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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
解密时间:2010年6月7日17:00 【考试时间:6月7日15:00—17:00】
2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷(理工农医类)
数学试题卷(理工农医类)共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)在等比数列中,,则公比的值为( )
A、2 B、3 C、4 D、8
(2)已知向量满足,则( )
A、0 B、 C、4 D、8
(3)( )
A、 B、 C、 D、1
(4)设变量满足约束条件则的最大值为( )
A、 B、4 C、6 D、8
(5)函数的图象( )
A、关于原点对称 B、关于直线对称
题(6)图
O
C、关于轴对称 D、关于轴对称
(6)已知函数
的部分图象如题(6)图所示,则( )
A、 B、
C、 D、
(7)已知,则的最小值是( )
A、3 B、4 C、 D、
(8)直线与圆心为D的圆交于A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为( )
A、 B、 C、 D、
(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有( )
A、504种 B、960种 C、1008种 D、1108种
(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )
A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
(11)已知复数则____________.
(12)设,若,则实数_________.
(13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为_____________.
(14)已知以为焦点的抛物线上的两点满足,则弦的中点到准线的距离为___________.
(15)已知函数满足:,则__________.
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)
设函数.
(Ⅰ)求的值域;
(Ⅱ)记的内角的对边长分别为,若,求的值.
(17)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:
(Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.
(18)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)
已知函数,其中实数.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若在处取得极值,试讨论的单调性.
(19)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
如题(19)图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面,,点是棱的中点.
(Ⅰ)求直线与平面的距离;
题(19)图
C
B
A
D
E
P
(Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.
(20)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
已知以原点为中心,为右焦点的双曲线的离心率.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程及其渐近线方程;
M
题(20)图
G
E
N
H
O
(Ⅱ)如题(20)图,已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点在双曲线上,直线与两条渐近线分别交于两点,求的面积.
(21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
在数列中,,其中实数.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若对一切有,求的取值范围.
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2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题(理工农医类)答案
一.选择题:每小题5分,满分 50分.
(1)A (2)B (3)C (4)C (5)D (6)D
(7)B (8)C (9)C (10)D
二.填空题:每小题5分,满分25分.
(11) (12) (13) (14) (15)
三.解答题:满分75分.
(16)(本题13分)
解:(Ⅰ)
,
因此的值域为.
(Ⅱ)由得,即,又因,
故.
解法一:由余弦定理,得,解得或.
解法二:由正弦定理,得或.
当时,,从而;
当时,,又,从而.
故的值为1或2.
(17)(本题13分)
解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.
(Ⅰ)设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”,则表示“甲、乙的序号为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得
.
(Ⅱ)的所有可能值为0,1,2,3,4,且
,
.
从而知有分布列
0
1
2
3
4
所以,
.
(18)(本题13分)
解:(Ⅰ).
当时,,而,因此曲线在点处的切线方程为即.
(Ⅱ),由(Ⅰ)知,
即,解得.
此时,其定义域为,且
,由得.当
或时,;当且时,.
G
F
答(19)图1
C
B
A
D
E
P
由以上讨论知,在区间上是增函数,在区间上是减函数.
(19)(本题12分)
解法一:
(Ⅰ)如答(19)图1 ,在矩形中,平面,
故直线与平面的距离为点到平面的距离.
因底面,故,由知为等腰三角
形,又点是棱 中点,故.又在矩形
中,,而是在底面内的射影,由
三垂线定理得,从而平面,故
.从而平面,故之长即为直线
与平面的距离.
(Ⅱ)过点D作,交CE于F,过点F作,交AC于G,则为所求的二面角的平面角.
由(Ⅰ)知平面PAB,又,得平面PAB,故,从而.
在中,.由,所以为等边三角形,故F为CE的中点,且.
因为平面PBC,故,又,知,从而,且G点为AC的中点.
连接DG,则在中,.
所以.
解法二:
P
G
F
答(19)图2
C
B
A
D
E
(Ⅰ)如答(19)图2,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为轴、轴、轴正半轴,建立空间直角坐标系.
设,则,
.
因此,
则,所以平面PBC.
又由知平面PBC,故直线AD与平面
PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为.
(Ⅱ)因为,则.
设平面AEC的法向量,则.
又,故
所以. 可取,则.
设平面DEC的法向量,则.
又,故
所以. 可取,则.
故.
所以二面角的平面角的余弦值为.
(20)(本题12分)
H
Q
M
答(20)图
G
E
N
O
解:(Ⅰ)设的标准方程为,则由题意,
因此,
的标准方程为.
的渐近线方程为,即
和.
(Ⅱ)解法一:如答(20)图,由题意点
在直线和
上,因此有,,
故点M、N均在直线上,因此直线MN的方程为.
设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点,
由方程组及
解得.
设MN与轴的交点为Q,则在直线中,令得(易知. 注意到,得
.
解法二:设,由方程组
解得,
因,则直线MN的斜率.
故直线MN的方程为,
注意到,因此直线MN的方程为.
下同解法一.
(21)(本题12分)
(Ⅰ)解法一:由,
,
,
猜测.
下用数学归纳法证明.
当时,等式成立;
假设当时,等式成立,即,则当时,
,
综上, 对任何都成立.
解法二:由原式得.
令,则,因此对有
,
因此,.
又当时上式成立.
因此.
(Ⅱ)解法一:由,得
,
因,所以.
解此不等式得:对一切,有或,其中
,
.
易知,
又由,知
,
因此由对一切成立得.
又,易知单调递增,故
对一切成立,因此由对一切成立得.
从而的取值范围为.
解法二:由,得
,
因,所以对恒成立.
记,下分三种情况讨论.
(ⅰ)当即或时,代入验证可知只有满足要求.
(ⅱ)当时,抛物线开口向下,因此当正整数充分大时,
不符合题意,此时无解.
(ⅲ)当即或时,抛物线开口向上,其对称轴
必在直线的左边. 因此,在上是增函数.
所以要使对恒成立,只需即可.
由解得或.
结合或得或.
综合以上三种情况,的取值范围为.
高考试题来源:http://www.gaokao.com/zyk/gkst/