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- 2021-05-14 发布
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【参数方程和普通方程的互化】
例1 求曲线(为参数)与曲线(为参数)的交点.
解:把代入
得:两式平方相加可得
∴ (舍去)
于是即所求二曲线的交点是(,-).
说明:在求由参数方程所确定的两曲线的交点时,最好由参数方程组求解,如果化为普通方程求交点时要注意等价性.如该例若化为普通方程求解时要注意点(-,)是增解.
例2化直线的普通方程为参数方程(其中倾斜角满足且)
解法一:因,,故
∴
设。取为参数,则得所求参数方程
解法二:如图,()为直线上的定点,为直线上的动点.因动点M与的数量一一对应(当M在的向上方向或正右方时,;当M在的下方或正左方时,;当M与重合时,),故取为参数.
过点M作y轴的平行线,过点作轴的平行线,两直线相交于点Q(如图).则有
∴
即为所求的参数方程。
说明:①在解法二中,不必限定,,即不必限定,.由此可知,无论中任意值时,所得方程都是经过(),倾斜角为的直线的参数方程.可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”.
②要充分理解解法二所示的参数的几何意义,这对解决某些问题较为方便.
③如果取为参数,则得直线参数方程
一般地,直线的参数方程的一般形式是
(,为参数)
但只有当且仅当,且时,这个一般式才是标准式,参数才具有上述的几何意义.
例3 求椭圆的参数方程.
分析一:把与对比,不难发现,可设,也可设
解法一:设(为参数),则
∴
故
因此,所得参数方程是
(Ⅰ)或 (Ⅱ)
由于曲线(Ⅱ)上的点(,),就是曲线(Ⅰ)上的点(,),所以曲线(Ⅱ)上的点都是曲线(Ⅰ)上的点.
显然.椭圆的参数方程是
分析二:借助于椭圆的辅助圆,可明确椭圆参数方程中的几何意义.
解法二:以原点O为圆心,为半径作圆,如图.设以轴正半轴为始边,以动半径OA为终边的变角为,过点A作轴于N,交椭圆于M,取为参数,则点M()的横坐标(以下同解法一).
由解法二知,参数是点M所对应的圆半径OA的转角,而不是OM的转角,因而称为椭圆的离角.(如果以O为圆心,为半径作圆,过M作,交圆于B,由可知也是半径OB的转角).
例4 用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数,把圆化为参数方程。
分析:由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。
解:如图所示,圆方程化为,设圆与x轴正半轴交于A,为圆上任一点,过P作轴于B,OP与x轴正半轴所成角为,,则:
又中,
∴
∴此圆的参数方程为
例5 设(为参数)把普通方程化为以为参数的参数方程。
解:把代入原方程,得,
解得
∴参数方程为 (为参数)
∵与表示的是同一曲线,所以它们是等价的,可以省略一个。
∴所求参数方程
例6 化双曲线为参数方程。
解:设,代入为,得
∴的参数方程为(为参数,)
这是同学中较为常见的解法,这种解法是错误的,那么错在哪里呢?请你找出来。
错误在于,双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数,错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅,故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分,不符合普通方程与参数方程的等价性要求,普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数,注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。
下面给出正确解法:设,代入得。
∴的参数方程为:(为参数,)
例7 化参数方程
(为参数)为普通方程。
分析一:用代入消元法,从已知方程中解出参数,代入后消去参数。
解法一:∵
∴ 即
将它代入(1),并化简得
()
分析二:用整体消参法。注意表达式的分母相同,而分子的平方和恰为原来相同的分母。
解法二:得
又∵ ∴
于是得所求普通方程为
即
分析三:因为,所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三角变换,然后利用三角公式再消参。
解法三:∵,
∴ 可令(,)
又∵
于是得
得
即
∵,()
∴()
即,∴
∴普通方程是()
说明:解法一是用代入法消参,解法二是整体消参法,解法三是运用万能公式,三角变换消参,三种解法中都应注意的限制条件,使参数方程化为普通方程时保持等价性。
例8将下列参数方程(其中,为参数)化为普通方程。
(1) (2) (3)
解:(1)∵
∴ ()为所求。
(2)由,得()
将它代入,并化简得()
另解:∵
并整理得
()
(3)∵
且
∴所求普通方程为
说明:(1)小题是用三角公式变形后用代入法消参,(2)是用代入(消元)法消参变形后整体消参,(3)小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。
例9 对于方程(a,b为常数)
(1)当t为常数,为参数时,方程表示何种曲线;
(2)当t为参数,为常数时,方程表示何种曲线
解:(1)当t为常数,原方程可变形为
两式平方相加得
即
这是以(a,b)为圆心,为半径的圆。
(2)当为常数时,
由第一式得代入第二式得
即
这是过点(a,b),斜率为的一条直线
小结:同一参数方程,由于参数不同,所表示的曲线也不同,消去参数化为普通方程后,曲线的类型也就显现出来。
例10 已知直线过点P(2,0),斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点,线段AB的中点为M。求:
(1)线段PM的长;
(2)M点的坐标;
(3)线段AB的长
解:如图。
(1)由直线过点P(2,0),斜率为。设其倾斜角为,则有
可得直线的标准参数方程为:
(其中为参数)
设直线上两点A、B分别对应参数、,
由方程组:
消去可得:
有 ,
由M为AB的中点,
∴
(2)设M点对应参数为,则有
∴ M点坐标为:
∴M点坐标为(,)
(3)由
分别代入,
可得
点拨:利用直线的标准参数方程中参数的几何含义,在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时,显得很方便和简捷。
例11 已知椭圆上的一个点P(),求的最值。
解:设椭圆的参数方程为:
(为参数,)
∴
,(其中)
∵
∴
即的最大值是,最小值是-。
点拨:这个题虽然很简单,但它说明了一个道理:曲线的参数方程不仅表示了曲线,同时也表示了曲线上的点的坐标.当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时,实际上起到了消元的作用,即用一个参数表示了 、,因此,在求某些几何量的最值时,参数方程可以起到一元化即消元的作用.
例12 过点M(2,1)作曲线(为参数)的弦AB,若M为AB的三等分点,求AB直线方程。
解:设AB的方程为(t为参数),将x,y代入曲线(为参数)即,
整理、化简得,
①
②
∵点M在AB的内部 ∴
∴。
将①、②代入上式有。
解得,
则AB的方程为
小结:本题是首先设出过定点的参数方程,然后和椭圆方程联立,再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义,求得斜率,用点斜式写出直线方程。
例13 圆O内一定点A,过A任作两互相垂直的弦,求证这两弦长的平方和为定值。
证明:以圆心O为原点,OA所在的直线为x轴建立直角坐标系,
设圆的方程,过定点互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为即
分别代入圆方程,得,其二根为、,
,其二根为、,故有
∴两弦平方和为定值
小结:涉及圆的弦长问题,可利用直线参数方程来解。
例14 已知是抛物线的一动弦,O为原点。当恒为直角时,如图求弦的中点P的轨迹方程。
分析 点P是的中点,点P的坐标与,的坐标,,、相关,如果选取,,、作为参数,则要列出,,,、有关的五个方程,最后消去参数,,、就可以得到P点的轨迹方程。
解 设P(),(,),(,)
∵P是的中点
∴①
②
∵,在抛物上
∴③
④
又∵恒为直角,即
∴⑤
由③×④:
∴
由③+④:
∴
把①、②式代入得:
∴ P点的轨迹方程是
说明 此题的解法是利用参数求点的轨迹方程,参数的个数可以是一个,也可以是几个,所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个,最后消去参数,得出轨迹方程.解决这类问题的关键是如何选取参数.此题还有一种选取参数的方法.
设直线的斜率为,根据
则的方程是,
的方程是。
由解得
由解得
设,根据P是的中点
∴(1)
(2)
由
把(1)代入:
∴P点的轨迹方程是: