人教版高中物理一轮复习课件：小专题复习课(3) 34页

(三)变力做功求解五法 命题研究功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=Flcosα,只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目.现结合例题分析变力做功的五种求解方法． 一、化变力为恒力求功变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W=Flcosα求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中. 【典例1】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在B、C两点的动能分别为EkB和EkC，图中AB=BC，则一定有() A.W1＞W2B.W1＜W2C.EkB＞EkCD.EkB＜EkC 【深度剖析】绳子对滑块做的功为变力做功，求解比较复杂，但可通过转换研究对象，由于绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子所做的功，因此，求绳子对滑块做的功时,可改求拉力F对绳子所做的功，这样就化为恒力做功. (1)W1与W2大小的比较如图所示，设滑块经A、B、C位置时左边的绳子的长度分别为l1、l2、l3，则滑块从A上升到B所做的功为W1=F(l1-l2)，滑块从B上升到C所做的功为W2=F(l2-l3)．过C点、A点分别作OA、OC的平行线CD、AD交于D点，OCDA为平行四边形，在△OCD中有l1+l3＞2l2，则l1-l2＞l2-l3，则W1＞W2，故A对、B错. (2)EkB与EkC的比较由于绳与杆的夹角逐渐变大，绳的拉力在竖直方向的分力逐渐变小，因此滑块的运动情况无法确定.可能整个过程滑块一直加速，也可能在A到B过程中加速，在B到C过程中减速.故C、D均错.答案：A 二、利用F-x图象求功若题目中给出了F-x图象或给出了F与x的函数关系，则变力做功可以通过F-x图象中图线和横轴所围成的面积解得. 【典例2】放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态.现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1=0.2m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2=0.4m的位移，其F-x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功. 【深度剖析】由F-x图象可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功,即W=×(0.6+0.4)×40J=20J.答案:20J 三、利用平均力求功当力的方向不变，而大小随位移线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解． 【典例3】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 【深度剖析】在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功.钉子在整个过程中受到的平均阻力为:钉子克服阻力做的功为:WF=Fl=kl2设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量:E总=nE0=kl2所以答案: 四、利用微元累积法求功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题. 【典例4】如图所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为Ff，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功. 【深度剖析】将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为Δs，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图所示，元功W′=FfΔs，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即W=∑W′=Ff∑Δs=2πRFf.答案:2πRFf 五、利用能量转化思想求功功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少．因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功.1.动能定理求变力做功动能定理表达式为W外=ΔEk，其中W外是所有外力做功的代数和，ΔEk是物体动能的增量．如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功. 【典例5】如图所示，质量m=1kg的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h=0.8m.物体到达B点时的速度为2m/s，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功. 【深度剖析】物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用:重力G、支持力FN和摩擦力Ff.由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力．但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功.由动能定理得:mgh+WFf=代入数据解得WFf=-5.84J.答案:-5.84J 2.用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律．如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解. 【典例6】如图所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功(g取10m/s2). 【深度剖析】由于斜面光滑,故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等．取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，由机械能守恒定律得:-W弹簧+0=mgh+解得:W弹簧=-(mgh+)=-125J.答案:-125J 3.利用W=Pt求功在功率给出且保持不变的情况下，利用W=Pt可求出变力所做的功. 【典例7】质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功.【深度剖析】汽车的功率不变，根据P=Fv知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用W=Fl求功，但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功WF=Pt=75×103×10J=7.5×105J再由动能定理得:Wf+WF=mv2-0所以Wf=mv2-WF=-5×105J答案:-5×105J 4.利用功能原理求功除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系统机械能的增量．若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒(即为机械能守恒定律). 【典例8】将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？【深度剖析】在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用W=Flcosα求解．该过程中，物体要经历如图所示的状态， 当矩形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为:由功能原理可知W外=ΔEp+ΔEk当ΔEk=0时，W外最小，为:W外=ΔEp=mgΔh=答案: 1.(化变力为恒力)如图所示,质量为2kg的木块套在光滑的竖直杆上,用60N的恒力F通过轻绳拉木块,木块在A点的速度vA=3m/s,则木块运动到B点的速度vB是多少?(木块可视为质点,g取10m/s2) 【解析】先取木块作为研究对象,则由动能定理得:①其中是轻绳上张力对木块做的功,由于力的方向不断变化,这显然是一个变力做的功,对象转换:研究恒力F的作用点,在木块由A运动到B的过程中,恒力F做的功它在数值上等于WT.故①式可变形为:代入数据解得vB=7m/s.答案:7m/s 2.(图象法)某物体同时受到F1、F2两个力的作用,F1、F2跟位移x的关系如图所示,物体从静止开始运动.求它的动能最大值. 【解析】由题图可知,力F1、F2都是变力,且前5m位移中,F1＞F2,物体做加速运动,所以x=5m时物体动能最大,设为Ekm,由动能定理得:Ekm-0=W1+W2.其中W1为力F1做的功,数值等于F1图线跟坐标轴及x=5m所围面积,即W1=J=37.5J;W2为F2做的功,数值等于F2图线跟坐标轴及x=5m所围面积,即W2=J=-12.5J,所以Ekm=37.5J-12.5J=25J.答案:25J