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  • 2021-05-14 发布

高考数学理试题及答案重庆卷

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绝密★启用前 ‎ 解密时间:‎2010年6月7日17:00 【考试时间:‎6月7日15:00—17:00】‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷(理工农医类)‎ 数学试题卷(理工农医类)共4页。满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。‎ ‎5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ (1)在等比数列中,,则公比的值为( )‎ ‎ A、2 B、‎3 ‎ C、4 D、8‎ ‎(2)已知向量满足,则( )‎ ‎ A、0 B、 C、4 D、8‎ ‎ (3)( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、1‎ ‎ (4)设变量满足约束条件则的最大值为( )‎ ‎ A、 B、‎4 ‎ C、6 D、8‎ ‎ (5)函数的图象( )‎ ‎ A、关于原点对称 B、关于直线对称 ‎ 题(6)图 O C、关于轴对称 D、关于轴对称 ‎ (6)已知函数 的部分图象如题(6)图所示,则( )‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎ (7)已知,则的最小值是( )‎ ‎ A、3 B、‎4 ‎ C、 D、‎ ‎ (8)直线与圆心为D的圆交于A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为( )‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ (9)某单位安排7位员工在‎10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在‎10月1日,丁不排在‎10月7日,则不同的安排方案共有( )‎ ‎ A、504种 B、960种 C、1008种 D、1108种 ‎ (10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )‎ ‎ A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎(11)已知复数则____________.‎ ‎(12)设,若,则实数_________.‎ ‎(13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为_____________.‎ ‎(14)已知以为焦点的抛物线上的两点满足,则弦的中点到准线的距离为___________.‎ ‎(15)已知函数满足:,则__________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)‎ ‎ 设函数.‎ ‎ (Ⅰ)求的值域;‎ ‎ (Ⅱ)记的内角的对边长分别为,若,求的值.‎ ‎(17)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)‎ ‎ 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:‎ ‎ (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;‎ ‎ (Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.‎ ‎(18)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)‎ ‎ 已知函数,其中实数.‎ ‎ (Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎ (Ⅱ)若在处取得极值,试讨论的单调性.‎ ‎(19)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)‎ ‎ 如题(19)图,四棱锥中,底面ABCD为矩形,底面,,点是棱的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求直线与平面的距离;‎ 题(19)图 C B A D E P ‎ (Ⅱ)若,求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎(20)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)‎ ‎ 已知以原点为中心,为右焦点的双曲线的离心率.‎ ‎ (Ⅰ)求双曲线的标准方程及其渐近线方程;‎ M 题(20)图 G E N H O ‎ (Ⅱ)如题(20)图,已知过点的直线与过点(其中)的直线的交点在双曲线上,直线与两条渐近线分别交于两点,求的面积.‎ ‎(21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)‎ ‎ 在数列中,,其中实数.‎ ‎ (Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)若对一切有,求的取值范围.‎ 绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题(理工农医类)答案 一.选择题:每小题5分,满分 50分.‎ ‎(1)A (2)B (3)C (4)C (5)D (6)D ‎(7)B (8)C (9)C (10)D 二.填空题:每小题5分,满分25分.‎ ‎(11) (12) (13) (14) (15)‎ 三.解答题:满分75分.‎ ‎(16)(本题13分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 因此的值域为.‎ ‎ (Ⅱ)由得,即,又因,‎ ‎ 故.‎ ‎ 解法一:由余弦定理,得,解得或.‎ ‎ 解法二:由正弦定理,得或.‎ ‎ 当时,,从而;‎ ‎ 当时,,又,从而.‎ ‎ 故的值为1或2.‎ ‎(17)(本题13分)‎ ‎ 解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.‎ ‎ (Ⅰ)设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”,则表示“甲、乙的序号为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得 ‎ .‎ ‎ (Ⅱ)的所有可能值为0,1,2,3,4,且 ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 从而知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 所以,‎ ‎ .‎ ‎(18)(本题13分)‎ ‎ 解:(Ⅰ).‎ ‎ 当时,,而,因此曲线在点处的切线方程为即.‎ ‎ (Ⅱ),由(Ⅰ)知,‎ ‎ 即,解得.‎ ‎ 此时,其定义域为,且 ‎ ,由得.当 ‎ 或时,;当且时,.‎ G F 答(19)图1‎ C B A D E P ‎ 由以上讨论知,在区间上是增函数,在区间上是减函数.‎ ‎(19)(本题12分)‎ ‎ 解法一:‎ ‎ (Ⅰ)如答(19)图1 ,在矩形中,平面,‎ ‎ 故直线与平面的距离为点到平面的距离.‎ ‎ 因底面,故,由知为等腰三角 形,又点是棱 中点,故.又在矩形 中,,而是在底面内的射影,由 三垂线定理得,从而平面,故 ‎.从而平面,故之长即为直线 与平面的距离.‎ ‎ (Ⅱ)过点D作,交CE于F,过点F作,交AC于G,则为所求的二面角的平面角.‎ 由(Ⅰ)知平面PAB,又,得平面PAB,故,从而.‎ 在中,.由,所以为等边三角形,故F为CE的中点,且.‎ 因为平面PBC,故,又,知,从而,且G点为AC的中点.‎ ‎ 连接DG,则在中,.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 解法二:‎ P G F 答(19)图2‎ C B A D E ‎ (Ⅰ)如答(19)图2,以A为坐标原点,射线AB、AD、AP分别为轴、轴、轴正半轴,建立空间直角坐标系.‎ ‎ 设,则,‎ ‎.‎ 因此,‎ 则,所以平面PBC.‎ 又由知平面PBC,故直线AD与平面 PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为.‎ ‎(Ⅱ)因为,则.‎ 设平面AEC的法向量,则.‎ 又,故 所以. 可取,则.‎ 设平面DEC的法向量,则.‎ 又,故 所以. 可取,则.‎ 故.‎ 所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎(20)(本题12分)‎ H Q M 答(20)图 G E N O ‎ 解:(Ⅰ)设的标准方程为,则由题意,‎ 因此,‎ 的标准方程为.‎ ‎ 的渐近线方程为,即 和.‎ ‎ (Ⅱ)解法一:如答(20)图,由题意点 在直线和 上,因此有,,‎ 故点M、N均在直线上,因此直线MN的方程为.‎ 设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点,‎ 由方程组及 解得.‎ 设MN与轴的交点为Q,则在直线中,令得(易知. 注意到,得 ‎.‎ 解法二:设,由方程组 解得,‎ 因,则直线MN的斜率.‎ 故直线MN的方程为,‎ 注意到,因此直线MN的方程为.‎ 下同解法一.‎ ‎(21)(本题12分)‎ ‎ (Ⅰ)解法一:由,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ 猜测.‎ ‎ 下用数学归纳法证明.‎ ‎ 当时,等式成立;‎ ‎ 假设当时,等式成立,即,则当时,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 综上, 对任何都成立.‎ ‎ 解法二:由原式得.‎ ‎ 令,则,因此对有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 因此,. ‎ 又当时上式成立.‎ 因此.‎ ‎(Ⅱ)解法一:由,得 ‎ ,‎ ‎ 因,所以.‎ ‎ 解此不等式得:对一切,有或,其中 ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ 易知,‎ ‎ 又由,知 ‎ ,‎ ‎ 因此由对一切成立得.‎ ‎ 又,易知单调递增,故 ‎ 对一切成立,因此由对一切成立得.‎ ‎ 从而的取值范围为.‎ ‎ 解法二:由,得 ‎ ,‎ ‎ 因,所以对恒成立.‎ ‎ 记,下分三种情况讨论.‎ ‎ (ⅰ)当即或时,代入验证可知只有满足要求.‎ ‎ (ⅱ)当时,抛物线开口向下,因此当正整数充分大时,‎ ‎ 不符合题意,此时无解.‎ ‎ (ⅲ)当即或时,抛物线开口向上,其对称轴 ‎ 必在直线的左边. 因此,在上是增函数.‎ ‎ 所以要使对恒成立,只需即可.‎ ‎ 由解得或.‎ ‎ 结合或得或.‎ ‎ 综合以上三种情况,的取值范围为.‎ 高考试题来源:http://www.gaokao.com/zyk/gkst/‎