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- 2021-05-14 发布
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2015年湖北省高考数学试题(理)
1.为虚数单位,的共轭复数为 A. B. C.1 D.
2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534
石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为
A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石
3.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项二项式系数和为 A. B. C. D.
4.设,,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是
第4题图
A. B.
C.对任意正数, D.对任意正数,
5.设,. 若p:成等比数列;
q:,则
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
6.已知符号函数 是上的增函数,,则 A. B.
C. D.
7.在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,为事件“”的概率,则
A. B. C. D.
8.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位
长度,得到离心率为的双曲线,则
A.对任意的, B.当时,;当时,
C.对任意的, D.当时,;当时,
9.已知集合,,定义集合
,则中元素的个数为
A.77 B.49 C.45 D.30
10.设,表示不超过的最大整数. 若存在实数,使得,,…,
同时成立,则正整数的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6
11.已知向量,,则 .
12.函数的零点个数为 .
第13题图
第14题图
x
O
y
T
C
N
A
M
B
13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度 m.
第15题图
14.如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点(B在A的上方), 且.(Ⅰ)圆的标准方程为 ;(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于两点,下列三个结论:
①; ②; ③.
其中正确结论的序号是 . (写出所有正确结论的序号)
15.如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且,则 .
16在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为 ( t为参数) ,l与C相交于AB两点,则 .
17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解
析式;
(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图
象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值.
18.设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q.已知,,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)当时,记,求数列前n项和.
第19题图
19.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接 (Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为, 求的值.
20.某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利
(单位:元)是一个随机变量.(Ⅰ)求的分布列和均值;(Ⅱ) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.
21.一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线
总与曲线有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若
存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
第21题图1
第21题图2
x
D
O
M
N
y
22.已知数列的各项均为正数,,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的单调区间,并比较与e的大小;
(Ⅱ)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;
(Ⅲ)令,数列,的前项和分别记为,, 证明:.参考答案:
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.B
11.9 12.2 13.14.(Ⅰ);(Ⅱ)①②③ 15. 16.
17.(Ⅰ)根据表中已知数据,解得. 数据补全如下表:
0
0
5
0
0
且函数表达式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,得. 因为的对称中心为,. 令,解得, . 由于函数的图象关于点成中心对称,令 解得,. 由可知,当时,取得最小值. 18.(Ⅰ)由题意有, 即
解得 或 故或
(Ⅱ)由,知,,故,于是
, ①
. ②
①-②可得,故.
19.(解法1)(Ⅰ)因为底面,所以, 由底面为长方形,有,而,所以. 而,所以. 又因为,点是的中点,所以. 而,所以平面. 而,所以.又,,所以平面. 由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.
(Ⅱ)如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面 的交线. (Ⅰ)知,,所以. 又因为底面,所以. 而,所以. 故是面与面所成二面角的平面角, 设,,有,在Rt△PDB中,
由, 得, 则 , 解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时,.
第19题解答图2
第19题解答图1
(解法2)(Ⅰ)如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设,,则,,点是的中点,所以,,于是,即. 又已知,而,所以. 因, , 则, 所以.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.
(Ⅱ)由,所以是平面的一个法向量;由(Ⅰ)知,,所以是平面的一个法向量. 若面与面所成二面角的大小为,则,解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时,.
20.(Ⅰ)设每天两种产品的生产数量分别为,相应的获利为,则有
(1)
第20题解答图1
第20题解答图2
第20题解答图3
目标函数为 .
当时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为.
将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.当时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为.将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.当时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为. 将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利. 故最大获利的分布列为
8160
10200
10800
0.3
0.5
0.2
因此,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率,
由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
21.(Ⅰ)设点,,依题意,第21题解答图
,且,
所以,且即且 由于当点不动时,点也不动,所以不恒等于0,于是,故,代入,可得,即所求的曲线的方程为
(Ⅱ)(1)当直线的斜率不存在时,直线为或,都有.
(2)当直线的斜率存在时,设直线, 由
消去,可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点,
所以,即. ①
又由 可得;同理可得.由原点到直线的距离为和,可得
. ②
将①代入②得,. 当时,;当时,.
因,则,,所以,当且仅当时取等号.所以当时,的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.
22.(Ⅰ)的定义域为,.当,即时,单调递增;当,即时,单调递减. 故的单调递增区间为,单调递减区间为. 当时,,即.
令,得,即. ①
(Ⅱ);;
.由此推测: ②下面用数学归纳法证明②. (1)当时,左边右边,②成立.
(2)假设当时,②成立,即.
当时,,由归纳假设可得
.
所以当时,②也成立.
根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.
(Ⅲ)由的定义,②,算术-几何平均不等式,的定义及①得
.
即.