高考数学考点归纳之 二项式定理 11页

高考数学考点归纳之 二项式定理 一、基础知识 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)❶； (2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第 k＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C0n，C1n，…，Cnn ❷. 2.二项式系数的性质 (1)项数为 n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列， 从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. 二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项 的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有 关.如(a＋bx)n 的二项展开式中，第 k＋1 项的二项式系数是 Ckn，而该项的系数是 Cknan－kbk.当 然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的. 考点一 二项展开式中特定项或系数问题 考法(一) 求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 [例 1] (1)(2018·全国卷Ⅲ) x2＋2 x 5 的展开式中 x4 的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 (2)(2019·合肥调研)若(2x－a)5 的二项展开式中 x3 的系数为 720，则 a＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知 x－ a x 5 的展开式中 x5 的系数为 A，x2 的系数为 B，若 A＋B＝ 11，则 a＝________. [解析] (1) x2＋2 x 5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r· 2 x r＝Cr5·2r·x10－3r，令 10－3r ＝4，得 r＝2.故展开式中 x4 的系数为 C25·22＝40. (2)(2x－a)5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝(－1)r·Cr5·(2x)5－r·ar＝(－1)r·Cr5·25－r·ar·x5－r，令 5 －r＝3，解得 r＝2，由(－1)2·C25·25－2·a2＝720，解得 a＝±3. (3) x－ a x 5 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5x5－r· － a x r＝Cr5(－a)rx5－3 2r.由 5－3 2r＝5， 得 r＝0，由 5－3 2r＝2，得 r＝2，所以 A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，则由 1＋10a2 ＝11，解得 a＝±1. [答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法] 求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤 第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr，常把字母和系数 分离开来(注意符号不要出错)； 第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列 出相应方程(组)或不等式(组)，解出 r； 第三步，把 r 代入通项公式中，即可求出 Tr＋1，有时还需要先求 n，再求 r，才能求出 Tr＋1 或者其他量. 考法(二) 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 [例 2] (1)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3 D.4 (2)(2019·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，则正实数 a＝ ________. [解析] (1)法一：(1－ x)6 的展开式的通项为 Cm6 ·(－ x)m＝Cm6 (－1)mxm 2 ，(1＋ x)4 的展 开式的通项为 Cn4·( x)n＝Cn4xn 2 ，其中 m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4. 令m 2 ＋n 2 ＝1，得 m＋n＝2， 于是(1－ x)6(1＋ x)4的展开式中 x 的系数等于 C06·(－1)0·C24＋C16·(－1)1·C14＋C26·(－1)2·C04 ＝－3. 法二：(1－ x)6(1＋ x)4＝[(1－ x)(1＋ x)]4(1－ x)2＝(1－x)4(1－2 x＋x).于是(1－ x)6(1 ＋ x)4 的展开式中 x 的系数为 C04·1＋C14·(－1)1·1＝－3. (2)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 C46a2，含 x 项的系数为 C56a，由(x－1)(ax＋1)6 的展开式中含 x2 项的系数为 0，可得－C46a2＋C56a＝0，因为 a 为正实数，所以 15a＝6，所以 a＝2 5. [答案] (1)B (2)2 5 [解题技法] 求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a＋b)m 与(c＋d)n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m 与(c＋d)n 的展开式中的哪些项相 乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 [例 3] (1)(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 (2)将 x＋4 x －4 3 展开后，常数项是________. [解析] (1)(x2＋x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－r·yr，令 r＝2，则 T3＝C25(x2 ＋x)3y2，又(x2＋x)3 的展开式的通项为 Tk＋1＝Ck3(x2)3－k·xk＝Ck3x6－k，令 6－k＝5，则 k＝1，所 以(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 C25C13＝30. (2) x＋4 x －4 3＝ x－ 2 x 6 展开式的通项是 Ck6( x)6－k· － 2 x k＝(－2)k·Ck6x3－k. 令 3－k＝0，得 k＝3. 所以常数项是 C36(－2)3＝－160. [解析] (1)C (2)－160 [解题技法] 求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和 a＋b＋c 看成是(a＋b)与 c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a＋b)＋c]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a＋b)n－r 的展开式中的哪些项和 cr 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. [题组训练] 1.(2018·洛阳第一次统考)若 a＝∫π0 sin xdx，则二项式 a x－1 x 6 的展开式中的常数项为 ( ) A.－15 B.15 C.－240 D.240 解析：选 D 由 a＝∫π0 sin xdx＝(－cos x)|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得 2 x－1 x 6 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6(2 x)6－r －1 x r＝(－1)rCr6·26－r·x3－3 2r，令 3－3 2r＝0， 得 r＝2，故常数项为 C26·24＝240. 2.(2019·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6 的展开式中，x5 的系数是________.(用数字作答) 解析：二项展开式中，含 x5 的项是 C562x5－x3C2624x2＝－228x5，所以 x5 的系数是－228. 答案：－228 3. x 2 ＋1 x ＋ 2 5(x＞0)的展开式中的常数项为________. 解析： x 2 ＋1 x ＋ 2 5(x＞0)可化为 x 2 ＋ 1 x 10，因而 Tr＋1＝Cr10 1 2 10－r( x)10－2r，令 10－ 2r＝0，得 r＝5，故展开式中的常数项为 C510· 1 2 5＝63 2 2 . 答案：63 2 2 考点二 二项式系数的性质及各项系数和 [典例精析] (1)若 x＋ 1 3 x n 的展开式中各项系数之和大于 8，但小于 32，则展开式中系数最大的项 是( ) A.63 x B. 4 x C.4x6 x D. 4 x 或 4x6 x (2)若 x2－1 x n 的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 a1＋a2＋…＋an 的值为________. (3)若(a＋x)(1＋x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝________. [解析] (1)令 x＝1，可得 x＋ 1 3 x n 的展开式中各项系数之和为 2n，即 8＜2n＜32，解 得 n＝4，故第 3 项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是 C24( x)2 1 3 x 2＝63 x. (2) x2－1 x n 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Crn(x2)n－r· －1 x r＝Crn(－1)rx2n－3r， 因为含 x 的项为第 6 项，所以 r＝5,2n－3r＝1，解得 n＝8， 在(1－3x)n 中，令 x＝1，得 a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28， 又 a0＝1，所以 a1＋…＋a8＝28－1＝255. (3)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令 x＝1，得 16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，② ①－②，得 16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)， 即展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以 8(a＋1)＝32，解 得 a＝3. [答案] (1)A (2)255 (3)3 [解题技法] 1.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值都成立.因此，可将 x，y 设定为一 些特殊的值.在使用赋值法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1 或 0”， 有时也取其他值.如： (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只 需令 x＝1 即可. (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中 (1)各项系数之和为 f(1). (2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－1 2 . (3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－1 2 . [题组训练] 1.(2019·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5| ＝( ) A.1 B.243 C.121 D.122 解析：选 B 令 x＝1，得 a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令 x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② ①＋②，得 2(a4＋a2＋a0)＝－242， 即 a4＋a2＋a0＝－121. ①－②，得 2(a5＋a3＋a1)＝244， 即 a5＋a3＋a1＝122. 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243. 2.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3 ＋…＋a9)2＝39，则实数 m 的值为________. 解析：令 x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令 x＝－2，则 m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39， ∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3 或 m＝1. 答案：－3 或 1 3.已知(1＋3x)n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于 121，则展开式中二项式系 数最大的项为________. 解析：由已知得 Cn－2n ＋Cn－1n ＋Cnn＝121，则 1 2n·(n－1)＋n＋1＝121，即 n2＋n－240＝0， 解得 n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为 T8＝C715(3x)7 和 T9＝C815(3x)8. 答案：C715(3x)7 和 C815(3x)8 考点三 二项展开式的应用 [典例精析] 设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 018＋a 能被 13 整除，则 a＝( ) A.0 B.1 C.11 D.12 [解析] 由于 51＝52－1， 512 018＝(52－1)2 018＝C02 018522 018－C12 018522 017＋…－C2 0172 018521＋1， 又 13 整除 52， 所以只需 13 整除 1＋a， 又 0≤a＜13，a∈Z， 所以 a＝12. [答案] D [解题技法] 利用二项式定理解决整除问题的思路 (1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能 被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开. (2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点： ①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数 b∈[0，r)，r 是除数，若利用二项式定理展开变形 后，切记余数不能为负； ②二项式定理的逆用. [题组训练] 1.使得多项式 81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1 能被 5 整除的最小自然数 x 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选 C ∵81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1＝(3x＋1)4，∴上式能被 5 整除的最小自然 数为 3. 2.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C 1010除以88 的余数为________. 解析：∵1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90kCk10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1， ∵前 10 项均能被 88 整除，∴余数为 1. 答案：1 [课时跟踪检测] A 级 1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟) 2 x2 －x4 3 的展开式中的常数项为( ) A.－3 2 B.3 2 C.6 D.－6 解析：选 D 通项 Tr＋1＝Cr3 2 x2 3－r·(－x4)r＝Cr3( 2)3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即 r ＝1 时为常数项，T2＝－6，故选 D. 2.设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4 a1＋a3 的值为( ) A.－61 60 B.－122 121 C.－3 4 D.－ 90 121 解析：选 C 由二项式定理，得 a1＝－C1524＝－80，a2＝C2523＝80，a3＝－C3522＝－40， a4＝C452＝10，所以a2＋a4 a1＋a3 ＝－3 4. 3.若二项式 x2＋a x 7 的展开式的各项系数之和为－1，则含 x2 项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280 D.－280 解析：选 A 取 x＝1，得二项式 x2＋a x 7 的展开式的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7 ＝－1,1＋a＝－1，a＝－2.二项式 x2－2 x 7 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr7·(x2)7－r· －2 x r＝Cr7·(－ 2)r·x14－3r.令 14－3r＝2，得 r＝4.因此，二项式 x2－2 x 7 的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4 ＝560. 4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x)n 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等， 则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.212 解析：选 A 由题意得 C4n＝C6n，由组合数性质得 n＝10，则奇数项的二项式系数和为 2n－1＝29. 5.二项式 1 x －2x2 9 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672 D.673 解析：选 B 令 x＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式 为 Tr＋1＝Cr9 1 x 9－r·(－2x2)r＝Cr9(－2)r·x3r－9，令 3r－9＝0，得 r＝3，所以该二项展开式中的常 数项为 C39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671. 6.(2018·石家庄二模)在(1－x)5(2x＋1)的展开式中，含 x4 项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25 D.25 解析：选 B 由题意含 x4 项的系数为－2C35＋C45＝－15. 7.(2018·枣庄二模)若(x2－a) x＋1 x 10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于( ) A.1 3 B.1 2 C.1 D.2 解析：选 D x＋1 x 10 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr10·x10－r· 1 x r＝Cr10·x10－2r，令 10－2r ＝4，解得 r＝3，所以 x4 项的系数为 C310.令 10－2r＝6，解得 r＝2，所以 x6 项的系数为 C210. 所以(x2－a) x＋1 x 10 的展开式中 x6 的系数为 C310－aC210＝30，解得 a＝2. 8.若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且 a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数 m 的值为( ) A.1 或 3 B.－3 C.1 D.1 或－3 解析：选 D 令 x＝0，得 a0＝(1＋0)6＝1.令 x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.∵a1 ＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1 或 m＝－3. 9.(2019·唐山模拟)(2x－1)6 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字 作答) 解析：(2x－1)6 的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是 C3623(－1)3＝－160. 答案：－160 10.(2019·贵阳模拟) x＋a x 9 的展开式中 x3 的系数为－84，则展开式的各项系数之和为 ________. 解析：二项展开式的通项 Tr＋1＝Cr9x9－r a x r＝arCr9x9－2r，令 9－2r＝3，得 r＝3，所以 a3C39 ＝－84，解得 a＝－1，所以二项式为 x－1 x 9，令 x＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项 系数之和为 0. 答案：0 11. x＋1 x ＋1 5 展开式中的常数项为________. 解析： x＋1 x ＋1 5 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr5· x＋1 x 5－r.令 r＝5，得常数项为 C55＝1， 令 r＝3，得常数项为 C35·2＝20，令 r＝1，得常数项为 C15·C24＝30，所以展开式中的常数项为 1＋20＋30＝51. 答案：51 12.已知 x＋ 1 24 x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求 n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项. 解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为 C0n，1 2C1n，1 4C2n， 由已知得 2×1 2C1n＝C0n＋1 4C2n，解得 n＝8(n＝1 舍去). (2) x＋ 1 24 x 8 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr8( x)8－r· 1 24 x r＝2－rCr8x4－3r 4 (r＝0,1，…，8)， 要求有理项，则 4－3r 4 必为整数，即 r＝0,4,8，共 3 项，这 3 项分别是 T1＝x4，T5＝35 8 x， T9＝ 1 256x2. (3)设第 r＋1 项的系数 ar＋1 最大，则 ar＋1＝2－rCr8， 则ar＋1 ar ＝ 2－rCr8 2－r－1Cr－18 ＝9－r 2r ≥1， ar＋1 ar＋2 ＝ 2－rCr8 2－r＋1Cr＋18 ＝2r＋1 8－r ≥1， 解得 2≤r≤3. 当 r＝2 时，a3＝2－2C28＝7，当 r＝3 时，a4＝2－3C38＝7， 因此，第 3 项和第 4 项的系数最大， B 级 1.在二项式 x－1 x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有 x2 项的 系数是( ) A.35 B.－35 C.－56 D.56 解析：选 C 由于第五项的二项式系数最大，所以 n＝8.所以二项式 x－1 x 8 展开式的通 项公式为 Tr＋1＝Cr8x8－r(－x－1)r＝(－1)rCr8x8－2r，令 8－2r＝2，得 r＝3，故展开式中含有 x2 项 的系数是(－1)3C38＝－56. 2.已知 C0n－4C1n＋42C2n－43C3n＋…＋(－1)n4nCnn＝729，则 C1n＋C2n＋…＋C nn的值等于( ) A.64 B.32 C.63 D.31 解析：选 C 因为 C0n－4C1n＋42C2n－43C3n＋…＋(－1)n4nCnn＝729，所以(1－4)n＝36，所以 n＝6，因此 C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n－1＝26－1＝63. 3.(2019·济南模拟) x－a x 2x－1 x 5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中含 x4 项 的系数为________. 解析：令 x＝1，可得 x－a x 2x－1 x 5 的展开式中各项系数的和为 1－a＝2，得 a＝－1， 则 x＋1 x 2x－1 x 5 展开式中含 x4 项的系数即是 2x－1 x 5 展开式中的含 x3 项与含 x5 项系数的 和.又 2x－1 x 5 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(－1)r·25－r·x5－2r，令 5－2r＝3，得 r＝1，令 5－2r＝5， 得 r＝0，将 r＝1 与 r＝0 分别代入通项，可得含 x3 项与含 x5 项的系数分别为－80 与 32，故 原展开式中含 x4 项的系数为－80＋32＝－48. 答案：－48 4.设复数 x＝ 2i 1－i(i 是虚数单位)，则 C12 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…＋C2 0192 019x2 019＝( ) A.i B.－i C.－1＋i D.－i－1 解析：选 D 因为 x＝ 2i 1－i ＝ 2i1＋i 1－i1＋i ＝－1＋i，所以 C12 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…＋ C2 0192 019x2 019＝(1＋x)2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i2 019－1＝－i－1. 5.已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6 ＋8a8)2 的值为( ) A.39 B.310 C.311 D.312 解析：选 D 对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9 两边同时求导，得 9(x＋2)8＝a1＋2a2x ＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令 x＝1，得 a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令 x＝－1，得 a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝ (a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312. 6.设 a＝错误!2xdx，则二项式 ax2－1 x 6 展开式中的常数项为________. 解析：a＝错误! 2xdx＝x2| 1 0 ＝1，则二项式 ax2－1 x 6＝ x2－1 x 6，其展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr6(x2)6－r· －1 x r＝(－1)rCr6x12－3r，令 12－ 3r＝0，解得 r＝4.所以常数项为(－1)4C46＝15. 答案：15