十年高考高考数学真题分类汇三角函数 18页

‎2004-2013年高考数学真题分类汇：三角函数 一、选择填空题 ‎1.（江苏2004年5分）函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为【 】‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法。‎ ‎【分析】把函数y=2cos2x+1（x∈R）化为一个角的一次三角函数的形式，求出周期即可：‎ ‎∵函数y=2cos2x+1=cos2x+2，∴它的最小正周期为：。故选B。‎ ‎2（江苏2005年5分）中，，BC=3，则的周长为【 】‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正弦定理。‎ ‎【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案：‎ 根据正弦定理 ，‎ ‎∴，。‎ ‎∴△ABC的周长为＋=‎ ‎=。故选D。‎ ‎3.（江苏2005年5分）若，则=【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值，二倍角的余弦。‎ ‎【分析】由可得，即。‎ ‎ 由二倍角的余弦公式，得 ‎。故选A。‎ ‎4.（江苏2006年5分）已知，函数为奇函数，则a＝【 】 ‎ ‎（A）0　（B）1　　（C）－1　　（D）±1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】函数的奇偶性，三角函数的奇偶性的判断。‎ ‎【分析】∵,,且函数为奇函数，‎ ‎ ∴，即。∴a＝0。故选A。‎ ‎5.（江苏2006年5分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点【 】‎ ‎（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）‎ ‎（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）‎ ‎（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）‎ ‎（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。‎ ‎【分析】先将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3‎ 倍（纵坐标不变）得到函数的图像。故选C。‎ ‎7.（江苏2006年5分）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　▲　　‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】正弦定理。‎ ‎【分析】解三角形，已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理。因此，由正弦定理得，，解得。‎ ‎8.（江苏2006年5分）＝　▲　‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】弦切互化，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正弦函数。‎ ‎【分析】在求三角的问题中，要注意这样的口决“三看”即（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用。‎ ‎9.（江苏2007年5分）下列函数中，周期为的是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法。‎ ‎【分析】根据公式对选项进行逐一分析即可得到答案：的周期为：T=4π ‎，排除A；的周期为：T=π，排除B；的周期为：T=8π，排除C；的周期为：T=。故选D。‎ ‎10.（江苏2007年5分）函数的单调递增区间是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】正弦函数的单调性，两角差的正弦公式。‎ ‎【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理，从而根据正弦函数的单调性求得答案：‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴根据正弦函数的单调性，，即时，函数单调递增。故选D。‎ ‎11.（江苏2007年5分）若，.则　　▲　　.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数，弦切互化。‎ ‎【分析】先由两角和与差的公式展开，得到，的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再由商数关系求出两角正切的乘积：‎ ‎∵，。‎ ‎∴二式联立，得，。∴。‎ ‎12.（江苏2007年5分）某时钟的秒针端点到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标的点B重合，将A，B两点的距离表示成的函数，则 ‎　　▲　　，其中。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】在实际问题中建立三角函数模型。‎ ‎【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360°，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接AB，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果：‎ ‎∵ ∠AOB=，‎ ‎∴根据直角三角形的边长求法得到。‎ ‎13.（江苏2008年5分）若函数最小正周期为，则　　▲　　.‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角函数的周期公式。‎ ‎【分析】由三角函数的周期公式，得。‎ ‎14.（江苏2008年5分）满足条件的三角形ABC的面积的最大值　　▲　　‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角形的计算。‎ ‎【分析】设BC＝，则AC＝ ，根据面积公式得=，‎ 根据余弦定理得，代入上式得 ‎=。‎ 由三角形三边关系有，解得。‎ ‎∴当时取最大值。‎ ‎15.（江苏2009年5分）函数（为常数，‎ ‎）在闭区间上的图象如图所示，则= ▲ .‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】三角函数的周期。‎ ‎【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出：‎ 由图中可以看出：，∴。∴。‎ ‎16.（江苏2010年5分）定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，过点P作PP1⊥轴于点P1，直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的长为　　▲　　。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】余弦函数的图象，正切函数的图象。‎ ‎【分析】先将求P1P2的长转化为求的值，再由满足=可求出的值，从而得到答案：‎ 由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段P1P2的长即为的值，且其中的满足=，解得=。∴线段P1P2的长为。‎ ‎17.（江苏2010年5分）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=　　▲　　_。‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】正、余弦定理，同角三角函数基本关系的运用。‎ ‎【分析】∵，‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎18.（江苏2011年5分）已知 则的值为　　▲　　‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角函数的和差倍计算。‎ ‎【分析】∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎19.（江苏2011年5分）函数是常数，的部分图象如图所示，则　　▲　　‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】三角函数的图象和性质的应用。‎ ‎【分析】由函数图象得，∴,,‎ 再结合三角函数图象和性质知，∴。∴。‎ ‎20. （2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，‎ 其中．若，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】周期函数的性质。‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴②。‎ ‎ 联立①②，解得，。∴。‎ ‎11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ ‎7（2013江苏卷1）函数的最小正周期为 。‎ 答案：1．‎ ‎8（2013江苏卷11） 设为锐角，若，则的值为 ．‎ ‎【解析】根据，，‎ 因为，所以 ，因为.‎ ‎【点评】重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.‎ 二、解答题 ‎1.（江苏2004年12分）已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值.‎ ‎【答案】解：由已知。‎ ‎。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎【考点】弦切互化，两角差的正弦函数。‎ ‎【分析】根据求得的值，从而根据α的范围求得的值，最后根据两角和公式求得答案。‎ ‎3.（江苏2008年14分）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．‎ B A x y O ‎（1）求的值； （2）求的值．‎ ‎【答案】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，‎ ‎∵为锐角故，∴。‎ 同理可得 。‎ ‎∴。‎ ‎∴=。‎ ‎（2）,‎ ‎∴由 ，得 。‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数。‎ ‎【分析】（1）先由已知条件得 ；再求、，从而求出、；‎ 最后利用=解之。‎ B C D A O P ‎（2）利用（1）把转化为求之，再根据的范围确定角的值。‎ ‎4.（江苏2008年14分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝‎20km，BC＝‎10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系式：‎ ‎（Ⅰ）设（rad），将表示成的函数；‎ ‎（Ⅱ）设（km），将表示成的函数； ‎ ‎（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。‎ ‎【答案】解：（1）（Ⅰ）延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，‎ 若∠BAO=(rad) ，则, ‎ ‎∴。‎ 又OP＝，∴。‎ ‎∴所求函数关系式为。‎ ‎（Ⅱ）若OP=(km) ，则OQ＝10－，‎ ‎∴OA =OB=。‎ ‎∴所求函数关系式为。‎ ‎（2）选择函数模型（Ⅰ），‎ ‎，‎ 令0 得sin 。‎ ‎∵，∴=。‎ 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数 ‎∴当=时，。‎ 这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。‎ ‎【考点】在实际问题中建立三角函数模型。‎ ‎【分析】（1）（Ⅰ）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围。（Ⅱ）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式。‎ ‎（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合。‎ ‎5.（江苏2009年14分）科网设向量 ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）求的最大值;‎ ‎（3）若，求证：∥..网 ‎【答案】解：（1）∵与垂直，∴‎ ‎ 即，‎ ‎ 即 ‎。‎ ‎ ∴。‎ ‎ （2）∵‎ ‎∴当时，取最大值，且最大值为。‎ ‎（3）∵，∴，即 ‎∴，即与共线。‎ ‎∴∥。‎ ‎【考点】向量的基本概念，同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式。‎ ‎【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，可求出的正余弦之间的关系，最后可求正切值。‎ ‎（2）根据向量的求模运算得到的关系，然后根据正弦函数的性质可确定答案。‎ ‎（3）将化成弦的关系整理即可得到，正是∥的充要条件，从而得证。‎ ‎6.（江苏2010年14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=‎4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ ‎【答案】解：（1）由得，同理：，。‎ ‎∵ AD－AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎。‎ ‎∵，（当且仅当时，取等号），‎ ‎∴当时，最大。‎ ‎∵，则，∴当时，－最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎【考点】解三角形的实际应用，两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABE中可得，在Rt△ADE中可得，在Rt△BCD中可得 ，再根据AD－AB=DB即可得到H。‎ ‎（2）先用分别表示出和，再根据两角和公式，求得，再根据均值不等式可知当 时，有最大值即有最大值，得到答案。‎ ‎7.（江苏2010年附加10分）已知△ABC的三边长都是有理数。‎ （1） 求证是有理数；（2）求证：对任意正整数，cosA是有理数。‎ ‎【答案】证明：（1）设三边长分别为，，‎ ‎∵是有理数，∴是有理数， 为正有理数。‎ 又∵有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数，‎ 当时，∵，且cosA是有理数， ∴也是有理数。‎ ‎②假设当时，结论成立，即cosA、均是有理数。‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎∴。‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数。‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数，cosA也是有理数。‎ ‎【考点】余弦定理的应用，余弦的两角和公式，数学归纳法。‎ ‎【分析】（1）设出三边为，根据三者为有理数可推断出是有理数，是有理数，从而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，因此cosA是有理数。‎ ‎（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos‎2A也是有理数。再假设时，结论成立，从而可知，均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得，根据cosA，，均是有理数推断出是有理数是有理数，即 是有理数。从而时成立．最后综合原式得证。‎ ‎8.（江苏2011年14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 ‎（1）若 求A的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】解：（1）由题意知，从而，‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴。‎ ‎（2）由，及，得，‎ ‎∴是直角三角形，且。∴。‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。‎ ‎【分析】（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可。‎ ‎（2）利用余弦定理以及，求出是直角三角形，即可得出的值。也可以由正弦定理得：，而。‎ ‎9.（2012年江苏省14分）在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴，即。‎ ‎ 由正弦定理，得，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴即。‎ ‎ （2）∵ ，∴。∴。‎ ‎ ∴，即。∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。‎ ‎【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。‎ ‎7、（2013江苏卷18）.18．本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲．乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ C B A ‎18．解：（1）∵，‎ ‎∴∴，‎ ‎ ∴‎ ‎ 根据得 ‎（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则 ‎∴‎ ‎∵即 ‎∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。‎ ‎（3）由正弦定理得（m）‎ 乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走‎710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则 ‎∴∴‎ ‎∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内 法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，‎ 设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，‎ AB＝52k，由AC＝63k＝‎1260m，‎ 知：AB＝52k＝‎1040m．‎ ‎（2）设乙出发x分钟后到达点M，‎ 此时甲到达N点，如图所示．‎ 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，‎ 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，‎ 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎（3）由（1）知：BC＝‎500m，甲到C用时：＝(min)．‎ 若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．‎ 若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．‎ 故乙步行的速度应控制在[，]范围内．‎ C B A D M N