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- 2021-05-14 发布
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2012年黄冈中学高考数学压轴题精选1
1.设函数,
,其中,记函数的最大值与最小值的差为。
(I)求函数的解析式;
(II)画出函数的图象并指出的最小值。
2.已知函数,数列满足,
; 数列满足, .求证:
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)若则当n≥2时,.
3.已知定义在R上的函数f(x) 同时满足:
(1)(R,a为常数);
(2);
(3)当时,≤2
求:(Ⅰ)函数的解析式;(Ⅱ)常数a的取值范围.
4.设上的两点,
满足,椭圆的离心率短轴长为2,0为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;
(3)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
5.已知数列中各项为:
个
个
12、1122、111222、……、 ……
(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
(2)求这个数列前n项之和Sn .
解答
1.解:(I)
(1)当时,函数是增函数,此时,,
,所以;——2分
(2)当时,函数是减函数,此时,,
,所以;————4分
(3)当时,若,则,有;
若,则,有;
因此,,————6分
而,
故当时,,有;
当时,,有;————8分
综上所述:。————10分
(II)画出的图象,如右图。————12分
数形结合,可得。————14分
2.解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.
(1)当n=1时,由已知得结论成立;
(2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,
因为0g(0)=0.
因为,所以,即>0,从而————10分
(Ⅲ) 因为 ,所以, ,
所以 ————① , ————12分
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因为, n≥2,
所以 <<=————② . ————14分
由①② 两式可知: .————16分
3.(Ⅰ)在中,分别令;
;得
由①+②-③,
得
=∴
(Ⅱ)当时,Î.
(1)∵≤2,当a<1时,≤≤≤2.
即≤≤. ≤≤.
(2)∵≤2,当a≥1时,- 2≤≤≤1.即1≤a≤.
故满足条件的取值范围[-,].
4.(1)
椭圆的方程为 (2分)
(2)设AB的方程为
由
(4分)
由已知
2 (7分)
(3)当A为顶点时,B必为顶点.S△AOB=1 (8分)
当A,B不为顶点时,设AB的方程为y=kx+b
(11分)
所以三角形的面积为定值.(12分)
5(1) ……………………………… (2分 )
…………………………………(4分)
个
记:A = , 则A=为整数
= A (A+1) , 得证 ………………………………………………………( 6分) (2) ………………………………………………… (8分)
……………………………………………(