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  • 2021-05-14 发布

2011年全国高考理科数学试题及答案-广东

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试卷类型:A ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(理科)‎ 本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。‎ 参考公式:柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积,h为柱体的高 线性回归方程中系数计算公式 ‎ 其中表示样本均值。‎ N是正整数,则…)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设复数满足,其中为虚数单位,则=‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合 ∣为实数,且,为实数,且,则的元素个数为 A.0    B.1    C.2     D.3‎ ‎3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 A.4    B.3     C.2      D.0‎ ‎4. 设函数和分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A.是偶函数        B.是奇函数 C.是偶函数        D.是奇函数 ‎5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点,点的坐标为,则的最大值为 A.     B.       C.4      D.3‎ ‎6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 A.     B.       C.      D.‎ ‎7. 如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.设S是整数集Z的非空子集,如果有,则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集,且有有,则下列结论恒成立的是 A. 中至少有一个关于乘法是封闭的 B. 中至多有一个关于乘法是封闭的 C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的 ‎ D. 中每一个关于乘法都是封闭的 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。‎ ‎ (一)必做题(9-13题)‎ ‎9. 不等式的解集是 .‎ ‎10. 的展开式中,的系数是 (用数字作答)‎ ‎11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,则k=____________.‎ ‎12. 函数在x=____________处取得极小值。‎ ‎13. 某数学老师身高‎176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm和‎182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.‎ (二) 选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为 和,它们的交点坐标为___________.‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆外一点分别作圆的切线 和割线交圆于,,且=7,是圆上一点使得=5,‎ ‎∠=∠, 则= 。‎ 三. 解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ 已知函数 (1) 求的值;‎ ‎(2)设求的值.‎ ‎17.‎ ‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ (1) 已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;‎ (2) 当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;‎ (3) 从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ ‎ 如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,‎ 且∠DAB=60,,PB=2, ‎ E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎ (1) 证明:AD 平面DEF;‎ ‎ (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。‎ ‎(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;‎ ‎(2)已知点M,且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎20.(本小题共14分)‎ 设b>0,数列满足a1=b,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)证明:对于一切正整数n,‎ ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:.实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记。‎ ‎ (1)过点作L的切线教y轴于点B. 证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有 ‎ (2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为,与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b) X;‎ ‎(3)设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时,求的最小值 (记为)和最大值(记为).‎ ‎2011年广东高考理科数学参考答案 一、选择题 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 B C D A C D B A 二、填空题 ‎9. ; 10. 84; 11. 10; 12. 2; 13. 185;‎ ‎14. ; 15. ;‎ 三、解答题 ‎16.解:(1);‎ ‎(2),,又,,‎ ‎,,‎ 又,,‎ ‎.‎ ‎17.解:(1)乙厂生产的产品总数为;‎ ‎(2)样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为;‎ ‎(3), ,的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P AS BS CS DS F G P AS BS CS DS F E 均值.‎ ‎18.解:(1) 取AD的中点G,又PA=PD,,‎ 由题意知ΔABC是等边三角形,,‎ 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎(2) 由(1)知为二面角的平面角,‎ 在中,;在中,;‎ 在中,.‎ ‎19.解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、,‎ 由题意得或,‎ ‎,‎ 可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则 ‎,所以轨迹L的方程为.‎ ‎(2)∵,仅当时,取"=",‎ 由知直线,联立并整理得解得或,此时 所以最大值等于2,此时.‎ ‎20.解(1)法一:,得,‎ 设,则,‎ ‎(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,‎ 即,∴‎ ‎(ⅱ)当时,设,则,‎ 令,得,,‎ 知是等比数列,,又,‎ ‎,.‎ 法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,‎ 即,∴‎ ‎(ⅱ)当时,,,,‎ 猜想,下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,猜想显然成立;‎ ‎②假设当时,,则 ‎,‎ 所以当时,猜想成立,‎ 由①②知,,.‎ ‎(2)(ⅰ)当时, ,故时,命题成立;‎ ‎(ⅱ)当时,,‎ ‎,‎ ‎,以上n个式子相加得 ‎,‎ ‎.故当时,命题成立;‎ 综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.‎ ‎21.解:(1),‎ 直线AB的方程为,即,‎ ‎,方程的判别式,‎ 两根或,‎ ‎,,又,‎ ‎,得,‎ ‎.‎ ‎(2)由知点在抛物线L的下方,‎ ‎①当时,作图可知,若,则,得;‎ 若,显然有点; .‎ ‎②当时,点在第二象限,‎ 作图可知,若,则,且;‎ 若,显然有点; ‎ ‎.‎ 根据曲线的对称性可知,当时,,‎ 综上所述,(*);‎ 由(1)知点M在直线EF上,方程的两根或,‎ 同理点M在直线上,方程的两根或,‎ 若,则不比、、小,‎ ‎,又,‎ ‎;又由(1)知,;‎ ‎,综合(*)式,得证.‎ ‎(3)联立,得交点,可知,‎ 过点作抛物线L的切线,设切点为,则,‎ 得,解得,‎ 又,即,‎ ‎,设,,‎ ‎,又,;‎ ‎,,‎ ‎.‎