数学江苏高考热点题型聚焦立体几何 4页

立体几何 ‎1．如图．在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥，且平面，． ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，当为何值时，∥平面；‎ ‎（3）求点到平面的距离；‎ ‎（4）（备选）在（2）的前提下，若点在同一球面上，求此球面的面积。‎ A B C P C1‎ B1‎ A1‎ D1‎ D ‎【启发谈话与引导分析】‎ 第1问：要证线面垂直，只需证线线垂直。据，可得；‎ ‎，可得，从而得证。‎ 第2问：若∥平面，据线面平行的性质定理可得∥，知，则即可。‎ 第3问：欲求点到平面的距离，直接由点作平面的垂线，需补形，不易作出，考虑用等积法完成，十分简洁。‎ 第4问：在条件及（2）的前提下，可知两两垂直，引导学生分析：点所在的球面就是以为相邻三条棱的长方体的外接球面，从而可求此球面的直径，可求出球面的面积。‎ ‎【解题过程】‎ 证明：（1）因为是一个长方体，所以，而 平面，所以平面，则。‎ 因为，所以为等腰直角三角形，则。‎ 因为垂直于平面内的两条相交直线和，则。‎ ‎（2）当时，四边形是一个正方形，所以，因，‎ 又和在同一个平面内，所以∥，因平面，平面，则∥平面。‎ ‎（3）过点作交于，因为面面，面面，所以平面，可求得。连结，设点到平面 的距离为，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ 则，因为可求得，所以，，则，，则点到平面的距离为。‎ ‎（4）因为平面，在平面内，，由（2）知，即，可知两两垂直，点所在的球面就是以为相邻三条棱的长方体的外接球面，因为，，从而此球面的直径，所以球面的半径，则所求球面的面积为。‎ ‎2．在长方体中，分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为.‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求的长；‎ ‎（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.‎ A1‎ D D1‎ C1‎ A C B E F ‎【启发谈话与引导分析】‎ 第1问：要证线面平行，只需证线线平行，常见思路：构造三角形、平行四边形。连结，可证，则。‎ 第2问：条件是“几何体的体积为”，怎样求几何体的体积呢？通过补形.‎ 第3问：（1）探求性的问题，如何处理？分析——下结论——证明。‎ ‎ （2）若在线段上存在点，使与垂直。由三点确定的平面交于。由于与垂直，只要与垂直即可。‎ ‎ （3）在直角梯形中可求线段的长。‎ ‎【解题过程】‎ 解：（1）在长方体中，可知，则四边形是平行四边形，所以。因为分别是的中点，所以，则，又面，面，则//平面。‎ ‎（2）‎ ‎. ‎ ‎（3）在平面中作交于，过作交于点，则. ‎ 因为，而，‎ 又，‎ 且. ‎ ‎∽.‎ 为直角梯形，且高.‎ B A D P C ‎3．如图，在四棱锥中，平面，，，，。‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段（不包括端点）上能否找到一点，使平面；‎ ‎（3）求点到平面的距离；‎ ‎（4）求四棱锥的外接球的表面积。‎ ‎【启发谈话与引导分析】‎ 第1问：平面可得到哪些结论？欲证 ‎，可从两个角度入手：‎ 方案一：计算△的三边长，用勾股定理判定。怎么求？‎ 方案二：先证线面垂直。平面吗？‎ 第2问：从形上直观感觉不存在，可考虑用反证法说明理由。若平面，又 平面，则平面平面，与题设矛盾。‎ 第3问：方案一：直接作出垂线段。点到平面的距离与中点到平面的距离有什么关系？到平面的距离与到平面的距离相等吗？如何作出到平面的垂线段？‎ 方案二：类比平面几何中利用三角形等积法求高，立体几何中利用三棱锥等积法求高。吗？△面积如何求？‎ 第4问：外接球的球心到四个顶点的距离相等，利用△与△均为直角三角形，分析出球心是线段的中点。‎ ‎【解题过程】‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以。‎ 由，得。又,平面, ‎ 所以平面。因为平面，故。‎ ‎（2）假设平面 因为，平面，平面，所以平面。‎ 又平面，所以平面平面。‎ 这与平面平面于点矛盾，所以在线段（不包括端点）上不能找到点满足题意。‎ ‎（3）设点到平面的距离为。‎ 三棱锥的体积为。‎ ‎△的面积为。‎ 由，得，故点到平面的距离为。‎ ‎（4）因为△与△均为直角三角形,故球心是线段的中点，半径。‎ 所以。‎