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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学人教A版本(8-5双曲线)一轮复习学案

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‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-5双曲线课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.(2013·北京)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是(  )‎ A.m>    B.m≥1   ‎ C.m>1    D.m>2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 双曲线离心率e=>,‎ 所以m>1,选C.‎ ‎2.(文)(2012·石家庄质检)已知中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为(  )‎ A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎[答案] C ‎[解析] 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),∵e==,c=,∴==,∴=2,∴双曲线的渐近线方程为y=±x,故选C.‎ ‎(理)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 由渐近线方程为y=±x知,=,‎ ‎∴a=b,①‎ 又顶点到渐近线距离为1,‎ ‎∴=1,②‎ 由①②得,a=2,b=,∴选A.‎ ‎3.(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-5,0)和C(5,0),若顶点B在双曲线-=1上,则为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c,‎ 由正弦定理得=,‎ 由双曲线的标准方程和定义可知,A、C是双曲线的焦点,且|AC|=10,||BC|-|AB||=8.‎ 所以=,故选C.‎ ‎4.(文)(2013·保定调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上.则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[答案] B ‎[解析] 由题意可知解得 所以选B.‎ ‎(理)(2013·辽宁六校联考)设P(2,)是双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线上的一点,E、F分别是双曲线的左、右焦点,若·=0,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由条件易得=,且(2+c,)·(2-c,)=(2+c)(2-c)+5=9-c2=0,∴c2=9,a2=4,b2=5,故选C.‎ ‎5.(文)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[答案] A ‎[分析] 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距,再根据双曲线的定义,求曲线C2的标准方程.‎ ‎[解析] 在椭圆C1中,因为e=,‎2a=26,所以椭圆的焦距‎2c=10,根据题意,可知曲线C2为双曲线,根据双曲线的定义可知,双曲线C2中的‎2a=8,焦距与椭圆的焦距相同,即‎2c=10,可知b=3,所以双曲线的标准方程为-=1,故选A.‎ ‎(理)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[答案] D ‎[解析] 抛物线y2=16x的焦点坐标是(4,0),于是有由此解得a2=4,b2=12,故双曲线的方程是-=1,选D.‎ ‎6.(2013·淮北二模)过已知双曲线-=1(b>0)的左焦点F1作⊙O2:x2+y2=4的两条切线,记切点为A,B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. ‎ C. D.2‎ ‎[答案] D ‎[解析] 如图,‎ ‎∵∠OCA=60°,|OC|=|OA|=2,‎ ‎∴∠AOC=60°,∠AF‎1C=30°,‎ ‎∴e====2.‎ 二、填空题 ‎7.(文)若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________.‎ ‎[答案] 48‎ ‎[解析] ∵=2,∴m=48.‎ ‎(理)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0,若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值,则使得双曲线的离心率大于3的概率是________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2-y2=1,从而e=>3,∵m>0,∴m>2,故所求概率是,故填.‎ ‎8.(2013·广东茂名质检)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] c=5,设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y=(x-5),即4x-3y-20=0,联立直线与双曲线方程,求得yB=-,则S=|AF|·|yB|=×(5-3)×=.‎ ‎9.(2013·北京大兴模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p ‎>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为________.‎ ‎[答案] 2 ‎[解析] 由解得 由题意得得 又已知+a=4,故a=2,b=1,c==.‎ 所以双曲线的焦距‎2c=2.‎ 三、解答题 ‎10.(文)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.‎ ‎[解析] (1)∵e=,‎ ‎∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),‎ ‎∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,‎ ‎∴双曲线方程为-=1.‎ ‎(2)证明:法1:由(1)可知,双曲线中a=b=,‎ ‎∴c=2,‎ ‎∴F1(-2,0),F2(2,0),‎ ‎∴kMF1=,kMF2=,‎ kMF1·kMF2==,‎ ‎∵点M(3,m)在双曲线上,∴m2=3,‎ ‎∴kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0.‎ 法2:∵=(-2-3,-m),‎ =(2-3,-m),‎ ‎∴·=(-2-3)×(2-3)+m2=-3+m2,‎ ‎∵点M在双曲线上,‎ ‎∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.‎ ‎(3)∵△F1MF2的底边长|F‎1F2|=4,△F1MF2的高h=|m|=,‎ ‎∴S△F1MF2=6.‎ ‎(理)(2013·铜陵一模)若双曲线E:-y2=1(a>0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若|AB|=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值.‎ ‎[解析] (1)由得 故双曲线E的方程为x2-y2=1.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由 得(1-k2)x2+2kx-2=0.①‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A,B两点,‎ 故 即 所以10,a>0)与抛物线y=x2有一个公共焦点F,双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为,则双曲线的离心率等于(  )‎ A.2 B. ‎ C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 双曲线与抛物线x2=8y的公共焦点F的坐标为(0,2),由题意知(,2)在双曲线上,于是,得a2=3,b2=1,故e==,故选B.‎ ‎(理)(2013·安徽皖南八校联考)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使·=0,且△F1PF2的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为(  )‎ A. B. ‎ C.2 D.5‎ ‎[答案] D ‎[解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n,且m>n,|F‎1F2|=‎2c,由题可知△F1PF2为直角三角形且F‎1F2为斜边.由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得 由①③得 代入②得(‎2c-‎2a)2+(‎2c-‎4a)2=‎4c2,整理得c2-‎6ac+‎5a2=0,等式两边同时除以a2得e2-6e+5=0,解得e=5或e=1.因为双曲线的离心率e>1,所以e=5.‎ ‎12.(2013·开封一模)已知A,B是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,点C在双曲线上,在△ABC中,∠ACB=90°,sinAsinB=21,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 依题意得sinAsinB=|BC||AC|=21,则|BC|=2|AC|,又∠ACB=90°,所以|AB|=|AC|,故双曲线的离心率e===,选D.‎ ‎13.(文)若原点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为(  )‎ A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)‎ C.[-,+∞) D.[,+∞)‎ ‎[答案] B ‎[解析] ∵a2+1=22=4,∴a2=3,‎ ‎∴双曲线方程为-y2=1.‎ 设P点坐标为(x,y),则=(x,y),=(x+2,y),‎ ‎∵y2=-1,∴·=x2+2x+y2‎ ‎=x2+2x+-1=x2+2x-1=(x+)2-.‎ 又∵x≥(右支上任意一点),‎ ‎∴·≥3+2.故选B.‎ ‎(理)设F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F‎1F2|,且cos∠PF‎1F2=,则双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.3x±4y=0 B.3x±5y=0‎ C.4x±3y=0 D.5x±4y=0‎ ‎[答案] C ‎[解析] 在△PF‎1F2中,由余弦定理得,‎ cos∠PF‎1F2= ‎===.‎ 所以|PF1|=c.‎ 又|PF1|-|PF2|=‎2a,即c-‎2c=‎2a,所以c=a.‎ 代入c2=a2+b2得=±.‎ 因此,双曲线的渐近线方程为4x±3y=0.‎ 二、填空题 ‎14.(2013·湖南)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF‎1F2=30°,则C的离心率为________.‎ ‎[答案] +1‎ ‎[解析] 由已知可得,|PF1|=2ccos30°=c,|PF2|=2csin30°=c,由双曲线的定义,可得c-c=‎2a,则e===+1.‎ ‎15.(文)若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率是2,则的最小值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由离心率e=2得,=2,从而b=a>0,‎ 所以==a+ ‎≥2=2=,当且仅当a=,‎ 即a=时“=”成立.‎ ‎(理)P为双曲线x2-=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________.‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 双曲线的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.‎ 三、解答题 ‎16.(文)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,其渐近线与圆x2+y2-10x ‎+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线l,交双曲线左支于A、B两点,交y轴于点C,且满足|PA|·|PB|=|PC|2.‎ ‎(1)求双曲线的标准方程;‎ ‎(2)设点M为双曲线上一动点,点N为圆x2+(y-2)2=上一动点,求|MN|的取值范围.‎ ‎[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y=kx,‎ 因为渐近线与圆(x-5)2+y2=5相切,‎ 则=,即k=±,‎ 所以双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 设双曲线方程为x2-4y2=m,将y=(x+4)代入双曲线方程中整理得,3x2+56x+112+‎4m=0.‎ 所以xA+xB=-,xAxB=.‎ 因为|PA|·|PB|=|PC|2,点P、A、B、C共线,且点P在线段AB上,则(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16.‎ 所以4(xA+xB)+xAxB+32=0.‎ 于是4·(-)++32=0,解得m=4.‎ 故双曲线方程是x2-4y2=4,即-y2=1.‎ ‎(2)设点M(x,y),圆x2+(y-2)2=的圆心为D,则x2-4y2=4,点D(0,2).‎ 所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2‎ ‎=5y2-4y+8=5(y-)2+≥.‎ 所以|MD|≥,‎ 从而|MN|≥|MD|-≥.‎ 故|MN|的取值范围是[,+∞).‎ ‎(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).‎ ‎(1)求C的离心率;‎ ‎(2)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎ ‎[解析] (1)由题意知,l的方程为:y=x+2,‎ 代入C的方程并化简得,‎ ‎(b2-a2)x2-‎4a2x-‎4a2-a2b2=0.‎ 设B(x1,y1),D(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1·x2=-,①‎ 由M(1,3)为BD的中点知=1,故×=1,‎ 即b2=‎3a2,②‎ 故c==‎2a,‎ ‎∴C的离心率e==2.‎ ‎(2)由②知,C的方程为3x2-y2=‎3a2,‎ A(a,0),F(‎2a,0),x1+x2=2,x1·x2=-<0,‎ 故不妨设x1≤-a,x2≥a,‎ ‎|BF|===a-2x1,‎ ‎|FD|===2x2-a,‎ ‎|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)‎ ‎=-4x1x2+‎2a(x1+x2)-a2=‎5a2+‎4a+8.‎ 又|BF|·|FD|=17,故‎5a2+‎4a+8=17,‎ 解得a=1,或a=-.‎ 故|BD|=|x1-x2|==6.‎ 连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,‎ 从而MA=MB=MD,∠DAB=90°,‎ 因此以M为圆心,MA为半径的圆过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎ 考纲要求 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ 补充说明 ‎1.数学思想的应用 ‎(1)在双曲线的几何性质的讨论中,要注意方程思想的应用.‎ ‎(2)求双曲线的方程,离心率等,常常要讨论焦点在哪个轴上.‎ ‎(3)求取值范围的问题、最值问题要注意函数思想的应用.‎ ‎(4)圆锥曲线的大部分题目,结合图形分析更有利于思路的打通.‎ ‎2.双曲线的形状与e的关系:∵双曲线渐近线的斜率k====,∴e越大,则渐近线的斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.故双曲线的离心率越大,它的开口就越宽阔.‎ ‎3.基础三角形如图,△AOB中,|OA|=a,|AB|=b,|OB|=c,tan∠AOB=,△OF2D中,|F2D|=b.‎ 备选习题 ‎1.(2013·惠州模拟)已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(  )‎ A.(1,) B.(1,]‎ C.(,+∞) D.[,+∞)‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ 则由题意得>2.∴e==>=.‎ ‎2.(2012·浙江文,8)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M、N是双曲线的两顶点,若M、O、N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  )‎ A.3 B.2 ‎ C. D. ‎[答案] B ‎[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法.设椭圆长轴长为‎2a,则双曲线实半轴长为=,‎ 因为椭圆与双曲线有公共焦点,‎ 所以离心率的比值==2.‎ ‎3.存在两条直线x=±m与双曲线-=1(a>0,b>0)相交于A、B、C、D四点,若四边形ABCD为正方形,则双曲线的离心率的取值范围为(  )‎ A.(1,) B.(1,)‎ C.(,+∞) D.(,+∞)‎ ‎[答案] C ‎[解析] 依题意,不妨设直线AC的倾斜角为锐角,则直线AC的倾斜角为45°,该直线与双曲线有两个不同的交点,因此有>tan45°=1,双曲线的离心率e==>=,则该双曲线的离心率的取值范围是(,+∞),选C.‎ ‎4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎[答案] B ‎[解析] 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意知c=3,a2+b2=9,设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:两式作差得:==,‎ 又AB的斜率是=1,所以b2=a2,‎ 代入a2+b2=9得,a2=4,b2=5,‎ 所以双曲线标准方程是-=1,故选B.‎ ‎5.‎ 如图在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,当动点M在底面ABCD内运动时,总有:D‎1A=D‎1M,则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧.(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎[答案] A ‎[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时,动点的轨迹是以D1D为轴线,以D‎1A为母线的圆锥,与平面ABCD的交线即圆的一部分.故选A.‎ ‎6.(2013·江苏泰州质检)已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,且=(+).‎ ‎(1)求直线AB的方程;‎ ‎(2)若过N的另一条直线交双曲线于C,D两点,且·=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?‎ ‎[解析] (1)由题意知直线AB的斜率存在.‎ 设直线AB:y=k(x-1)+2,代入x2-=1得,‎ ‎(2-k2)x2-2k·(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两根,‎ ‎∴2-k2≠0且x1+x2=.‎ ‎∵=(+),∴N是AB的中点,∴=1,‎ ‎∴k(2-k)=-k2+2,∴k=1,‎ ‎∴AB的方程为y=x+1.‎ ‎(2)将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,‎ ‎∴x=-1或x=3,‎ 不妨设A(-1,0),B(3,4).‎ ‎∵·=0,∴CD垂直平分AB.‎ ‎∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,‎ 代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,‎ 令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0),‎ 则x3+x4=-6,x3·x4=-11,‎ ‎∴x0==-3,y0=6,即M(-3,6).‎ ‎|CD|=|x3-x4|‎ ‎==4,‎ ‎|MC|=|MD|=|CD|=2,‎ ‎|MA|=|MB|=2,‎ 即A,B,C,D到M的距离相等,∴A,B,C,D四点共圆.‎