高考数学专题数列超经典 14页

高考复习序列-----‎ 高中数学 数列 一、数列的通项公式与前n项的和的关系 ‎① （注：该公式对任意数列都适用）‎ ‎② （注：该公式对任意数列都适用）‎ ‎③ （注：该公式对任意数列都适用）‎ ④sn+1‎‎-sn-1‎=an+1‎+‎an （注：该公式对任意数列都适用）‎ 二、等差与等比数列的基本知识 ‎1、等差数列 ⑴ ‎ 通项公式与公差：‎ 定义式：‎ 一般式：‎ 推广形式： ；‎ ‎； ‎ ⑵ 前项和与通项的关系： ‎ 前n项和公式：.‎ 前n项和公式的一般式： ‎ 应用：若已知，即可判断为某个等差数列的前n项和，并可求出首项及公差的值。‎ 与的关系：（注：该公式对任意数列都适用）‎ 例：等差数列， （直接利用通项公式作差求解）‎ ‎⑶ 常用性质：‎ ‎①若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；‎ ‎②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；‎ ‎③为公差为d等差数列，为其前n项和，则，，．．．也成等差数列,‎ A、 构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；‎ B、 对于任意已知Sm，Sn，等差数列 公差，即也构成一个公差为等差数列。‎ ⑥若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ；‎ ⑦若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。 ‎ 例：已知等差数列，其中 ‎ 解析：法一，用等差数列求和公式 求出 法二，，成等差数列，设公差为D，则：‎ 法三, ‎ ‎63. 等比数列的通项公式：‎ ‎⑴ ①一般形式：；‎ ‎②推广形式：，‎ ‎③其前n项的和公式为：，或.‎ ‎⑵数列为等比数列 ‎⑶ 常用性质：‎ ① 若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等比中项，则有 n、m、p成等比数列;‎ ② 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列；‎ ‎③为等比数列，为其前n项和，则，，．．．也成等比数列（仅当当或者且不是偶数时候成立）；‎ 设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．‎ ④ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.‎ ⑤ 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.‎ 判断或证明一个数列是等差数列的方法：‎ ①定义法：‎ 是等差数列 ②中项法：‎ 是等差数列 ③一般通项公式法：‎ 是等差数列 ④一般前项和公式法：‎ 是等差数列 判断或证明一个数列是等差数列的方法：‎ ‎（1）定义法：为等比数列；‎ ‎（2）中项法：为等比数列； ‎ ‎（3）通项公式法：为等比数列； ‎ ‎（4）前项和法：为等比数列。 ‎ 为等比数列。‎ 数列最值的求解 ‎（1），时，有最大值；，时，有最小值；‎ ‎（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；‎ 可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：‎ 若已知，则最值时的值（）可如下确定或。‎ ‎ 例1：等差数列中，，则前 项的和最大。‎ ‎【解析】：‎ 例2．设等差数列的前项和为，已知 ‎ ‎ ①求出公差的范围，‎ ‎ ②指出中哪一个值最大，并说明理由。‎ ‎【解析】：‎ ① ‎ ② 由，可知，n=12是前n项和正负分界项，‎ 故所以，最大 变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d的取值范围是 ‎ 解析：，但要注意此时还要一个隐含条件，联立不等式组求解。‎ ‎3、若数列的前n项和，则 ，数值最小项是第 项。‎ ‎【解析】：法一（导数法）：‎ 根据等差数列前n项和的标准形式，可知该数列为等差数列，‎ 令,取得最小值，‎ 其中，可见当n=3时取得最小。‎ 法二（列举法）：对于可用列举法，分别求出n=1、2…时的的值，再进行比较发现。‎ ‎4、已知数列， ‎ ‎【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令 法二（列举法）：实在没招时使用该法。‎ ‎5、 已知等差数列的前n项和 。‎ ‎【解析】：‎ ‎6、‎ 数列通项公式的求法：‎ 类型1：等差数列型 思路：把原递推式转化为，再使用累加法（逐差相加法）求解。‎ 例，已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以数列的通项公式为 变式： 已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解： 两边除以，得，则，此时，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为 评注：本题前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。‎ 类型2：等比数列型 把原递推式转化为，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。‎ 例 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。‎ 解：因为 ①‎ 所以 ②‎ 用②式－①式得则；故 所以 ③‎ 由，，则，又知，则 ‎，代入③得。所以，的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。‎ 类型4：待定系数法处理 或型数列 把原递推式转化为转化思路：‎ 例，数列 解：令，所以即是公比为2的等比数列， =（），或令，是公比为2的等比数列，所以，‎ 变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 思路：等式两边同时除于；原递推式变成令，‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，最后再求出数列的通项公式。‎ 变式2：已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为 变式3：已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为 变式4：已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 思路：：换元，则，再代入原递推式，再转化为 类型5 已知递推式 求 这种类型一般利用导出，消去，得到与的递推式，再利用前面的方法求解出（知识迁移：）‎ 例，已知数列前n项和，求：（1），（2）通项。‎ 解：（1）‎ ‎（2）由上式：，‎ 令，即有，而，，‎ 所以，2，公差为2,的等差数列，‎ 类型6：求 用作商法：‎ 数列求和的常用方法 然数和公式：‎ ① ‎；‎ ② ‎；‎ ③ 一、利用等差等比数列的求和公式求和 ‎ 1、 等差数列求和公式： ‎ ‎2、等比数列求和公式：‎ ‎[例1] 已知，求的前n项和.‎ 解：由，由等比数列求和公式得 ＝＝＝1－（利用等比数列求和公式） ‎ ‎[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.‎ 解：由等差数列求和公式得 ， ‎ ‎ ∴ ＝＝＝‎ ‎ ∴ 当 ，即n＝8时，‎ 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.‎ ‎[例3] 求和：………………………①‎ 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积 设………………………. ② ‎ ‎①－②得 （错位相减）‎ 再利用等比数列的求和公式得：‎ ‎ ∴ ‎ ‎[例4] 求数列前n项的和.‎ 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①‎ ‎………………………………② ‎ ① ‎-② ‎ ‎ ∴ ‎ 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.‎ ‎ [例5] 求的值 解：设…………. ①‎ 将①式右边反序得 ‎…………..② ‎ 又因为 ，①+②得 ‎ ‎＝89 ‎ ‎∴ S＝44.5‎ 题1 已知函数 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的值.‎ 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 ‎（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，‎ 两式相加得：‎ ‎ 所以.‎ 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.‎ ‎[例5] 求数列的前n项和：，…‎ 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎ ‎ 当a＝1时，＝ ‎ ‎ 时，＝‎ 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） ‎ ‎（4）‎ ⑸ ‎ ‎[例6] 求数列的前n项和.‎ 解：设 ‎ 则 ‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎[例7] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.‎ 解： 　 ∵ ‎ ‎ 　 ∴ ‎ ‎∴ 数列{bn}的前n项和 ‎ ‎ ‎ ＝ ＝ ‎ 六、分段求和法（合并法求和）‎ 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.‎ ‎ [例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.‎ 解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°‎ ‎∵ ‎ ‎∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···‎ ‎+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0‎ ‎ [例9] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.‎ 解：设 由等比数列的性质 （找特殊性质项）‎ 和对数的运算性质 得 ‎ （合并求和）‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝10‎