山东高考数学专题复习：立体几何专题（理） 11页

高考数学专题复习：立体几何专题（理）‎ 一、山东省高考试题分析 高考试卷中，立体几何把考查的立足点放在空间图形上，突出对空间概念和空间想象能力的考查。立体几何的基础是对点、线、面的位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体。高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、两个平面的位置的关系以及空间角、面积、体积的计算的考查，以便检测考生立体几何的知识水平和能力。‎ 高考试题中题型分布及分值比例（以下是近三年考题、考点、分值分布统计表）‎ 卷型 题 序 分 值 ‎ 考查的题型及知识点 ‎09年 ‎4、5、18‎ ‎5+5+12=22‎ 几何体三视图、面面垂直的判定、线面平行的判定、二面角 ‎10年 ‎3、19‎ ‎5+12=17‎ 线面垂直与平行的判定与性质、线面角、几何体的体积 ‎11年 ‎11、19‎ ‎5+12=17‎ 几何体的三视图、线面平行的证明、以及二面角 从上表可以看出：立体几何均分在20分左右，高考的命题坚持以稳定大局，控制难度，贯彻“说明”要求，命题的稳定主要表现在：考查的重点及难点稳定，高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定，线、面间的角的计算作为考查的重点；同时在创新方面做了一些有益的尝试。‎ ‎1．充分、必要条件与点线面位置关系的综合 高考对简单逻辑用语中的充分、必要条件的考查，主要通过与其它部分的综合问题出现，而与立体几何相综合的问题最为普遍，通过这种形式主要考查对充分、必要条件的理解和立体几何部分的几何体、点线面的位置关系等严密性问题．‎ ‎（09年理5）．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】：由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面α内的一条直线，，则；反过来则不一定．所以“”是“”的必要不充分条件．答案：B ‎（10年理3）在空间，下列命题正确的是（ ）‎ ‎（A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 ‎（C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行 ‎【解析】‎ 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案D.本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。‎ ‎【点评】：此类题目主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念．解决此类问题的关键是弄清楚点线面之间的位置关系的判定．此类小题是很容易出错的题目，解答时要特别注意．‎ ‎2．三视图与几何体的面积、体积的综合 空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，识别三视图所表示的空间几何体，柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征与新增内容三视图的综合会重点考查，从近三年高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，属中等偏易题．随着新课标的推广和深入，难度逐渐有所增加．‎ ‎（09年理4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,‎ 俯视图 ‎ 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为，高为，所以体积为 所以该几何体的体积为.答案:C ‎【点评】本题考查了立体几何中的空间想象能力,‎ 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出几何体的体积.‎ 正（主）视图 俯视图 ‎（11年理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；‎ ‎③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是 ‎（A）3 （B）2 （C）1 （D）0‎ ‎【点评】：A.此题考查学生的空间想象能力，无论是命题形式与考查深度令人欣赏。应该说2007年以来，立体几何删去了传统的球面距离、球的切接问题、空间距离等明显降低了立体几何的难度。但是，空间想象能力为考试说明的第三能力。因此，此题非常好，难度适当，形式自然，目的明确。‎ ‎3．几何体与线、面位置关系的综合 以空间几何体为载体考查直线与平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直的判定与性质定理，能用判定定理和性质定理证明线线平行或垂直、线面平行或垂直、面面平行或垂直，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题．‎ ‎4．空间向量与空间角和距离的综合 用空间向量解决立体几何问题的基本步骤：（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）．‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎（09年理18）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4， BC=CD=2， AA=2， E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点．‎ （1） 证明：直线EE//平面FCC；‎ （2） 求二面角B-FC-C的余弦值．‎ 解析：解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ F1 ‎ O ‎ P ‎ 连接A1D，C‎1F1，CF1，因为AB=4， CD=2，且AB//CD，‎ 所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，‎ 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，‎ 所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，‎ 所以直线EE//平面FCC．‎ ‎（2）因为AB=4， BC=CD=2， 、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形，取CF的中点O，则OB⊥CF，又因为直四棱柱ABCD-ABCD中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BO，所以OB⊥平面CC1F，过O在平面CC1F内作OP⊥C1F，垂足为P，连接BP，则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角， 在△BCF为正三角形中，，‎ 在Rt△CC1F中， △OPF∽△CC1F，∵∴‎ ‎，在Rt△OPF中，，，‎ 所以二面角B-FC-C的余弦值为．‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ x ‎ y ‎ z ‎ M ‎ 解法二:（1）因为AB=4， BC=CD=2， F是棱AB的中点，‎ 所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形， 因为ABCD为 等腰梯形，所以∠BAC=∠ABC=60°，取AF的中点M，‎ 连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD，‎ 以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，‎ 则D（0，0，0），A（，-1，0），F（，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（，，0），E1（，-1，1），‎ 所以，，‎ 设平面CC1F的法向量为则 所以 取，则，所以，所以直线EE//平面FCC．‎ ‎（2），设平面BFC1的法向量为，则所以，取，则，‎ ‎，，所以，‎ 由图可知二面角B-FC-C为锐角，所以二面角B-FC-C的余弦值为．‎ ‎【点评】：本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算．考查空间想象能力和推理运算能力，以及应用向量知识解答问题的能力，向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不但是传统方法的有力补充，而且还可以另辟溪径，解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方式：①先作、证二面角的平面角，再求得二面角的大小；②先求二面角两个半平面的法向量（注意法向量的方向要分布在二面角的内外），再求得二面角的大小为向量夹角或其补角；③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线（垂足不重合），又可转化为求两条异面直线的夹角．‎ 二、2012年高考预测分析 透析高考试题，可以看出本专题的热点为：‎ （1） 直线和平面平行、垂直的判定与性质； ‎ （2） 两个平面平行、垂直的判定与性质；‎ （3） 异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角；‎ （4） 几何体的表面积、体积，注重与三视图的交汇，以及割补思想、等价转化思想在求体积方面的应用；‎ （5） 利用空间向量来证明平行和垂直关系（包括线线垂直、平行；线面垂直、平行；面面垂直、平行）及利用空间向量解决求空间角；‎ （6） 棱柱、棱锥、球的概念和性质，棱柱、棱锥的复现率较高，在迎考中应继续关注；‎ （7） 寻找截面形状，多面体的外切球、内接球，计数问题，折叠问题也值得我们注意。‎ 从近几年高考来看，一般以1—2个客观题来考查线面关系的判定、表面积与体积、空间几何体的性质与识图等，以1个解答题来考查线面关系的证明以及角的计算．在高考中属于中档题目．而三视图作为新课标的新增内容，在近三年高考中，有2次在此知识点命题，主要考查三视图和直观图，特别是通过三视图来确定原图形的相关量．预计今后高考中，在命题规律呈现如下：‎ ‎（一）客观题仍以几何体的的三视图与表面积与体积的计算、空间线面关系与命题、充要条件的结合为主 预测1空间几何体的三视图与其表面积、体积的求解相结合仍会是2012年高考的命题热点。‎ 1、 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，‎ 则此几何体的体积是．‎ ‎2、已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，‎ 在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，‎ 这些几何形体是（写出所有正确结论的编号）．‎ ‎①矩形；‎ ‎②不是矩形的平行四边形；‎ b a 正视图 俯视图 侧视图 a ‎③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；‎ ‎④每个面都是等腰三角形的四面体；‎ ‎⑤每个面都是直角三角形的四面体 预测2 空间线面关系的判断与命题、充要条件相结合会是今后高考命题的一个趋势 ‎1、平面平面的一个充分条件是（ ）‎ A. 存在一条直线 B. 存在一个平面 C. 存在一个平面 D. 存在一条直线 ‎2、已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面，有下列命题 ‎①若； ②若；‎ ‎③若； ④若；‎ 其中正确的命题个数是 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎（二）解答题考查线面关系的位置关系和空间角 预测3 解答题仍会以常规多面体（棱柱和棱锥）为载体，重点考查线面关系的逻辑推理与空间角的求解、空间向量的基本运算以及空间想象能力和逻辑推理能力和应用空间向量解决数学问题的意识和能力.‎ ‎1、在三棱柱ABC—A1B‎1C1中，底面是边长为的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是A B O C D A1‎ B1‎ C1‎ BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A‎1A⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）当侧棱AA1和底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的大小余弦值；‎ ‎（Ⅲ）若D为侧棱A‎1A上一点，当为何值时，BD⊥A‎1C1．‎ ‎2、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图).‎ ‎(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；‎ ‎(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；‎ ‎(3) 当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.‎ 三、立体几何专题练习 ‎1、某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度:cm),则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2、设、、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：‎ ‎①、、均为直线；②、是直线，是平面；‎ ‎③是直线，、是平面；④、、均为平面。‎ 其中使“⊥且⊥∥”为真命题的是 （　　）‎ ‎ A ③④ B ①③ C ②③ D ①②‎ ‎3、一个几何体的三视图如右图，其中主视图和左视图都是边长为1的正三角形，那么这个几何体的侧面积为（　　）‎ A．B．C． D．‎ ‎4、已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：‎ ‎①若；‎ ‎②若； ‎ ‎③如果相交；‎ ‎④若 其中正确的命题是 （ ）‎ ‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎5、如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点．‎ ‎（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面 垂直于平面？并证明你的结论；‎ ‎（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）求与平面所成角的正切值的最大值．‎ ‎6、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。 ‎ ‎(1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积。‎ ‎【参考答案】：1D，2C，3A，4D ‎5、解：（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面 证明如下：由题意知，，‎ 又平面 又平面平面平面 ‎（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，‎ 是异面直线与所成的角．‎ 在中∵∴‎ ‎∴, ， ‎ ‎．‎ 又．‎ 在中，‎ ‎．‎ 异面异面直线与所成角的余弦值为．‎ 解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，，，，，‎ ‎∴．‎ ‎∴异面异面直线与所成角的余弦值为 ‎（3）由（1）知，平面，‎ 是与平面所成的角，‎ 且 当最小时，最大，这时，由 得，即与平面所成角的正切值的最大值．‎ ‎6、（1）证明：因为是的中点，， 所以。 ‎ 由底面，得，‎ 又，即，‎ 平面，所以 ，‎ 平面， ‎ ‎。 ‎ ‎（2）连结， ‎ 因为平面，即平面，‎ 所以是与平面所成的角， ‎ 在中，，‎ 在中，，故，‎ 在中, ，‎ 又，‎ 故与平面所成的角是。 ‎ ‎（3）由分别为的中点，得，且，‎ 又，故，‎ 由（1）得平面，又平面，故，‎ 四边形是直角梯形，‎ 在中，，，‎ ‎ 截面的面积。 ‎