+1都不属于集合{0，1，3}，∴该数集不具有性质P；‎ 由于2+0、3+0、5+0、3+2、5﹣2、5﹣3、0﹣0、2﹣2、3﹣3、5﹣5都属于集合{0，2，3，5}，∴该数集具有性质P．‎ ‎（Ⅱ）证明：令j=n，i＞1，则∵“ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于M”，‎ ‎∴ai+aj不属于M，∴an﹣ai属于M．‎ 令i=n﹣1，那么an﹣an﹣1是集合M中某项，a1不行，是0，a2可以．‎ 如果是a3或者a4，那么可知an﹣a3=an﹣1，那么an﹣a2＞an﹣a3=an﹣1，只能是等于an了，矛盾．‎ ‎∴令i=n﹣1可以得到an=a2+an﹣1，‎ 同理，令i=n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到an=ai+an+1﹣i，‎ ‎∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+an=an，即an=；‎ ‎（Ⅲ）证明：当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5，‎ 由M具有性质P，a5﹣ai∈M，又i=1时，a5﹣a1∈M，‎ ‎∴a5﹣ai∈M，i=1，2，3，4，5．‎ ‎∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5=0，‎ 则a5﹣a1=a5，a5﹣a2=a4，a5﹣a3=a3，‎ 从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即0＜a4﹣a3=a3﹣a2＜a3，‎ 又∵a3+a4＞a2+a4=a5，∴a3+a4∉M，则a4﹣a3∈M，则有a4﹣a3=a2=a2﹣a1．‎ 又∵a5﹣a4=a2=a2﹣a1，∴a5﹣a4=a4﹣a3=a3﹣a2=a2﹣a1=a2，‎ 即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．‎ ‎　‎ ‎2016年8月22日