高考文科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版1 10页

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 II 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013 课标全国Ⅱ，文 1)已知集合 M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则 M∩N＝( )． A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0} C．{－2，－1,0} D．．{－3，－2，－ 1} 2．(2013 课标全国Ⅱ，文 2) 2 1 i ＝( )． A． 2 2 B．2 C． 2 D．．1 3．(2013 课标全国Ⅱ，文 3)设 x，y 满足约束条件 1 0, 1 0, 3, x y x y x          则 z＝2x－3y 的最小值是( )． A．－7 B．－6 C．－5 D．－3 4．(2013 课标全国Ⅱ，文 4)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b＝2， π 6B  ， π 4C  ， 则△ABC 的面积为( )． A． 2 3+2 B． 3+1 C． 2 3 2 D． 3 1 5．(2013 课标全国Ⅱ，文 5)设椭圆 C： 2 2 2 2 =1x y a b  (a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点， PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( )． A． 3 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 3 3 6．(2013 课标全国Ⅱ，文 6)已知 sin 2α＝ 2 3 ，则 2 πcos 4     ＝( )． A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 7．(2013 课标全国Ⅱ，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的 N＝4，那么输出的 S＝ ( )． A． 1 1 11+ 2 3 4   B． 1 1 11+ 2 3 2 4 3 2     C． 1 1 1 11+ 2 3 4 5    D． 1 1 1 11+ 2 3 2 4 3 2 5 4 3 2         8．(2013 课标全国Ⅱ，文 8)设 a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )． A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 9．(2013 课标全国Ⅱ，文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 10．(2013 课标全国Ⅱ，文 10)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点．若|AF| ＝3|BF|，则 l 的方程为( )． A．y＝x－1 或 y＝－x＋1 B．y＝ 3 ( 1)3 x  或 y＝ 3 ( 1)3 x  C．y＝ 3 ( 1)3 x  或 y＝ 3 ( 1)3 x  D．y＝ 2 ( 1)2 x  或 y＝ 2 ( 1)2 x  11．(2013 课标全国Ⅱ，文 11)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )． A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数 y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0 12．(2013 课标全国Ⅱ，文 12)若存在正数 x 使 2x(x－a)＜1 成立，则 a 的取值范围是( )． A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．(2013 课标全国Ⅱ，文 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是__________． 14．(2013 课标全国Ⅱ，文 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD  ＝__________. 15．(2013 课标全国Ⅱ，文 15)已知正四棱锥 O－ABCD 的体积为 3 2 2 ，底面边长为 3 ，则以 O 为球 心，OA 为半径的球的表面积为__________． 16．(2013 课标全国Ⅱ，文 16)函数 y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移 π 2 个单位后，与 函数 y＝ πsin 2 3x    的图像重合，则φ＝__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(2013 课标全国Ⅱ，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且 a1，a11， a13 成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求 a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 18．(2013 课标全国Ⅱ，文 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点． 19．(2013 课标全国Ⅱ，文 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量 的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率． 20．(2013 课标全国Ⅱ，文 20)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段 长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为 2 3 . (1)求圆心 P 的轨迹方程； (2)若 P 点到直线 y＝x 的距离为 2 2 ，求圆 P 的方程． 21．(2013 课标全国Ⅱ，文 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝x2e－x. (1)求 f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线 y＝f(x)的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围． 22．(2013 课标全国Ⅱ，文 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆． 23．(2013 课标全国Ⅱ，文 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 已知动点 P，Q 都在曲线 C： 2cos , 2sin x t y t    (t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α与 t＝2α(0＜α＜2π)， M 为 PQ 的中点． (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点． 24．(2013 课标全国Ⅱ，文 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1.证明： (1)ab＋bc＋ca≤ 1 3 ； (2) 2 2 2a b c b c a   ≥1. 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 II 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：C 解析：由题意可得，M∩N＝{－2，－1,0}．故选 C. 2． 答案：C 解析：∵ 2 1 i ＝1－i，∴ 2 1 i ＝|1－i|＝ 2 . 3． 答案：B 解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为 2 3 3 zy x  ，先画出 l0： y＝ 2 3 x ，当 z 最小时，直线在 y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点 C，由 3, 1 0, x x y      可得 C(3,4)， 代入目标函数得，zmin＝2×3－3×4＝－6. 4． 答案：B 解析：A＝π－(B＋C)＝ π π 7ππ 6 4 12       ， 由正弦定理得 sin sin a b A B  ， 则 7π2sinsin 12 6 2πsin sin 6 b Aa B     ， ∴S△ABC＝ 1 1 2sin 2 ( 6 2) 3 12 2 2ab C        . 5． 答案：D 解析：如图所示，在 Rt△PF1F2 中，|F1F2|＝2c， 设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x， 由 tan 30°＝ 2 1 2 | | 3 | | 2 3 PF x F F c   ，得 2 3 3x c . 而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x， ∴ 3 32a x c  ，∴ 3 33 c ce a c    . 6． 答案：A 解析：由半角公式可得， 2 πcos 4     ＝ π 21 cos 2 11 sin 2 12 3 2 2 2 6             . 7． 答案：B 解析：由程序框图依次可得，输入 N＝4， T＝1，S＝1，k＝2； 1 2T  ， 11+ 2S  ，k＝3； 1 3 2T   ，S＝ 1 11+ 2 3 2   ，k＝4； 1 4 3 2T    ， 1 1 11 2 3 2 4 3 2S       ，k＝5； 输出 1 1 11 2 3 2 4 3 2S       . 8． 答案：D 解析：∵log25＞log23＞1，∴log23＞1＞ 2 1 log 3 ＞ 2 1 log 5 ＞0，即 log23＞1＞log32＞log52＞0，∴c＞a＞ b. 9． 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O－xyz 的图像为下图： 则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ，故选 A. 10． 答案：C 解析：由题意可得抛物线焦点 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 当直线 l 的斜率大于 0 时，如图所示，过 A，B 两点分别向准线 x＝－1 作垂线，垂足分别为 M，N，则由 抛物线定义可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|. 设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2， 在△AMK 中，由 | | | | | | | | NB BK AM AK  ，得 3 4 t x t x t   ， 解得 x＝2t，则 cos∠NBK＝ | | 1 | | 2 NB t BK x   ， ∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线 AB 的倾斜角为 60°. ∴斜率 k＝tan 60°＝ 3 ，故直线方程为 y＝ 3( 1)x－ ． 当直线 l 的斜率小于 0 时，如图所示，同理可得直线方程为 y＝ 3( 1)x － ，故选 C. 11． 答案：C 解析：若 x0 是 f(x)的极小值点，则 y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故 C 不正 确． 12． 答案：D 解析：由题意可得， 1 2 x a x       (x＞0)． 令 f(x)＝ 1 2 x x     ，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知 f(x)的值域为(－ 1，＋∞)，故 a＞－1 时，存在正数 x 使原不等式成立． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．答案：0.2 解析：该事件基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)， (4,5)}共有 10 个，记 A＝“其和为 5”＝{(1,4)，(2,3)}有 2 个，∴P(A)＝ 2 10 ＝0.2. 14．答案：2 解析：以 ,AB AD   为基底，则 0AB AD   ， 而 1 2AE AB AD    ， BD AD AB    ， ∴ 1( ) ( )2AE BD AB AD AD AB          2 2 2 21 1 2 2 22 2AB AD         . 15．答案：24π 解析：如图所示，在正四棱锥 O－ABCD 中，VO－ABCD＝ 1 3 ×S 正方形 ABCD·|OO1|＝ 1 3 × 2( 3) ×|OO1|＝ 3 2 2 ， ∴|OO1|＝ 3 2 2 ，|AO1|＝ 6 2 ， 在 Rt△OO1A 中，OA＝ 2 2 1 1| | | |OO AO ＝ 2 2 3 2 6 62 2               ，即 6R  ， ∴S 球＝4πR2＝24π. 16．答案： 5π 6 解 析 ： y ＝ cos(2x ＋ φ) 向 右 平 移 π 2 个 单 位 得 ， πcos 2 2y x          ＝ cos(2x － π ＋ φ) ＝ π πsin 2 π+ + =sin 22 2x x             ，而它与函数 πsin 2 3y x     的图像重合，令 2x＋φ－ π 2 ＝2x ＋ π 3 ＋2kπ，k∈Z， 得 5π +2 π6 k  ，k∈Z. 又－π≤φ＜π，∴ 5π 6   . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：(1)设{an}的公差为 d. 由题意， 2 11a ＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)． 于是 d(2a1＋25d)＝0. 又 a1＝25，所以 d＝0(舍去)，d＝－2. 故 an＝－2n＋27. (2)令 Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知 a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为 25，公差为－6 的等差数列． 从而 Sn＝ 2 n (a1＋a3n－2)＝ 2 n (－6n＋56)＝－3n2＋28n. 18． (1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝ 2 2 ，求三棱锥 C－A1DE 的体积． 解：(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点． 又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1∥DF. 因为 DF⊂平面 A1CD，BC1 平面 A1CD， 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1⊥CD. 由已知 AC＝CB，D 为 AB 的中点，所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB＝A，于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1＝AC＝CB＝2， 2 2AB  得∠ACB＝90°， 2CD  ， 1 6A D  ， 3DE  ，A1E＝3， 故 A1D2＋DE2＝A1E2，即 DE⊥A1D. 所以 VC－A1DE＝ 1 1 6 3 23 2     ＝1. 19． 解：(1)当 X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以 800 39000,100 130, 65000,130 150. X XT X       (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率 的估计值为 0.7. 20． 解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r. 由题设 y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. 从而 y2＋2＝x2＋3. 故 P 点的轨迹方程为 y2－x2＝1. (2)设 P(x0，y0)．由已知得 0 0| | 2 22 x y  . 又 P 点在双曲线 y2－x2＝1 上， 从而得 0 0 2 2 1 0 | | 1, 1. x y y x      由 0 0 2 2 0 0 1, 1 x y y x      得 0 0 0, 1. x y     此时，圆 P 的半径 r＝ 3. 由 0 0 2 2 0 0 1, 1 x y y x       得 0 0 0, 1. x y    此时，圆 P 的半径 3r  . 故圆 P 的方程为 x2＋(y－1)2＝3 或 x2＋(y＋1)2＝3. 21． 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝－e－xx(x－2)．① 当 x∈(－∞，0)或 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0； 当 x∈(0,2)时，f′(x)＞0. 所以 f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当 x＝0 时，f(x)取得极小值，极小值为 f(0)＝0； 当 x＝2 时，f(x)取得极大值，极大值为 f(2)＝4e－2. (2)设切点为(t，f(t))， 则 l 的方程为 y＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)＝ ( ) 22 3'( ) 2 2 f t tt t tf t t t         . 由已知和①得 t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)． 令 h(x)＝ 2x x  (x≠0)，则当 x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[ 2 2 ，＋∞)； 当 x∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)． 所以当 t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[ 2 2 3 ，＋∞)． 综上，l 在 x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[ 2 2 3 ，＋∞)． 请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂 黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分． 22． 解：(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A. 由题设知 BC DC FA EA  ， 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为 B，E，F，C 四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°， 因此 CA 是△ABC 外接圆的直径． (2)连结 CE，因为∠CBE＝90°， 所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE， 由 DB＝BE，有 CE＝DC，又 BC2＝DB·BA＝2DB2，所以 CA2＝4DB2＋BC2 ＝6DB2. 而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 1 2 . 23． 解：(1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为 cos cos2 , sin sin 2 , x y          (α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 d＝ 2 2 2 2cosx y    (0＜α＜2π)． 当α＝π时，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点． 24． 解：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1，即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤ 1 3 . (2)因为 2 2a b ab   ， 2 2b c bc   ， 2 2c a ca   ， 故 2 2 2 ( )a b c a b cb c a      ≥2(a＋b＋c)， 即 2 2 2a b c b c a   ≥a＋b＋c. 所以 2 2 2a b c b c a   ≥1.