2011高考数学压轴题集锦1 15页

‎2011高考数学压轴题集锦 ‎1.已知数列满足，，且，‎ ‎（n=1,2,3,）.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前n项的和为，求证：<3.‎ 解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得 ‎ 当n为奇数时，不妨设n=2m1，，则， 为等差数列，‎ ‎=1+2(m1)=2m1, 即。 ‎ 当n为偶数时，设n=2m，，则， 为等比数列，‎ ‎，故，‎ 综上所述， （2）‎ ‎ ‎ 两式相减：‎ ‎ ‎ ‎，故 ‎ ‎2.已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段的长为，P是的中点．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．‎ 解：（1）设，，． ‎ ‎∵P是线段的中点，∴ ‎ ‎∵分别是直线和上的点，∴和．‎ ‎∴ ‎ 又，‎ ‎∴． ∴，∴动点的轨迹的方程为． 、‎ ‎（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．‎ 设、、，‎ 则两点坐标满足方程组 消去并整理，得， ‎ ‎∴， ① ． ② ‎ ‎∵，∴‎ 即∴．∵与轴不垂直，∴，‎ ‎∴，同理． ∴．‎ 将①②代入上式可得． ‎ ‎3.已知函数。‎ ‎（1）求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（2）若 ‎（3）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 解：（Ⅰ）由题意知 当 当 当 ‎（Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0