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- 2022-03-30 发布
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第3单元圆_周_运_动描述圆周运动的物理量及相互关系[想一想]甲、乙两物体都做匀速圆周运动，且r甲>r乙，试比较以下几种情况下甲、乙两物体的向心加速度大小。①线速度相等②角速度相等③周期相等提示：由a＝＝ω2r＝·r可知，线速度相等时，a甲a乙。[记一记]描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：定义、意义公式、单位线速度①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切①v＝＝②单位：m/s角速度①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)②中学不研究其方向①ω＝＝②单位：rad/s周期和转速①周期是物体沿圆周运动一圈的时间(T)②转速是物体在单位时间内转过的圈数(n)，也叫频率(f)①T＝；单位：s②n的单位r/s、r/min③f的单位：Hzf＝向心加速度①描述速度方向变化快慢的物理量(an)②方向指向圆心①an＝＝ω2r②单位：m/s2向心力①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小②方向指向圆心①Fn＝mω2r＝m＝mr②单位：N相互关系①v＝rω＝＝2πrf
②an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r③Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv＝m4π2f2r[试一试]1．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是( )A．由a＝知，a与r成反比B．由a＝ω2r知，a与r成正比C．由ω＝知，ω与r成反比D．由ω＝2πn知，ω与转速n成正比解析：选D由a＝知，只有在v一定时，a才与r成反比，如果v不一定，则a与r不成反比，同理，只有当ω一定时，a才与r成正比；v一定时，ω与r成反比；因2π是定值，故ω与n成正比，D正确。匀速圆周运动和非匀速圆周运动[想一想]在圆周运动中，向心力一定指向圆心吗？合外力一定指向圆心吗？提示：无论匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心力一定指向圆心，匀速圆周运动的合外力提供向心力，一定指向圆心，非匀速圆周运动的合外力不一定指向圆心。[记一记]1．匀速圆周运动(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。(3)质点做匀速圆周运动的条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动。(2)合力的作用：①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。[试一试]2.如图4－3－1所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O
点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是( )图4－3－1A．绳的拉力B．重力和绳拉力的合力C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析：选CD分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。离心现象[想一想]如图4－3－2所示，游乐场的旋转飞椅非常刺激有趣，当转速逐渐增大时，飞椅会飘得越来越高，请思考其中的道理。图4－3－2提示：如图所示为飞椅受力图，由Fcosθ＝mgFsinθ＝mω2L·sinθ可得：cosθ＝可见，飞椅转速增大时，ω增大，θ增大，飞椅飘得越来越高。
[记一记]1．离心运动(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。(3)受力特点：图4－3－3①当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；③当Fmω2r，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。[试一试]3．下列关于离心现象的说法正确的是( )A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动解析：选C物体做匀速圆周运动时，合外力必须满足物体所需要的向心力F＝mω2r。若F＝0，物体由于惯性而沿切线飞出，若F＜mω2r，物体由于惯性而远离圆心，并不是受到离心力作用。所以A、B、D均错，C正确。传动装置问题1.同轴转动各点共轴转动时，角速度相同，因此周期也相同。由于各点半径不一定相同，线速度、向心加速度大小一般不同。2．皮带传动
当皮带不打滑时，两轮边缘各点线速度大小相等。由于各点半径不同，角速度、周期、向心加速度等都不相同。3．在传动装置中各物理量的关系在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比，向心加速度大小a＝rω2与半径r成正比。(2)当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝、a＝确定。[例1]如图4－3－4所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1＝35cm，小齿轮的半径R2＝4.0cm，大齿轮的半径R3＝10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)图4－3－4[尝试解题]大、小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边沿各点的线速度大小相等，由v＝2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。大齿轮与小齿轮转速之间的关系为：n1∶n小＝R2∶R3。车轮与小齿轮之间的转速关系为：n车＝n小。车轮与摩擦小轮之间的关系为：n车∶n2＝r0∶R1。由以上各式可解出大齿轮和摩擦小轮之间的转速之比为：n1∶n2＝2∶175。[答案]2∶175解答传动装置问题时，关键是分析传动过程的不变量。竖直平面内的圆周运动问题对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常见两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：轻绳模型轻杆模型
常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg＝m得v临＝由小球能运动即可得v临＝0讨论分析(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背向圆心，随v的增大而减小(3)当v＝时，FN＝0(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大在最高点的FN图线取竖直向下为正方向取竖直向下为正方向[例2]长L＝0.5m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m＝2kg，如图4－3－5所示，求在下列两种情况下，球在最高点时杆对小球的作用力：图4－3－5(1)A在最低点的速率为m/s；(2)A在最低点的速率为6m/s。[审题指导](1)小球由最低点到最高点的过程中，机械能守恒。(2)细杆对小球作用力的方向可竖直向上，也可竖直向下。[尝试解题]设小球在最高点速度为v，对小球A由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平面，由机械能守恒定律得，mv2＋mg·2L＝mv①
在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的受力图如图所示。以A为研究对象，由牛顿第二定律得mg＋F＝m②所以F＝m(－g)③(1)当v0＝m/s时，由①式得v＝1m/s，④F＝2×(－10)N＝－16N，⑤负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给A向上16N的支持力。(2)当v0＝6m/s时，由①式得v＝4m/s；⑥F＝2×(－10)N＝44N。正值说明杆对A施加的是向下44N的拉力。[答案](1)16N方向向上 (2)44N方向向下求解竖直平面内圆周运动问题的思路(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。(2)确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。圆周运动中的临界问题[例3]如图4－3－6所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体A，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体B，A的中点与圆孔距离为0.2m，且A和水平面间的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物体B会处于静止状态？(g＝10m/s2)
图4－3－6[审题指导]第一步：抓关键点关键点获取信息光滑小孔细绳各处张力大小相等最大静摩擦力为2N物体A刚要滑动时的摩擦力大小为2N物体B处于静止状态细绳中拉力大小为mg＝3N第二步：找突破口物体A刚好不向里滑和刚好不向外滑，分别对应平面转动的角速度的最小值和最大值。[尝试解题]要使B静止，A应与水平面相对静止，考虑A能与水平面相对静止的两个极限状态：当ω为所求范围的最小值时，A有向圆心运动的趋势，水平面对A的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N，此时对A有：FT－Ffm＝Mωr，B静止时受力平衡，FT＝mg＝3N，解得ω1≈2.9rad/s当ω为所求范围的最大值时，A有远离圆心运动的趋势，水平面对A的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2N，此时对A有：FT＋Ffm＝Mωr解得ω2≈6.5rad/s故ω的范围为：2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s[答案]2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s处理临界问题的解题步骤(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。(3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
分析计算圆周运动问题时，常会遇到由重力和弹力(可以是支持力，也可以是绳子的拉力)的合力提供向心力，而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动。因此，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题。下面为两个常用的圆锥摆运动规律：1．圆锥摆的向心加速度α＝gtanα图4－3－7设摆球质量为m，摆线长为L，摆线与竖直方向夹角为α，由图可知，F合＝mgtanα又F合＝ma向，故a向＝gtanα可见摆球的向心加速度完全由α决定，与摆线长无关，即与运动的半径无关。2．圆锥摆的周期T＝2π由F合＝m·Lsinα和F合＝mgtanα可推理得圆锥摆的周期T＝2π设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h，则h＝Lcosα，故T＝2π由此可见，圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距离决定，与小球的质量、摆线长度无关。[典例]如图4－3－8所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )图4－3－8A．球A的线速度必定大于球B的线速度B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力[解析]根据上述规律可知，此题中的A、B两小球实际上是具有相同的向心加速度，根据a＝＝Rω2＝可知，加速度相同时，半径越大，线速度越大，角速度越小，周期越大，即由RA>RB，可知vA>vB，ωA<ωB，TA>TB，则选项A、B正确，C错误。由于A、B质量相同，在相同的倾斜面上，则向心力相等，进一步可知两球所受的弹力相等，故可知选项D错误。[答案]AB[题后悟道]比较两个圆周运动的各物理量之间关系时，实际上就是找出两个圆周运动之间存在的隐含的相同因素，然后用控制变量法即可判断各物理量的关系。而上述两类特殊规律正是反映了不同圆周运动之间的相同因素，是分析圆周运动问题经常遇到的类型，希望同学们能够掌握。若例题中两小球质量不相等，则上述运动量仍然符合规律，只是弹力和向心力发生变化而已，这是在分析问题时要注意的一个细节问题。长度不同的两根细绳悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图4－3－9所示，则有关两个圆锥摆的物理量相同的是( )图4－3－9A．周期B．线速度的大小C．向心力D．绳的拉力解析：选A设O到小球所在水平面的距离为h，对球进行受力分析如图所示，得F向＝F合＝mg·tanα＝m·h·tanα，解得T＝，故周期与α角无关，则选项A对，B、C错。又知F拉＝，故绳的拉力不同，选项D错。
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