等差数列等比数列的概念及求和高考题 68页

第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分 六年高考题荟萃 ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010浙江理）（3）设为等比数列的前项和，，则 ‎（A）11 （B）5 （C） （D）‎ 解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题 ‎2.（2010全国卷2理）（4）.如果等差数列中，，那么 ‎（A）14 （B）21 （C）28 （D）35‎ ‎【答案】C ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.‎ ‎【解析】‎ ‎3.（2010辽宁文）（3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比 ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎【答案】 B 解析：选B. 两式相减得， ，.‎ ‎4.（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a‎2a4=1, ‎ ‎,则 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】B ‎【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。‎ ‎【解析】由a‎2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B。‎ ‎5.（2010全国卷2文）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=‎ ‎（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查了数列的基础知识。‎ ‎∵ ，∴ ‎ ‎6.（2010安徽文）(5)设数列的前n项和，则的值为 ‎（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64‎ ‎【答案】 A ‎【解析】.‎ ‎【方法技巧】直接根据即可得出结论.‎ ‎7.（2010浙江文）(5)设为等比数列的前n项和，则 ‎(A)-11 (B)-8‎ ‎(C)5 (D)11‎ 解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎8.（2010重庆理）（1）在等比数列中， ，则公比q的值为 A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 8 ‎ ‎【答案】A 解析： ‎ ‎9.（2010广东理）4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=‎ A．35 B‎.33 C.31 D.29‎ ‎【答案】C 解析：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中项为知，，即．‎ ‎ ∴，即．，即．‎ ‎10.（2010广东文）‎ ‎11.（2010山东理）‎ ‎12.（2010重庆文）（2）在等差数列中，，则的值为 ‎（A）5 （B）6‎ ‎（C）8 （D）10‎ ‎【答案】 A 解析：由角标性质得，所以=5‎ 二、填空题 ‎1.（2010辽宁文）（14）设为等差数列的前项和，若，则 ‎ 。‎ 解析：填15. ,解得，‎ ‎2.（2010福建理）11．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，解得，所以通项。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。‎ ‎3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_________‎ 解析：考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，‎ 所以。‎ 三、解答题 ‎1.（2010上海文）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分。‎ 已知数列的前项和为，且，‎ ‎(1)证明：是等比数列；‎ ‎(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.‎ 解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列； ‎ ‎(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．‎ ‎2.（2010陕西文）16.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列{an}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.‎ ‎ 解 （Ⅰ）由题设知公差d≠0，‎ ‎ 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，‎ ‎ 解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.‎ ‎ (Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得 ‎ Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.‎ ‎3.（2010全国卷2文）（18）（本小题满分12分）‎ 已知是各项均为正数的等比数列，且 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和。‎ ‎【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。‎ ‎（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。‎ ‎（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。‎ ‎4.（2010江西理）22. （本小题满分14分）‎ 证明以下命题：‎ （1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b0 ‎ 由a2+a7＝16.得 ①‎ 由得 ②‎ 由①得将其代入②得。即 ‎ ‎ ‎（2）令 两式相减得 于是 ‎=-4=‎ ‎27. （2009福建卷文）等比数列中，已知 ‎ ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前 项和。‎ 解：（I）设的公比为 由已知得，解得 ‎（Ⅱ）由（I）得，，则，‎ ‎ 设的公差为，则有解得 ‎ 从而 ‎ 所以数列的前项和 ‎28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 解：（Ⅰ），所以 ‎（Ⅱ）由得即 所以当时，于是 所以 ‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立 当时，有 所以 ‎ ‎ ‎ ‎2005—2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( )‎ A.12　　 　 　B‎.13　‎　　 　　C.14　　 　　 D.15‎ 答案 B ‎2.（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）‎ A．64 B．‎100 ‎ C．110 D．120‎ 答案 B ‎3.（2008广东）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．16 B．‎24 ‎‎ ‎ C．36 D．48‎ 答案 D ‎ ‎4.（2008浙江）已知是等比数列，，则=（ ）‎ A.16（） B.6（） ‎ C.（） D.（）‎ 答案 C ‎5.（2008四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()‎ A.　　　　　 B.　‎ C.　　　　　 D.‎ 答案 D ‎6.（2008福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为( )‎ A.63 B‎.64 ‎ C.127 D.128‎ 答案 C ‎7.（2007重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（　　）‎ A．2 B．‎3 C．4 D．8‎ 答案 A ‎ ‎8.（2007安徽）等差数列的前项和为若（　　）‎ A．12 B．‎10 C．8 D．6‎ 答案 B ‎9.（2007辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则（　　）‎ A．63 B．‎45 C．36 D．27‎ 答案 B ‎10.(2007湖南) 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案 B ‎11.(2007湖北)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　　）‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 答案 D ‎12.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C．1 D．‎ 答案 D ‎13.(2007四川)等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　）‎ A．9 B．‎10 C．11 D．12‎ 答案 B ‎14.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且，则 A．4 B．‎2 C．－2 D．－4‎ 答案 D 解析 由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D ‎15.（2005福建）已知等差数列中，的值是 （ ）‎ A．15 B．‎30 ‎C．31 D．64‎ 答案 A ‎16.（2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )‎ A .33 B. ‎72 C. 84 D .189‎ 答案 C 二、填空题 ‎17.（2008四川）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______.‎ 答案 4‎ ‎18.（2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .‎ 答案 -72‎ ‎19.(2007全国I) 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．‎ 答案 ‎ ‎20.（2007江西）已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ 答案 7‎ ‎21.（2007北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项．‎ 答案 ‎ ‎22.（2006湖南）数列满足：，2，3….则　　　　　　. ‎ 答案 ‎ 解析 数列满足： ，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，‎ ‎∴ .‎ 三、解答题 ‎23.（2008四川卷）． 设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 解 由题意知，且 两式相减得 即 ①‎ ‎（Ⅰ）当时，由①知 于是 ‎ ‎ 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。‎ ‎（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 ‎ 当时，由由①得 因此 得 ‎24.（2008江西卷）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证.‎ 解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，‎ ‎，‎ 依题意有①‎ 由知为正有理数，故为的因子之一，‎ 解①得 故 ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎25..（2008湖北）.已知数列和满足：‎ ‎,其中为实数，为正整数.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ‎?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a‎1a3,即 矛盾.‎ 所以｛an｝不是等比数列.‎ ‎(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)‎ ‎=(-1)n·（an-3n+21）=-bn 又b1x-(λ+18),所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：‎ 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).‎ 故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.‎ ‎∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=-‎ 要使a‎3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有ab，则双曲线的离心率e等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案B ‎11、（2009深圳一模）在等差数列中，，表示数列的前项和，则 A． B． C． D．‎ 答案 B 二、填空题 ‎1、（2009上海十四校联考）若数列为 ‎“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的 条件 ‎2、（2009上海八校联考）在数列中，，且，_________。‎ 答案 2550‎ ‎3、（2009江门一模）是等差数列的前项和，若，，‎ 则 ．‎ 答案 ‎ ‎4、（2009宁波十校联考）已知是等差数列，，则该数列前10项和=________‎ 答案 100‎ 三、解答题 ‎1、（2009杭州二中第六次月考）数列中，其中且，是函数 的一个极值点．‎ ‎（Ⅰ）证明: 数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ ‎（1）由题意得即，‎ ‎，‎ 当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎（2）即 ‎，此式对也成立．‎ ‎2、（2009滨州一模）已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中．‎ ‎（I）求与的关系式；‎ ‎（II）令，求证：数列是等比数列；‎ ‎（III）若（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。‎ (1) 解：过的直线方程为 联立方程消去得 ‎∴‎ 即 ‎（2）‎ ‎∴是等比数列 ‎ ，;‎ ‎（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立， ‎ 即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立．‎ ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立．‎ 又（）n－1的最小值为1．∴λ<1． 10分 ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）n-1恒成立，‎ 又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－． 11分 即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数，‎ ‎∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有． 12分 ‎3、（2009台州市第一次调研）已知数列的首项，前n项和.‎ ‎（Ⅰ）求证：;‎ ‎（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.‎ 解：（1）由①，得②，‎ ‎②-①得：. 4分 ‎（2）由求得. 7分 ‎∴， 11分 ‎∴. 14分 ‎4、（2009上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，，‎ 一般地，（）．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）求和：．‎ ‎（1）； ……3分 ‎（2）当时，（）‎ ‎， ……6分 所以，（）． ……8分 ‎（3）与（2）同理可求得：， ……10分 设=，‎ 则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得 ‎，所以 ‎． ……14分 ‎5、（2009上海八校联考）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。‎ ‎（1）证明:数列是等差数列；‎ ‎（2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式；‎ ‎（3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。‎ ‎（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）‎ 解: (1)依题意有,于是.‎ 所以数列是等差数列. 　　　　　　　　.4分 ‎(2)由题意得,即 , () ①‎ 所以又有. ② ‎ 由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　６分 由都是等差数列. ‎ ‎，那么得 ,‎ ‎. ( ８分 故 　　 1０分 ‎(3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数 ‎ 提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数 解：问题① 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分 当为奇数时,,所以 当为偶数时,所以 　　　　‎ 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. 　　　　　　　　　　　　１３分 当为奇数时,有,即 ①‎ ‎， 当, 不合题意.15分 当为偶数时,有 ，,同理可求得 ‎ 当时,不合题意. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分 综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. 　　　　　　　 1８分 解：问题② 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分 当为奇数时,,所以 当为偶数时,所以 　　　　‎ 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. 　　　　　　　　　　　　１３分 当为奇数时,有,即 ①‎ ‎， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分 当为偶数时,有 ，,同理可求得 .‎ ‎；；当时，不合题意．1７分 综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为 ‎；；　；1８分 ‎6、（2009广州一模）已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，且a1=1.‎ ‎(1)求证：数列{ an－×2n}是等比数列；‎ ‎(2)设Sn是数列{an}的前n项的和，问是否存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由. ‎ ‎(本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力)‎ ‎(1)证法1：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，‎ ‎∴ ……2分 由an+an+1=2n，得，故数列 是首项为，公比为－1的等比数列. ……4分 证法2：∵an，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n∈N*)的两根，‎ ‎∴ ……2分 ‎∵，‎ 故数列是首项为，公比为－1的等比数列. ‎ ‎ ……4分 ‎(2)解：由(1)得，即，‎ ‎∴‎ ‎ ……6分 ‎∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=[(2+22+23+…+2n)－[(－1)+ (－1)2+…+(－1)n]‎ ‎， ……8分 要使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，‎ 即对任意n∈N*都成立. ‎ ‎①当n为正奇数时，由(*)式得，‎ 即，‎ ‎∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.‎ 当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分 ‎①当n为正奇数时，由(*)式得，‎ 即，‎ ‎∵2n+1－1>0，∴对任意正奇数n都成立.‎ 当且仅当n=1时，有最小值1，∴λ<1. ……10分 ‎②当n为正偶数时，由(*)式得，‎ 即，‎ ‎∵2n－1>0，∴对任意正偶数n都成立.‎ 当且仅当n=2时，有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分 综上所述，存在常数λ，使得bn－λSn>0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1).‎ ‎……14分 ‎7、（2009宣威六中第一次月考）已知数列满足，且 ‎（1）用数学归纳法证明：；‎ ‎（2）若，且，求无穷数列所有项的和。‎ 解：‎ ‎8、（2009广东三校一模）,是方程的两根,数列的前项和为 ‎,且 ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)记=,求数列的前项和.‎ ‎ 解：(1)由.且得 2分 ‎, 4分 ‎ 在中,令得当时,T=,‎ 两式相减得, 6分 ‎. 8分 ‎(2), 9分 ‎,, 10分 ‎=2‎ ‎=, 13分 ‎ 14分 ‎ ‎9、（2009江门一模）已知等差数列和正项等比数列，，．‎ ‎⑴求、；‎ ‎⑵对，试比较、的大小；‎ ‎⑶设的前项和为，是否存在常数、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．‎ 解：⑴由，得-------1分 由且得-------2分 所以，-------4分 ‎⑵显然，时，；时，，，-------5分 时，‎ ‎-------6分 -------7分 因为、，所以时，-------8分 ‎⑶-------9分，‎ 恒成立，则有-------11分，解得，-------12分 ‎，‎ ‎-------13分 所以，当，时，恒成立-------14分 ‎10、（2009汕头一模）在等比数列｛an｝中，an＞0 (nN＊），公比q(0,1)，且a‎1a5 + ‎2a3a5 +a ‎2a8＝25，‎ a3与as的等比中项为2。‎ ‎ （1)求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎ (2)设bn＝log2 an，数列｛bn｝的前n项和为Sn当最大时，求n的值。‎ 解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以， + 2a3a5 +＝25‎ ‎ 又an＞o，…a3＋a5＝5，…………………………2分 又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4‎ 而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，‎ ‎…………………………6分 ‎（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，‎ 所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。9分 所以， ‎ 所以，当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，‎ 当n＝8或9时，最大。　　…………………………12分 ‎11、（2009深圳一模文）设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由.‎ ‎（Ⅲ）求证： .‎ 解：(Ⅰ)由题意可得：‎ ‎ ①‎ 时, ② …………………… 1分 ‎ ①─②得， …………………… 3分 是首项为，公比为的等比数列， ……………… 4分 ‎（Ⅱ）解法一: ……………… 5分 若为等差数列，‎ 则成等差数列, ……………… 6分 得 ……………… 8分 又时，，显然成等差数列，‎ 故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分 解法二: ……………… 5分 ‎ …………… 7分 欲使成等差数列,只须即便可. ……………8分 故存在实数，使得数列成等差数列. ……………… 9分 ‎（Ⅲ） …… 10分 ‎ ………… 11分 ‎ ………… 12分 又函数在上为增函数， ‎ ‎， ………… 13分 ‎，． ……… 14分 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1.(北京市朝阳区2009年4月高三一模理)各项均不为零的等差数列中，若，则等于 （ ） ‎ A．0 B．‎2 C．2009 D．4018 ‎ 答案 D ‎2. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理) 若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）‎ A. 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列 ‎ C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列 答案 A ‎3.（2009福州三中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则的值为（ ）‎ ‎ A．2 B．‎4 ‎C．7 D．8‎ 答案 B ‎4.（2009厦门一中文）在等差数列中， ,则 其前9项的和S9等于 （ ） ‎ A．18 B ‎27 C 36 D 9‎ 答案 A ‎5.（2009长沙一中期末）各项不为零的等差数列中，，则的值为 （ ） ‎ A． B．‎4 ‎C． D．‎ 答案 B ‎6.（2009宜春）在等差数列中，，，则数列的前9项之和等于 （ ）‎ A.66 B．‎99 ‎‎ C．144 D.．297‎ 答案 B ‎7.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）设等差数列的前n项和为 ‎ （ ）‎ A．18 B．‎17 ‎C．16 D．15‎ 答案：C.‎ 二、填空题 ‎8.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列的公差，且成等比数列，则的值为 ． ‎ 答案 ‎ ‎9.（2009福州八中）已知数列则＿＿＿＿ , ＿＿＿＿ ‎ 答案 100． 5000；‎ ‎10.（2009宁乡一中第三次月考）11、等差数列中，且，则公差= ‎ 答案 10‎ ‎11.（2009南京一模）已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，‎ 则 ‎ 答案168‎ ‎12.（2009上海九校联考）已知数列的前项和为，若，则 .‎ 答案 128‎ 三、解答题 ‎13.（2009龙岩一中）设正整数数列满足：，当时，有．‎ ‎（I） 求、的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列的通项；‎ ‎(Ⅲ) 记，证明，对任意， .‎ 解（Ⅰ）时，，由已知，得，‎ 因为为正整数，所以，同理………………………………2分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：。…………………………………………3分 证明：①时，命题成立；‎ ‎②假设当与时成立，即，。……………4分 于是，整理得：，……………………………5分 由归纳假设得：，…………………6分 因为为正整数，所以，即当时命题仍成立。‎ 综上：由知①②知对于，有成立．………………………………7分 ‎(Ⅲ)证明：由 ③‎ ‎ 得 ④‎ ‎③式减④式得 ⑤…………………9分 ‎ ⑥‎ ‎⑤式减⑥式得 ‎ …………………11分 ‎…………13分 则 ．……………………………………………………14分 ‎14.（2009常德期末）已知数列的前n项和为且，数列满足且．‎ ‎（１）求的通项公式；‎ ‎（２）求证：数列为等比数列;‎ ‎（３）求前n项和的最小值．‎ 解： (1)由得, ……2分 ‎∴ ……………………………………4分 ‎(2)∵,∴,‎ ‎∴;‎ ‎ ∴由上面两式得,又 ‎∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分 ‎(3)由(2)得，∴‎ ‎= ，∴是递增数列 ………11分 当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时, >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.‎ 且…………………………13分 ‎2007—2008年联考题 一、选择题 ‎1.（ 上海市部分重点中学高三第一次联考） 等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是―――――――――（ ）‎ ‎ A、 B.S C、 D、‎ 答案 B ‎2.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试) 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（ ） ‎ ‎ A． B． C. D．或 答案 C ‎3.(湖南省2008届十二校联考第一次考试)在等比数列 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案 D ‎4. (200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）)正项等比数列满足,,,则数列的前10项和是 A．65 　　 B．－‎65 ‎ 　 C．25 　　D. －25‎ 答案 D ‎5.. (上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）) 等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为 （ ‎ ‎ ） ‎ ‎ A．‎3 ‎ B－‎3 C．－2 D．－1‎ 答案 B 二、填空题 ‎6.（江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学） 在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的 . ‎ 答案19‎ ‎7.（2007—2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷）为等差数列的前n项和，若，则= ．‎ 答案 4‎ 解析： 由，即 ，得．‎ ‎，．故=4．‎ ‎8.（山东省潍坊市2008年高三教学质量检测） 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则S19=______________．‎ 答案 190‎ ‎9.(江西省临川一中2008届高三模拟试题)等差数列有如下性质，若数列是等差数列，则当 也是等差数列；类比上述性质，相应地是正项等比数列，当数列 时，数列也是等比数列。 ‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎10..（2008江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①； ② M是与n无关的常数．‎ ‎(1)若{}是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间的关系；‎ ‎(2)设数{}的通项为，求M的取值范围；(4分)‎ 解 (1)设等差数列的公差是d ，则a1+2d=4，‎3a1+3d=18，解得a1=8，d =－2， ‎ 所以，(2分)，‎ 得适合条件①. (4分)；‎ 又，‎ 所以当n = 4或5时，Sn取得最大值20，即Sn ≤ 20，适合条件②， (3分)，‎ 综上，{}. (1分)‎ ‎(2)因为，(2分)，‎ 所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；(1分)‎ 当n = 1，2时，，即b1＜b2＜b3，‎ 因此数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7．(3分)‎ ‎11.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试)已知数列，设 ，数列。‎ ‎ （1）求证：是等差数列；‎ ‎ （2）求数列的前n项和Sn；‎ ‎ （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。‎ 解：（1）由题意知，……………………1分 ‎∴数列的等差数列……………………4分 ‎（2）由（1）知，‎ ‎…………………………5分 于是 两式相减得 ‎……………………8分 ‎（3）‎ ‎∴当n=1时，‎ 当 ‎∴当n=1时，取最大值是 又 即……………………12分 ‎12.(武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)设数列的前n项和，。‎ ‎（1）求数列的通项公式；(2)记，求数列前n项和 解：（1）数列的前n项之和 在n=1时，‎ 在时，‎ 而n=1时，满足 故所求数列通项………………………………（7分）‎ ‎（2）∵‎ 因此数列的前n项和………………………（12分）‎ ‎13.(2007届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编)已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.　（）‎ ‎(1)求数列，的通项公式；‎ ‎(2)若 ， 问是否存在，使得成立；若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ ‎(3)求证： …… + (2, )‎ 解 (1) ‎ ‎(2) ‎ 假设存在符合条件的 ‎(ⅰ)若为偶数，则为奇数，有 如果，则与为偶数矛盾.不符舍去；‎ ‎(ⅱ) 若为奇数，则为偶数，有 这样的也不存在.‎ 综上所述：不存在符合条件的.‎ ‎(3) ‎ ‎ ‎