高考物理人教版一轮复习测评-1-4运动图象追及与相遇问题 9页

第4单元运动图象__追及与相遇问题直线运动的x—t图象[想一想]甲、乙两物体的位移时间图象如图1－4－1所示，请思考以下问题：图1－4－1(1)甲、乙两物体各做什么性质的运动。(2)甲、乙两物体速度的大小关系。(3)甲、乙两物体的出发点相距多远。提示：(1)甲、乙两物体均做匀速直线运动。(2)甲物体的速度小于乙物体的速度。(3)两物体的出发点相距为x0，且甲物体在前。[记一记]1．图象的意义反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。2．两种特殊的x－t图象(1)x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(2)x－t图象是一条倾斜直线，说明物体处于匀速直线运动状态。3．x－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义(1)点：两图线交点，说明两物体相遇。(2)线：表示研究对象的变化过程和规律。(3)斜率：x－t图象的斜率表示速度的大小及方向。(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位移，横轴截距表示位移为零的时刻。[试一试]1.如图1－4－2所示是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是(　　) 图1－4－2A．OA段运动最快B．AB段静止C．CD段表示的运动方向与初始运动方向相反D．运动4h汽车的位移大小为60km解析：选BC图中CD段斜率的绝对值最大，故CD段的速度最大，A错误；AB段位移不随时间变化，说明AB段汽车静止，B正确；CD段的斜率与OA段的斜率符号相反，表明两段汽车的运动方向相反，C正确；4h内汽车运动的总位移为零，D错误。直线运动的v－t图象[想一想]A、B两物体的v－t图象如图1－4－3所示，请思考以下问题：图1－4－3(1)A、B两物体的运动性质；(2)A、B两物体的加速度大小；(3)在0～10s内A、B两物体的位移大小。提示：(1)A物体做匀速直线运动，B物体做匀加速直线运动。(2)A物体的加速度为0，B物体的加速度大小为0.5m/s2。(3)在0～10s内，A物体的位移大小为50m，而B物体的位移大小为25m。[记一记]1．图象的意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。2．两种特殊的v－t图象(1)若v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。(2)若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。3．v－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义(1)点：两图线交点，说明两物体在该时刻的速度相等。(2)线：表示速度的变化过程和规律。(3)斜率：表示加速度的大小及方向。(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初速度，横轴截距表示速度为零的时刻。(5)面积：数值上表示某段时间内的位移。 [试一试]2.某物体运动的速度图象如图1－4－4所示，根据图象可知(　　)图1－4－4A．0～2s内的加速度为1m/s2B．0～5s内的位移为10mC．第1s末与第3s末的速度方向相同D．第1s末与第5s末加速度方向相同解析：选ACv－t图线在时间轴的上方，故第1s末与第3s末的速度方向相同，C正确。图线的斜率大小表示物体运动的加速度大小，正负表示加速度的方向，故0～2s内的加速度1＝m/s2＝1m/s2，方向为正，A正确。第1s末加速度的大小和方向与0～2s内的相同，第5s末加速度的大小和方向与4～5s内的相同，而4～5s内的加速度a2＝m/s2＝－2m/s2，方向为负，D错误。0～5s内的位移x＝×(2＋5)×2m＝7m，B错误。追及与相遇问题[记一记]1．追及与相遇问题的概述当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。2．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者速度相等时，两者相距最近。3．相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及即相遇。(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。[试一试]3.甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如图1－4－5所示，由图可知(　　) 图1－4－5A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲B．t＝20s时，乙追上了甲C．在t＝20s之前，甲比乙运动快；在t＝20s之后，乙比甲运动快D．由于乙在t＝10s时才开始运动，所以t＝10s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离解析：选C从题图中看到开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，A项错误；t＝20s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20s，D选项错误。对运动图象的理解及应用相同的图线在不同性质的运动图象中含义截然不同，下面我们做一全面比较(见下表)。图象x－t图象v－t图象a－t图象图象实例图线含义图线①表示质点做匀速直线运动(斜率表示速度v)图线①表示质点做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)图线①表示质点做加速度逐渐增大的直线运动图线②表示质点静止图线②表示质点做匀速直线运动图线②表示质点做匀变速直线运动图线③表示质点向负方向做匀速直线运动图线③表示质点做匀减速直线运动图线③表示质点做加速度减小的直线运动交点④表示此时三个质点相遇交点④表示此时三个质点有相同的速度交点④表示此时三个质点有相同的加速度点⑤表示t1时刻质点位移为x1(图中阴影部分的面积没有意义)点⑤表示t1时刻质点速度为v1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移)点⑤表示t1时刻质点加速度为a1(图中阴影部分面积表示质点在0～t1 时间内的速度变化量)[例1]　(2013·聊城联考)如图1－4－6所示，是某型号全液体燃料火箭发射时第一级火箭发动机工作时火箭的a－t图象，开始时的加速度曲线比较平滑，在120s的时候，为了把加速度限制在4g以内，第一级的推力降至60%，第一级的整个工作时间为200s。由图线可以看出，火箭的初始加速度为15m/s2，且在前50s内，加速度可以看做均匀变化，试计算：图1－4－6(1)t＝50s时火箭的速度；(2)如果火箭是竖直发射的，在t＝10s前看成匀加速运动，则t＝10s时离地面的高度是多少？如果此时有一碎片脱落，将需多长时间落地？(取g＝10m/s2，结果可用根式表示)[审题指导](1)a－t图线与t轴所围面积为火箭速度的变化量。(2)火箭上脱落的碎片将做竖直上抛运动。[尝试解题](1)因为在前50s内，加速度可以看做均匀变化，则加速度图线是倾斜的直线，它与时间轴所围的面积大小就表示该时刻的速度大小，所以有v＝×(15＋20)×50m/s＝875m/s(2)如果火箭是竖直发射的，在t＝10s前看成匀加速运动，则t＝10s时离地面的高度是h＝at2＝×15×102m＝750m如果有一碎片脱落，它的初速度v1＝at＝150m/s离开火箭后做竖直上抛运动，有－h＝v1t－gt2代入数据解得t＝(15＋5)s[答案](1)875m/s　(2)750m　(15＋5)s应用运动图象解题时应注意的问题(1)运动图象只描述直线运动。(2)不同的图象“斜率”“面积”的含义不同。(3)速度图象中，图线斜率为正，物体不一定做加速运动，图线斜率为负，物体也不一定做减速运动。追及相遇问题分析 1.追及相遇问题中的两个关系和一个条件(1)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到。(2)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。2．追及相遇问题常见的情况假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种常见情况：(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时相对速度为零，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。若使两物体保证不相撞，此时应有vA0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇思路二：设两物体在t时刻两物体相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇图象法(1)若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇(2)若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积相对运动法用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：x相对＝x后－x前＝x0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量) 的符号都应以统一的正方向进行确定[典例]在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。[解析]要使两车不相撞，A车追上B车时其速度最大只能与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB、运动过程如图1－4－7所示，现用四种方法解答如下：图1－4－7法一：临界法利用位移公式、速度公式求解，对A车有xA＝v0t＋×(－2a)×t2，vA＝v0＋(－2a)×t，对B车有xB＝at2，vB＝at，两车位移关系有x＝xA－xB，追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB，联立以上各式解得v0＝。故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。法二：函数法利用判别式求解，由解法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)×t2＝x＋at2，整理得3at2－2v0t＋2x＝0。这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。法三：图象法利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图1－4－8所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at，图1－4－8对B车有vB＝v＝at，以上两式联立解得t＝。经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知 x＝v0·t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。法四：相对运动法巧选参考系求解。以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a＝－2a－a＝－3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是：vt＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v－v＝2ax得：02－v＝2·(－3a)·x，所以v0＝。即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。[答案]v0<[题后悟道]方法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；方法二由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；方法三通过图象使两车的位移关系更直观、简洁；方法四通过巧妙地选取参考系，使两车的运动关系变得简明。A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10m/s，B车在后，其速度vB＝30m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？解析：设B车刹车过程的加速度大小为aB，由v2－v＝2ax可得：02－302＝2(－aB)·180解得：aB＝2.5m/s2设经过时间t两车相撞，则有：vBt－aBt2＝x0＋vAt，即30t－×2.5t2＝85＋10t，整理得t2－16t＋68＝0由Δ＝162－4×68<0可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，可得：vA＝vB－aBt1，t1＝8s。此过程中xB＝vBt－aBt＝160mxA＝vAt1＝80m，两车的最近距离Δx＝x0＋xA－xB＝5m。答案：不会相撞5m