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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学(理)(数学归纳法)一轮复习学案

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学案39 数学归纳法 导学目标: 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ 自主梳理 ‎1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出________的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法.‎ ‎2.数学归纳法 设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题________(或________)成立;(2)在假设______成立的前提下,推出________也成立,那么可以断定{Pn}对一切正整数成立.‎ ‎3.数学归纳法证题的步骤 ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值__________时命题成立.‎ ‎(2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立,证明当________时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.‎ 自我检测 ‎1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+…+an+1= (a≠1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为(  )‎ A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3‎ ‎2.如果命题P(n)对于n=k (k∈N*)时成立,则它对n=k+2也成立,又若P(n)对于n=2时成立,则下列结论正确的是(  )‎ A.P(n)对所有正整数n成立 B.P(n)对所有正偶数n成立 C.P(n)对所有正奇数n成立 D.P(n)对所有大于1的正整数n成立 ‎3.(2011·台州月考)证明<1++++…+1),当n=2时,中间式子等于(  )‎ A.1 B.1+ C.1++ D.1+++ ‎4.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n>n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(  )‎ A.2 B.‎3 ‎ C.5 D.6‎ ‎5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3 (n∈N*)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(  )‎ A.(k+3)3 B.(k+2)3‎ C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3‎ 探究点一 用数学归纳法证明等式 例1 对于n∈N*,用数学归纳法证明:‎ ‎1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).‎ 变式迁移1 (2011·金华月考)用数学归纳法证明:‎ 对任意的n∈N*,1-+-+…+-=++…+.‎ 探究点二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式…>均成立.‎ 变式迁移2 已知m为正整数,用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx.‎ 探究点三 用数学归纳法证明整除问题 例3 用数学归纳法证明:当n∈N*时,an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除.‎ 变式迁移3 用数学归纳法证明:当n为正整数时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.‎ 从特殊到一般的思想 例 (14分)已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.‎ ‎【答题模板】‎ 解 (1)由已知得,又∵{an}的公差大于0,‎ ‎∴a5>a2,∴a2=3,a5=9.∴d===2,a1=1,‎ ‎∴an=1+(n-1)×2=2n-1.[2分]‎ ‎∵Tn=1-bn,∴b1=,当n≥2时,Tn-1=1-bn-1,‎ ‎∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-,‎ 化简,得bn=bn-1,[4分]‎ ‎∴{bn}是首项为,公比为的等比数列,‎ 即bn=·n-1=,‎ ‎∴an=2n-1,bn=.[6分]‎ ‎(2)∵Sn=n=n2,∴Sn+1=(n+1)2,=.‎ 以下比较与Sn+1的大小:‎ 当n=1时,=,S2=4,∴S5.‎ 猜想:n≥4时,>Sn+1.[9分]‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=4时,已证.‎ ‎②假设当n=k (k∈N*,k≥4)时,>Sk+1,即>(k+1)2.[10分]‎ 那么,n=k+1时,==3·>3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2=S(k+1)+1,∴n=k+1时,>Sn+1也成立.[12分]‎ 由①②可知n∈N*,n≥4时,>Sn+1都成立.‎ 综上所述,当n=1,2,3时,Sn+1.[14分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ ‎1.归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一,此类问题可分为归纳性问题和存在性问题,本例中归纳性问题需要从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳、猜想,探索出一般规律.‎ ‎2.数列是定义在N*上的函数,这与数学归纳法运用的范围是一致的,并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的,数列中有不少问题常用数学归纳法解决.‎ ‎【易错点剖析】‎ ‎1.严格按照数学归纳法的三个步骤书写,特别是对初始值的验证不可省略,有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证;初始值的验证是归纳假设的基础.‎ ‎2.在进行n=k+1命题证明时,一定要用n=k时的命题,没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法.‎ ‎1.数学归纳法:先证明当n取第一个值n0时命题成立,然后假设当n=k (k∈N*,k≥n0)时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立,那么就证明了这个命题成立.这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时,命题成立,这样假设就有了存在的基础,至少k=n0时命题成立,由假设合理推证出n=k+1时命题也成立,这实质上是证明了一种循环,如验证了n0=1成立,又证明了n=k+1也成立,这就一定有n=2成立,n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立,如此反复以至无穷,对所有n≥n0的整数就都成立了.‎ ‎2.(1)第①步验证n=n0使命题成立时n0不一定是1,是使命题成立的最小正整数.‎ ‎(2)第②步证明n=k+1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推,否则就不是数学归纳法. ‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是(  )‎ A.假设n=k(k∈N*)时命题成立,证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1 (k∈N*)时命题成立,证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数)时命题成立,证明n=k+2命题成立 ‎2.已知f(n)=+++…+,则(  )‎ A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+ B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=++ C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=+ D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=++ ‎3.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+1也成立,现已知P(n)对n=4不成立,则下列结论正确的是(  )‎ A.P(n)对n∈N*成立 B.P(n)对n>4且n∈N*成立 C.P(n)对n<4且n∈N*成立 D.P(n)对n≤4且n∈N*不成立 ‎4.(2011·日照模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上(  )‎ A.k2+1‎ B.(k+1)2‎ C. D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2‎ ‎5.(2011·湛江月考)已知f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若f(k)≥k2成立,则f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命题成立的是(  )‎ A.若f(3)≥9成立,且对于任意的k≥1,均有f(k)≥k2成立 B.若f(4)≥16成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是______________.‎ ‎8.凸n边形有f(n)条对角线,凸n+1边形有f(n+1)条对角线,则f(n+1)=f(n)+________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)用数学归纳法证明1+≤1+++…+≤+n (n∈N*).‎ ‎10.(12分)(2011·新乡月考)数列{an}满足an>0,Sn=(an+),求S1,S2,猜想Sn,并用数学归纳法证明.‎ ‎11.(14分)(2011·郑州月考)已知函数f(x)=e-(其中e为自然对数的底数).‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性;‎ ‎(2)在(-∞,0)上求函数f(x)的极值;‎ ‎(3)用数学归纳法证明:当x>0时,对任意正整数n都有f()52+1,∴n0=5.]‎ ‎5.A [假设当n=k时,原式能被9整除,‎ 即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.‎ 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.]‎ 课堂活动区 例1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于弄清等式两边的构成规律:等式的两边各有多少项,由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.‎ 证明 设f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.‎ ‎(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;‎ ‎(2)假设当n=k (k≥1且k∈N*)时等式成立,‎ 即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1‎ ‎=k(k+1)(k+2),‎ 则当n=k+1时,‎ f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…+[(k+1)-1]·2+(k+1)·1‎ ‎=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)‎ ‎=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)‎ ‎=(k+1)(k+2)(k+3).‎ 由(1)(2)可知当n∈N*时等式都成立.‎ 变式迁移1 证明 (1)当n=1时,‎ 左边=1-===右边,‎ ‎∴等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k (k≥1,k∈N*)时,等式成立,即 ‎1-+-+…+- ‎=++…+.‎ 则当n=k+1时,‎ ‎1-+-+…+-+- ‎=++…++- ‎=++…+++ ‎=++…+++,‎ 即当n=k+1时,等式也成立,‎ 所以由(1)(2)知对任意的n∈N*等式都成立.‎ 例2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.‎ 证明 (1)当n=2时,左边=1+=;右边=.‎ ‎∵左边>右边,∴不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k (k≥2,且k∈N*)时不等式成立,‎ 即…>.‎ 则当n=k+1时,‎ … ‎>·== ‎>==.‎ ‎∴当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.‎ 变式迁移2 证明 (1)当m=1时,原不等式成立;‎ 当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,‎ 因为x2≥0,所以左边≥右边,原不等式成立;‎ ‎(2)假设当m=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,‎ 即(1+x)k≥1+kx,则当m=k+1时,‎ ‎∵x>-1,∴1+x>0.‎ 于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同时乘以1+x得,‎ ‎(1+x)k·(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2‎ ‎≥1+(k+1)x.‎ 所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,‎ 即当m=k+1时,不等式也成立.‎ 综合(1)(2)知,对一切正整数m,不等式都成立.‎ 例3 解题导引 用数学归纳法证明整除问题,由k过渡到k+1时常使用“配凑法”.在证明n=k+1成立时,先将n=k ‎+1时的原式进行分拆、重组或者添加项等方式进行整理,最终将其变成一个或多个部分的和,其中每个部分都能被约定的数(或式子)整除,从而由部分的整除性得出整体的整除性,最终证得n=k+1时也成立.‎ 证明 (1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1能被a2+a+1整除.‎ ‎(2)假设当n=k (k≥1且k∈N*)时,‎ ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,‎ 则当n=k+1时,‎ ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1‎ ‎=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1‎ ‎=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1,‎ 由假设可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除,‎ ‎∴ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除,‎ 即n=k+1时命题也成立.‎ 综合(1)(2)知,对任意的n∈N*命题都成立.‎ 变式迁移3 证明 (1)当n=1时,f(1)=34-8-9=64,‎ 命题显然成立.‎ ‎(2)假设当n=k (k≥1,k∈N*)时,‎ f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.‎ 则当n=k+1时,‎ ‎32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)‎ 即f(k+1)=‎9f(k)+64(k+1)‎ ‎∴n=k+1时命题也成立.‎ 综合(1)(2)可知,对任意的n∈N*,命题都成立.‎ 课后练习区 ‎1.D [A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.]‎ ‎2.D ‎3.D [由题意可知,P(n)对n=3不成立(否则P(n)对n=4也成立).同理可推P(n)对n=2,n=1也不成立.]‎ ‎4.D [∵当n=k时,左端=1+2+3+…+k2,‎ 当n=k+1时,‎ 左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,‎ ‎∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 ‎(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.]‎ ‎5.D [f(4)=25>42,∴k≥4,均有f(k)≥k2.‎ 仅有D选项符合题意.]‎ ‎6.2k+1‎ 解析 ∵当n=k+1时,‎ 左边=1+2+…+k+(k+1)+k+…+2+1,‎ ‎∴从n=k到n=k+1时,应添加的代数式为(k+1)+k=2k+1.‎ ‎7. 解析 不等式的左边增加的式子是 +-=.‎ ‎8.n-1‎ 解析 ∵f(4)=f(3)+2,f(5)=f(4)+3,‎ f(6)=f(5)+4,…,∴f(n+1)=f(n)+n-1.‎ ‎9.证明 (1)当n=1时,左边=1+,右边=+1,‎ ‎∴≤1+≤,命题成立.(2分)‎ 当n=2时,左边=1+=2;右边=+2=,‎ ‎∴2<1+++<,命题成立.(4分)‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,‎ 即1+<1+++…+<+k,(6分)‎ 则当n=k+1时,‎ ‎1+++…++++…+>1++2k·=1+.(8分)‎ 又1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1),‎ 即n=k+1时,命题也成立.(10分)‎ 由(1)(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.(12分)‎ ‎10.解 ∵an>0,∴Sn>0,‎ 由S1=(a1+),变形整理得S=1,‎ 取正根得S1=1.‎ 由S2=(a2+)及a2=S2-S1=S2-1得 S2=(S2-1+),‎ 变形整理得S=2,取正根得S2=.‎ 同理可求得S3=.由此猜想Sn=.(4分)‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎(1)当n=1时,上面已求出S1=1,结论成立.‎ ‎(6分)‎ ‎(2)假设当n=k时,结论成立,即Sk=.‎ 那么,当n=k+1时,‎ Sk+1=(ak+1+)=(Sk+1-Sk+)‎ ‎=(Sk+1-+).‎ 整理得S=k+1,取正根得Sk+1=.‎ 故当n=k+1时,结论成立.(11分)‎ 由(1)、(2)可知,对一切n∈N*,Sn=都成立.‎ ‎(12分)‎ ‎11.(1)解 ∵函数f(x)定义域为{x∈R|x≠0}‎ 且f(-x)===f(x),‎ ‎∴f(x)是偶函数.(4分)‎ ‎(2)解 当x<0时,f(x)=,‎ f′(x)=+ (-)‎ ‎=-(2x+1),(6分)‎ 令f′(x)=0有x=-,‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-)‎ ‎- ‎(-,0)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 增 极大值 减 由表可知:当x=-时,f(x)取极大值4e-2,‎ 无极小值.(8分)‎ ‎(3)证明 当x>0时f(x)=,∴f()=x2e-x.‎ 考虑到:x>0时,不等式f()0),‎ ‎∵x>0时,g′(x)=ex-1>0,∴g(x)是增函数,‎ 故g(x)>g(0)=1>0,即ex>x(x>0).‎ 所以当n=1时,不等式(ⅰ)成立.(10分)‎ ‎②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式(ⅰ)成立,‎ 即xk0),‎ h′(x)=(k+1)!ex-(k+1)xk=(k+1)(k!ex-xk)>0,‎ 故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0)为增函数,‎ ‎∴h(x)>h(0)=(k+1)!>0,‎ ‎∴xk+1<(k+1)!·ex,‎ 即n=k+1时,不等式(ⅰ)也成立,(13分)‎ 由①②知不等式(ⅰ)对一切n∈N*都成立,‎ 故当x>0时,原不等式对n∈N*都成立.(14分)‎