2015高考数学人教A版本（8-5双曲线）一轮复习学案 15页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-5双曲线课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(2013·北京)双曲线x2－＝1的离心率大于的充分必要条件是(　　)‎ A．m>　 　 B．m≥1　 　‎ C．m>1　 　 D．m>2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　双曲线离心率e＝>，‎ 所以m>1，选C.‎ ‎2．(文)(2012·石家庄质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎[答案]　C ‎[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝，∴＝＝，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C.‎ ‎(理)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由渐近线方程为y＝±x知，＝，‎ ‎∴a＝b，①‎ 又顶点到渐近线距离为1，‎ ‎∴＝1，②‎ 由①②得，a＝2，b＝，∴选A.‎ ‎3．(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，若顶点B在双曲线－＝1上，则为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，‎ 由正弦定理得＝，‎ 由双曲线的标准方程和定义可知，A、C是双曲线的焦点，且|AC|＝10，||BC|－|AB||＝8.‎ 所以＝，故选C.‎ ‎4．(文)(2013·保定调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝48x的准线上．则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题意可知解得 所以选B.‎ ‎(理)(2013·辽宁六校联考)设P(2，)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线上的一点，E、F分别是双曲线的左、右焦点，若·＝0，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件易得＝，且(2＋c，)·(2－c，)＝(2＋c)(2－c)＋5＝9－c2＝0，∴c2＝9，a2＝4，b2＝5，故选C.‎ ‎5．(文)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　A ‎[分析]　首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距，再根据双曲线的定义，求曲线C2的标准方程．‎ ‎[解析]　在椭圆C1中，因为e＝，‎2a＝26，所以椭圆的焦距‎2c＝10，根据题意，可知曲线C2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C2中的‎2a＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即‎2c＝10，可知b＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1，故选A.‎ ‎(理)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　抛物线y2＝16x的焦点坐标是(4,0)，于是有由此解得a2＝4，b2＝12，故双曲线的方程是－＝1，选D.‎ ‎6．(2013·淮北二模)过已知双曲线－＝1(b>0)的左焦点F1作⊙O2：x2＋y2＝4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D．2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　如图，‎ ‎∵∠OCA＝60°，|OC|＝|OA|＝2，‎ ‎∴∠AOC＝60°，∠AF‎1C＝30°，‎ ‎∴e＝＝＝＝2.‎ 二、填空题 ‎7．(文)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.‎ ‎[答案]　48‎ ‎[解析]　∵＝2，∴m＝48.‎ ‎(理)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝>3，∵m>0，∴m>2，故所求概率是，故填.‎ ‎8．(2013·广东茂名质检)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－，则S＝|AF|·|yB|＝×(5－3)×＝.‎ ‎9．(2013·北京大兴模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p ‎>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．‎ ‎[答案]　2 ‎[解析]　由解得 由题意得得 又已知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝.‎ 所以双曲线的焦距‎2c＝2.‎ 三、解答题 ‎10．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．‎ ‎[解析]　(1)∵e＝，‎ ‎∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，‎ ‎∴c＝2，‎ ‎∴F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎∴kMF1＝，kMF2＝，‎ kMF1·kMF2＝＝，‎ ‎∵点M(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，‎ ‎∴kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即·＝0.‎ 法2：∵＝(－2－3，－m)，‎ ＝(2－3，－m)，‎ ‎∴·＝(－2－3)×(2－3)＋m2＝－3＋m2，‎ ‎∵点M在双曲线上，‎ ‎∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.‎ ‎(3)∵△F1MF2的底边长|F‎1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ ‎∴S△F1MF2＝6.‎ ‎(理)(2013·铜陵一模)若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．‎ ‎[解析]　(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①‎ ‎∵直线与双曲线右支交于A，B两点，‎ 故 即 所以10，a>0)与抛物线y＝x2有一个公共焦点F，双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率等于(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　双曲线与抛物线x2＝8y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知(，2)在双曲线上，于是，得a2＝3，b2＝1，故e＝＝，故选B.‎ ‎(理)(2013·安徽皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使·＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C．2 D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F‎1F2|＝‎2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F‎1F2为斜边．由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得 由①③得 代入②得(‎2c－‎2a)2＋(‎2c－‎4a)2＝‎4c2，整理得c2－‎6ac＋‎5a2＝0，等式两边同时除以a2得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.因为双曲线的离心率e>1，所以e＝5.‎ ‎12．(2013·开封一模)已知A，B是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点C在双曲线上，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinAsinB＝21，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　依题意得sinAsinB＝|BC||AC|＝21，则|BC|＝2|AC|，又∠ACB＝90°，所以|AB|＝|AC|，故双曲线的离心率e＝＝＝，选D.‎ ‎13．(文)若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为(　　)‎ A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)‎ C．[－，＋∞) D．[，＋∞)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，‎ ‎∴双曲线方程为－y2＝1.‎ 设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，‎ ‎∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2‎ ‎＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.‎ 又∵x≥(右支上任意一点)，‎ ‎∴·≥3＋2.故选B.‎ ‎(理)设F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F‎1F2|，且cos∠PF‎1F2＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0‎ C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　在△PF‎1F2中，由余弦定理得，‎ cos∠PF‎1F2＝ ‎＝＝＝.‎ 所以|PF1|＝c.‎ 又|PF1|－|PF2|＝‎2a，即c－‎2c＝‎2a，所以c＝a.‎ 代入c2＝a2＋b2得＝±.‎ 因此，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0.‎ 二、填空题 ‎14．(2013·湖南)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF‎1F2＝30°，则C的离心率为________．‎ ‎[答案]　＋1‎ ‎[解析]　由已知可得，|PF1|＝2ccos30°＝c，|PF2|＝2csin30°＝c，由双曲线的定义，可得c－c＝‎2a，则e＝＝＝＋1.‎ ‎15．(文)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率是2，则的最小值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由离心率e＝2得，＝2，从而b＝a>0，‎ 所以＝＝a＋ ‎≥2＝2＝，当且仅当a＝，‎ 即a＝时“＝”成立．‎ ‎(理)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．‎ ‎[答案]　5‎ ‎[解析]　双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.‎ 三、解答题 ‎16．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x ‎＋20＝0相切．过点P(－4,0)作斜率为的直线l，交双曲线左支于A、B两点，交y轴于点C，且满足|PA|·|PB|＝|PC|2.‎ ‎(1)求双曲线的标准方程；‎ ‎(2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2＋(y－2)2＝上一动点，求|MN|的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，‎ 因为渐近线与圆(x－5)2＋y2＝5相切，‎ 则＝，即k＝±，‎ 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝(x＋4)代入双曲线方程中整理得，3x2＋56x＋112＋‎4m＝0.‎ 所以xA＋xB＝－，xAxB＝.‎ 因为|PA|·|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C共线，且点P在线段AB上，则(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.‎ 所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.‎ 于是4·(－)＋＋32＝0，解得m＝4.‎ 故双曲线方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.‎ ‎(2)设点M(x，y)，圆x2＋(y－2)2＝的圆心为D，则x2－4y2＝4，点D(0,2)．‎ 所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2‎ ‎＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋≥.‎ 所以|MD|≥，‎ 从而|MN|≥|MD|－≥.‎ 故|MN|的取值范围是[，＋∞)．‎ ‎(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．‎ ‎(1)求C的离心率；‎ ‎(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，‎ 代入C的方程并化简得，‎ ‎(b2－a2)x2－‎4a2x－‎4a2－a2b2＝0.‎ 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1·x2＝－，①‎ 由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1，‎ 即b2＝‎3a2，②‎ 故c＝＝‎2a，‎ ‎∴C的离心率e＝＝2.‎ ‎(2)由②知，C的方程为3x2－y2＝‎3a2，‎ A(a,0)，F(‎2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，‎ 故不妨设x1≤－a，x2≥a，‎ ‎|BF|＝＝＝a－2x1，‎ ‎|FD|＝＝＝2x2－a，‎ ‎|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)‎ ‎＝－4x1x2＋‎2a(x1＋x2)－a2＝‎5a2＋‎4a＋8.‎ 又|BF|·|FD|＝17，故‎5a2＋‎4a＋8＝17，‎ 解得a＝1，或a＝－.‎ 故|BD|＝|x1－x2|＝＝6.‎ 连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，‎ 从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，‎ 因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ 考纲要求 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．‎ 补充说明 ‎1．数学思想的应用 ‎(1)在双曲线的几何性质的讨论中，要注意方程思想的应用．‎ ‎(2)求双曲线的方程，离心率等，常常要讨论焦点在哪个轴上．‎ ‎(3)求取值范围的问题、最值问题要注意函数思想的应用．‎ ‎(4)圆锥曲线的大部分题目，结合图形分析更有利于思路的打通．‎ ‎2．双曲线的形状与e的关系：∵双曲线渐近线的斜率k＝＝＝＝，∴e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．‎ ‎3．基础三角形如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝c，tan∠AOB＝，△OF2D中，|F2D|＝b.‎ 备选习题 ‎1．(2013·惠州模拟)已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1，]‎ C．(，＋∞) D．[，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 则由题意得>2.∴e＝＝>＝.‎ ‎2．(2012·浙江文，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M、N是双曲线的两顶点，若M、O、N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)‎ A．3 B．2 ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法．设椭圆长轴长为‎2a，则双曲线实半轴长为＝，‎ 因为椭圆与双曲线有公共焦点，‎ 所以离心率的比值＝＝2.‎ ‎3．存在两条直线x＝±m与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(1，)‎ C．(，＋∞) D．(，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　依题意，不妨设直线AC的倾斜角为锐角，则直线AC的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有>tan45°＝1，双曲线的离心率e＝＝>＝，则该双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)，选C.‎ ‎4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：两式作差得：＝＝，‎ 又AB的斜率是＝1，所以b2＝a2，‎ 代入a2＋b2＝9得，a2＝4，b2＝5，‎ 所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.‎ ‎5.‎ 如图在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D‎1A＝D‎1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是(　)上的一段弧．(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎[答案]　A ‎[解析]　因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D‎1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分．故选A.‎ ‎6．(2013·江苏泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝(＋)．‎ ‎(1)求直线AB的方程；‎ ‎(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且·＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？‎ ‎[解析]　(1)由题意知直线AB的斜率存在．‎ 设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1得，‎ ‎(2－k2)x2－2k·(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，‎ ‎∴2－k2≠0且x1＋x2＝.‎ ‎∵＝(＋)，∴N是AB的中点，∴＝1，‎ ‎∴k(2－k)＝－k2＋2，∴k＝1，‎ ‎∴AB的方程为y＝x＋1.‎ ‎(2)将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，‎ ‎∴x＝－1或x＝3，‎ 不妨设A(－1,0)，B(3,4)．‎ ‎∵·＝0，∴CD垂直平分AB.‎ ‎∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，‎ 代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，‎ 令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)，‎ 则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，‎ ‎∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3,6)．‎ ‎|CD|＝|x3－x4|‎ ‎＝＝4，‎ ‎|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，‎ ‎|MA|＝|MB|＝2，‎ 即A，B，C，D到M的距离相等，∴A，B，C，D四点共圆．‎