高中物理 模块要点回眸 第4点 纵谈单摆的衍变素材 沪科版选修3-4（通用） 4页

第4点　纵谈单摆的衍变 ‎ 单摆的周期公式T＝2π ，在一些情况中会有一些变化，l为悬点到质心的距离，g有时不是重力加速度，而是在某些情景中的等效重力加速度g′.‎ ‎1．等效加速度g′的变化引起单摆衍变 等效加速度通常有以下两种情况：‎ ‎(1)在其他星球表面g′＝，M、r分别为该星球的质量和半径．‎ ‎(2)单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a，g′＝g－a.‎ 在其他复杂物理环境中也可以这样计算：g′等于单摆静止时摆线的张力除以摆球的质量．‎ ‎2．摆长l的变化引起单摆的衍变 l为等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．‎ ‎(1)球的半径为r，双线摆的摆长l＝r＋Lcos α，如图1所示．‎ 图1‎ ‎(2)如图2所示，球在半径为R的光滑圆弧槽靠近最低点A振动(球的半径r≪R)：l＝R.‎ 图2‎ ‎3．摆动过程的不对称引起单摆的衍变 如图3所示，有一单摆绳长为L，在悬点正下方处有一个能挡住摆线的钉子，则此单摆摆动的周期为T＝(2π＋2π)＝(＋1)π .‎ 图3‎ 对点例题　如图4所示，倾角为θ的光滑斜面上，将单摆上端固定在O点，平衡位置在O′点做简谐运动时，周期为________．‎ 图4‎ 解题指导　摆球静止在平衡位置O′时，绳上的张力为F＝mgsin θ，所以g′＝＝gsin θ，故周期为T＝2π .‎ 答案　2π 规律总结　等效重力加速度g′在任何复杂的情况下都满足：g′等于单摆静止时摆线上的张力除以摆球的质量．‎ ‎1．如图5所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M≫m，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为(　　)‎ 图5‎ A．周期不变 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．逐渐变大 答案　B 解析　在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故答案选B.‎ ‎2．如图6，甲、乙、丙、丁四个单摆的摆长均为l，四个小球质量均为m，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，周期为T丙；单摆丁带正电，放在电场强度为E的匀强电场中，周期为T丁，则(　　)‎ 图6‎ A．T甲>T乙>T丙>T丁 B．T甲＝T丙>T乙>T丁 C．T乙>T甲＝T丙>T丁 D．T丁>T乙>T甲＝T丙 答案　C 解析　由题意知T甲＝2π；乙处在加速下降的电梯中，T乙＝2π；丙处在匀强磁场中，所受洛伦兹力始终沿绳方向，对单摆周期无影响，T丙＝2π；丁处在电场中，等效重力加速度g′＝，所以T丁＝2π .综上所述有T乙>T甲＝T丙>T丁．‎