高三高考平面向量题型总结 11页

1 平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行 移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反. 记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ② ,, cbba  则 ca  ；③ ,//,// cbba ca // ④若 CDAB  ，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关 系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例 1.已知 AB=8，AC=5，则 BC 的取值范围__________ 例 2.化简下列向量 （1） PMQPMNNQ  （2） )()()( MBPMABCQBCBP  （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； ba  是以 a ，b  为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例 1.（09 山东）设 P 是三角形 ABC 所在平面内一点， BPBABC 2 ，则 A. 0 PBPA B. 0 PCPA C. 0 PBPC D. 0 PCPBPA 例 2.（13 四川）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， AOADAB  ，则. ______ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A. PBPAOBOABA  （终点向量减始点向量） 2 在平行四边形中，已知以 a 、b  为邻边的平行四边形中， baba  , 分别为平行四边形的两条对角线，当 baba   时，此时平行四边形是矩形。 例 1.已知 8,6  ba ，且 baba   ，则 baba   =______ 例 2.设点 M 是 BC 的中点，点 A 在线段 BC 外，BC=16， ACABACAB  ，则 ____AM 向量的加减运算： 例 1.（08 辽宁）已知 、O A 、 B 是平面内的三个点，直线 AB 上有一点C ，满足 → CB+2 → AC=0，则 → OC=______ A.2 → OA- → OB B.— → OA+2 → OB C. 3 2 → OA— 3 1 → OB D. — 3 1 → OA+ 3 2 → OB 例 2.(15 课标全国 I）设 D 是三角形 ABC 所在平面内一点， CDBC 3 ，则______ A. ACABAD 3 4 3 1  B. ACABAD 3 4 3 1  C. ACABAD 3 1 3 4  D. ACABAD 3 1 3 4  例 3.（12 全国）在 ABC 中， AB 边上的高为CD , → CB=a, →CA=b,a b=0, 2,1  ba ,则 →AD=______ 例 4.（10 全国）在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分 ACB ，若 → CB=a, →CA=b, 2,1  ba ，则 →CD=________ 例 5.在 ABC 中，设 D 为边 BC 的中点, E 为边 AD 的中点,若 → BE= m → AB+ n → AC，则 m + n =___ 例 6.（15 北京理）在 ABC 中，点 NM , 满足 NCBNMCAM  ,2 ，若 ACyABxMN  ，则 _________  yx 例 7.（13 江苏）设 D 、 E 分别是 ABC 的边 AB 、 BC 上的点，若 BCBEABAD 3 2,2 1  ，若 →DE= 1 →AB+ 2 →AC( 1 , 2 为实数)，则 1 + 2 =_________ 例 8. （ 12 东 北 四 市 一 摸 ） 在 ABC 中 ， 设 P 为 边 BC 的 中 点 ， 内 角 CBA ,, 的 对 边 cba ,, ， 若 c → AC+ a → PA+b → PB=0，则 ABC 的形状为________ 3 (三）实数与向量的积： 1. 定 义 ： 实 数  与 非 零 向 量 a 的 乘 积 a 是 一 个 向 量 ， 它 的 长 度 是 __________. 它 的 方 向 是 _________________________________________________________.当 0 时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。 3.运算律：设 a 、b  是任意向量， , 是实数，则实数与向量的积适合以下运算： 4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理） ①如果 ba  ，则 ba // ；若 ba // ， 0b ，则存在唯一的实数  ，使得 ba  . ②若 a 、b  是两个不共线的非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数 , ，使________. ③若 22122111 , eebeea   ， 21,ee 不共线， ba // ，则在有意义的前提下， 2 1 2 1      例 1.（15 课标全国 II）设向量若 a 、b  是两个不平行的向量，向量 ba  与 ba 2 平行，则 ____ 例 2.（09 湖南）对于非零向量 , ,a b   “ 0a b    ”是“ / /a b   ”的___ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例 3.（12 四川）设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使 | | | | a b a b 成立的充分条件是 A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b 且|a|＝|b| 5.单位向量 给定一个向量 a ，与 a 同方向且长度为 1 的向量叫做 a 的单位向量，即_______________ 重要结论： 已知 ABC ，O 为定点， P 为平面内任意一点. ① → PA+ → PB+ → PC=0  ________________________  _______________________. ②若 → OP= 3 1 → OA+ → OB+ → OC，则 P 为 ABC __________________________ ③若 → OP= → OA+  （ → AB+ → AC）， ),0(  ，则 P 点的轨迹__________________. ④若 → OP= → OA+  _________, ),0(  ,则 P 点的轨迹通过 ABC 的内心 ⑤若__________________________,则 P 点的轨迹是 ABC 的外心 ⑥若__________________________,则 P 点的轨迹是 ABC 的垂心 例 1.（10 湖北）在 ABC 中，点 M 满足 → MA+ → MB+ → MC=0，若存在实数 m ，使得 → AB+ → AC= m → AM，则 m =________. 例 2.在 ABC 中，重心为 G，若 0sin3sin3sin2  GCCGBBGAA ，则 _____cos B 4 例 3.在 ABC 中，重心为 G，若 03 3  GCGBbGAa ，则 _____A 三、平面向量的基本定理 (一）平面向量基本定理内容： 如果 1e 、 2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 21 , ， 使__________________,其中 1e 、 2e 是一组基底，记作_______._____________叫做向量 a 关于基底的分解 式。平面向量基本定理是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础。 注意：只要是不共线的两个向量都可以作为基底，因为零向量与任一向量都平行，所以零向量一定不能作 为基底；基底不唯一；任一向量可以由一组基底来表示，但表示方法是唯一的。 例 1.（14 福建）在下列向量组中，可以把向量 )2,3(a 表示出来的是______ A. )2,1(),0,0( 21  ee B. )2,5(),2,1( 21  ee C. )10,6(),5,3( 21  ee D. )3,2(),3,2( 21  ee 例 2.（09 安徽）在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 CD，BC 的中点，若 AFAEAC   ，则 _____  （二）平面向量基本定理与向量共线条件的综合应用 设 BA, 是 直 线 l 上 两 点 ， O 是 直 线 外 一 点 ， 对 于 直 线 上 任 意 一 点 P ， 存 在 Rt  ， 使 ___________________________成立.反之，满足上式的点 P 在直线l 上. 特别地，当 P 为 BA, 的中点时，则_________________________. 例 1.已知 、O A 、 B 是平面内的三个点，线段 BA 的延长线上有一点C ，满足 3 → AC+ → CB=0 则 → OC=____ A.3 → OA-2 → OB B.—2 → OA+3 → OB C. 2 3 → OA— 2 1 → OB D. — 2 1 → OA+ 2 3 → OB 例 2. 数 列  na 是 等 差 数 列 ， 其 前 n 项 和 为 nS ， 若 平 面 上 的 三 个 不 共 线 的 向 量 → OA 、 → OB 、 → OC 满 足 → OB= 1a → OA+ 2006a → OC，且 CBA ,, 三点共线，则 _____2006 S 例 3.已知向量 ji , 不共线，且 → AB= jmi   ， → AD jin   ，若 DBA ,, 三点共线，则实数 nm, 应满足的条件 _____ A. 1 nm B. 1 nm C. 1mn D. 1mn 例 4.（07 江西）如图，在 ABC 中，设O 为边 BC 的中点，过点O 的直线交直线 AB 、AC 于不同两点 NM , . 若 → AB= m → AM， → AC= n → AN，则 m + n =___ mn 的最大值为_______ 5 例 5.在 ABC 中，设 M 为边 BC 的任意点， N 为 AM 中点， → AN=  → AB+  → AC，则  +  =_____. 例 6.在 ABC 中，设 M 为边 BC 的中点， N 为 AM 中点， → AN=  → AB+  → AC，则  +  =_____. 例 7.如图，在 ABC 中，设 D 为边 BC 的中点，G 为 AD 中点，过G 任作一条直线 MN 分别交 AB 、 AC 于 NM , 两点，若 → AM= x → AB， → AN= y → AC，试问 yx 11  是否为定值？ 四、平面向量的正交分解与向量的直角坐标运算： （一）向量的正交分解与向量的直角坐标 1.向量的垂直：如果两个向量的基线互相垂直，那么这两个向量互相垂直； 2.向量的正交分解：如果基底的两个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量， 叫做正交分解。 3.在平面直角坐标系下，分别取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内任一向量 a ， 有且只有一对实数 x,y，使得 21 eyexa  .有序数对 ),( yx 叫做 a 的坐标，记作 ),( yxa  注意：（1）每一个向量都可以用一对有序实数对来表示，向量有代数法和几何法两种表示。 （2）符号 ),( yx 有了双重的意义，既可以表示固定的点，又可以表示向量；平面向量的坐标只与始点和终 点坐标有关，只有点始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等。 （二）向量的坐标运算 1.若 ),(),,( 2211 yxbyxa   ，则 _______________ ba  . 2.若 ),(),,( 2211 yxByxA  ，则 → AB=_______________| → AB|=__________________ 3.若 Ryxa  ),,( ，则 ____________a 4.若 ),(),,( 2211 yxbyxa   ， ba  // ,则有________________. 5.三角形 ABC 的重心坐标公式为____________________________ N M O C B AA B M D G N C A 6 五、平面向量的数量积： 1.平面向量数量积的定义 ①向量 ba , 的夹角 已知两个非零向量 ba , ，过点O 作 bOBaOA   , ，则 (AOB ________),叫作向量 ba , 的夹角. 当________________时， a 与b  垂直，记作_________. 当________________时， a 与b  平行或共线.注意：理解什么是两向量的夹角？以及两向量夹角的范围。 ②向量 ba , 的数量积 已知两个非零向量 a 与 b  ，它们的夹角为 ，则把_____________叫做向量 ba , 的数量积（内积），记作 __________________. ③规定 a0 =0 ④向量数量积的几何意义 _______________________________________________________. 2.向量数量积的性质 设 ba , 是非零向量， e 是与 b  方向相同的单位向量， 是 a 与 e 的夹角，则 ① cos aeaae  ②  ba  _______________________ ③当 ba , 同向时， __________ ba  .当 ba , 反向时， __________ ba  特别地， ___________ aa  ④ ______________cos  ⑤ baba   3.向量的数量积的运算律： 注意：向量的数量积无______律，无_______律. 4.数量积的坐标运算 ①若 ),(),,( 2211 yxbyxa   ，则 _______________ ba  ②若 ),( yxa  ，则 _________22  aaaa  _________a ③若 ),(),,( 2211 yxbyxa   ，则 ba  // 的充要条件为______________ 7 ④ ),(),,( 2211 yxbyxa   ，则 ba   的充要条件为______________ ⑤求角问题：若非零向量 ),(),,( 2211 yxbyxa   ， 是 ba , 的夹角，则 _______________________________cos  注意：向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也有两种方式即基于几何表示的几何法和基于坐标表示 的代数法. 典型例题（一）向量数量积的几何运算，注意两个向量的夹角，利用平面向量的基本定理选好基底 例 1.对任意向量 ba , ，下列关系式中不恒成立的是______ A. baba   B. baba   C.   22 baba   D.    22 bababa   例 2.已知向量 cba  ,, ，满足 2,1  ba  ， acbac   ，且 ，则向量 ba 与 的夹角为______ 例 3.（11 江西）已知 2)()2(,2  bababa  ，则 ba , 的夹角为______ 例 4.（13 全国）已知两个单位向量 a ，b  的夹角为 60 ， btatc  )1(  ，若 0 cb  则 ____t 例 5.（13 江西）设 1e 、 2e 为单位向量， 1e 与 2e 的夹角为 3  ，若 121 2,3 ebeea   ，则向量 a 在b  方向 的射影为___ 例 6.已知向量 cba  ,, ，满足 0   cba ， bacba   ,)( ， ,1a若 则 _____222  cba  例 7.(14 课标全国）已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若 )(2 1 ACABAO  ，则 AB 与 AC 的夹角为_____ 例 8.（10 湖南）在直角三角形 ABC 中， ,4,90   ACC 则 → AB → AC=_____ 例 9.（15 湖北）已知向量 3,  OAABOA ，则 _____OBOA 例 10.如图，在平行四边形 ABCD 中，AP⊥BD，垂足为 P，且 AP ＝3，则 AP AC   例 11.在三角形 ABC 中， 1,2,60   ACABA ， FE, 为边 BC 的三等分点， 则 → AE → AF=_____ 8 例 12.（12 天津）已知三角形 ABC 为等边三角形， 2AB ，点 QP, 满足 → AP=  → AB， → AQ=（1- ） → AC， R ，若 → BQ  → CP= 2 3 ，则 _____ 例 13.（13 山东）已知向量 → AB与 → AC夹角 120 ， 2,3  ACAB ， → AP= → AB+ → AC，且 → AP → BC=0 则实数  的值____ 例 14.（13 天津）在平行四边形 ABCD 中，  60,1 BADAD ，E 为边CD 的中点，若 → AC → BE=1，则 AB 的长为___ 例 15.已知 ba , 夹角为 6  ， 2,3  ba  ，在三角形 ABC 中， → AB nm  22  ， → AC nm  62  ， D 为边 BC 的中点，则 ____AD 例 16. AD 与 BE 分别是 ABC 的中线，若 AD=BE=1， BE与AD 的夹角为 120 ，则 → AB → AC=_____ 例 17.(15 四川）设四边形 ABCD 为平行四边形，AB=6，AD=4，若 M，N 满足 NCDNMCBM 2,3  ， 则 _____ NMAM 例 18.（12 浙江）在三角形 ABC 中，点 M 为 BC 的中点， ,10,3  BCAM 则 → AB → AC=_____ 例 19.（09 陕西）设 M 为 ABC 边 BC 的中点， 1AM ，点 P 在 AM 上，满足 → AP=2 → PM,则 → PA（ → PB+ → PC）=_______ 例 20. 设 O 是三角形 ABC 的外心， 1,3,  ACABBCOD ，则 → AD （ → AB- → AC）=___ 例 21.在三角形 OAB 中，已知 2,4  OBOA ，点 P 是 AB 的垂直平分线 l 上任一点，则 → AB → OP=_____ 例 22.已知 O 是三角形 ABC 的外心，若 5,3  ACAB ，则 → AO → BC=_____ 例 23.若三角形 ABC 内接于 O 以为圆心，1 为半径的圆，3 → OA+4 → OB+5 → OC=0,则 → OC → AB=___ 例 24.已知非零向量 ba , ， 123 1)(,3 23  xbaxaxxfba  在 R 上有极值，则  ba , 的取值 范围为___ 例 25.（10 全国）已知圆 O 的半径为 1， PBPA, 为该圆的两条切线， BA, 为切点， 则 → PA → PB的最小值为___ 9 典型例题（二）：对于有明显的直角关系的向量问题------建立平面直角坐标系(与线性规划问题联系),向量的 几何法与代数法的转化 例 1.（13 湖北）已知点 A（—1，1），B（1,2）C（—2，—1），D（3,4），则向量 → AB在 → CD方向上的投影为_____ 例 2.（12 重庆）设 Ryx , ，向量 cbbacybxa  //,),4,2(),,1(),1,(  ，则 ______ ba  例 3.已知点  3,3A ，O 是坐标原点，点 ),( yxP 的坐标满足         0 023 03 y yx yx ，设 z 为 → OA在 → OP上的投影， 则 z 的取值范围_____ 例 4.（13 福建）在四边形 ABCD 中， → AC=（1,2）， → BD=（-4,2），则四边形的面积为_____ 例 5.（09 湖南）如图，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若 → AD= x → AB+ y → AC，则 x =____, y =_____ 例 6.已知 1OA ，  3 2,  AOBkOB ，点 C 在 AOB 内 ， → OC → OA=0,若 → OC= m2 → OA+ m → OB， 32OC ，则 ______k 例 7.（09 天津）若等边三角形的边长为 32 ，平面上一点 M ，满足 → CM= 6 1 → CB+ 3 2 → CA, 则 → MA → MB=________. 例 8.（11 天津）已知直角梯形 ABCD 中， 1,2,90,//   BCADADCBCAD ， P 是腰 DC 上的动 点，则| → PA+3 → PB|的最小值为_______ 例 9.(12 江苏)如图，在矩形 ABCD 中， 2,2  BCAB ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 → AB → AF ,2 ，则 → AE → BF=_______ 例 10. 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 点 D 是 斜 边 AB 的 中 点 ， 点 P 是 线 段 CD 的 中 点 ， 则 10 _______2 22  PC PBPA 例 11.（13 全国）已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为CD 的中点，则 → AE → BD=_______ 例 12.（13 重庆）在平面上， 212121 ,1, ABABAPOBOBABAB  ，若 2 1OP ，则 OA 的取 值范围是_________ 例 13.（12 北京）已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为 AB 边上的动点，则 → DE → CB=_______ → DE → DC的最大值为_______ 例 14.平面上三个向量 → OA、 → OB、 → OC，满足 ,1,3,1  OCOBOA → OA → OB=0 则 → CA → CB的最大值为_______ 例 15.已知三角形 ABC 中， 1,2,60   BCACC ，点 M 是 ABC 内部或边界上一动点，N 是边 BC 的中点，则 → AN → AM的最大值为______ 例 16. （ 15 福 建 ） 已 知 tACtABACAB 1,,  ， 若 点 P 是 三 角 形 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 AC AC AB ABAP 4 ，则 PCPB  的最大值为_________ 例 17.（09 全国）设是 a,b,c 单位向量，a b=0,则(a--c)  (b--c)的最小值为_____ 例 18.（13 湖南）已知 a,b 是单位向量，a b=0，若向量 c 满足|c--a--b|=1，则|c|的取值范围______ 例 19.（11 辽宁）若 a,b,c 单位向量，a b=0, (a--c)  (b--c) 0 ，则|a+b--c|的最大值为____ 例 20.（11 全国）设向量 a,b,c，满足|a|=|b|=1, a b= 2 1 ,  60, cbca ,则|c|的最大值为_______ 例 21.（14 安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 a,b 是单位向量，a b=0，若 Q 点满足 )(2 baOQ  , 曲线   20,sincos  baOPPC ，区域  RrRPQrP  ,0 ，若 C 为两段 分离的曲线，则________ A. 31  Rr B. Rr  31 C. 31  Rr D. Rr  31 典型例题（三）：注意数量积与三角形面积、余弦定理、正弦定理的联系与三角函数的联系，与均值不等式 的联系 例 1.（10 辽宁）平面上三点 BAO ,, 不共线，设 → OA a ， → OB b  ，则 ABC 的面积等于___ A. 222 )( baba   B. 222 )( baba   C. 222 )(2 1 baba   D. 222 )(2 1 baba   11 例 2.在 ABC 中， 2 3,3,2  ABCSACAB ， → AB → AC 0 ，则 ____BAC 例 3.（11 浙江）若平面向量 1,1,,    ，以向量  , 为邻边的平行四边形面积为 2 1 ，则  , 夹角  的取值范围为_________ 例 4.（14 辽宁）在 ABC 中，已知 ca  ， 2 BCBA ， 3,3 1cos  bB ①求 ca, 的值； ②求 )cos( CB  例 5.设 a ，b  为向量，若 a 与 ba  的夹角为 3  ， ba  与b  的夹角为 4  ，则 ______ b a 例 6.在三角形 ABC 中，若 1,120   ACABA ，则 BC 的最小值为________ 例 7.在三角形 ABC 中，AB=2，AC=4，若点 P 为三角形 ABC 的外心，则 ______ BCAP 例 8.设O 是 ABC 内部一点，且 → OA+ → OC=-2 → OB，则 AOB 与 AOC 的面积之比为_____ 例 9.设O 是 ABC 内部一点，且 → OA+3 → OC=-2 → OB，则 ABC 与 AOC 的面积之比为_____ 例 10.已知向量      xxa 2 3sin,2 3cos 与       2sin,2cos xxb  ， )1,1( c ，其中     2,2 x ⑴求证： )()( baba   ⑵设函数 )3)(3()( 22  cbcaxf  ，求 )(xf 的最大值和最小值 例 11.（09 上海）已知 ABC 的角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，设向量 ),( bam  ， )sin,(sin ABn  ， )2,2(  abp ⑴若 nm  // ，求证： ABC 为等腰三角形 ⑵若 pm   ， 3,2  Cc ，求 ABC 的面积