2020学年高中物理 第五章 曲线运动 5 向心加速度学案 新人教版必修2 14页

‎5　向心加速度 学习目标 ‎1.理解向心加速度的概念．‎ ‎2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．‎ ‎3．能够运用向心加速度公式求解有关问题.‎ 考试要求 学考 选考 d d 一、向心加速度的方向 ‎1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度．‎ ‎2．向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响．‎ 二、向心加速度的大小 ‎1．向心加速度公式：‎ ‎(1)基本公式an＝＝ω2r.‎ ‎(2)拓展公式an＝r＝ωv.‎ ‎2．向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动．‎ ‎1．判断下列说法的正误．‎ ‎(1)匀速圆周运动的加速度始终不变．(×)‎ 14‎ ‎(2)匀速圆周运动是匀变速运动．(×)‎ ‎(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变．(√)‎ ‎(4)根据a＝知加速度a与半径r成反比．(×)‎ ‎(5)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比．(×)‎ ‎2．在长‎0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以‎0.6 m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为________，向心加速度为________．‎ 答案　3 rad/s　‎1.8 m/s2‎ 解析　角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s 小球运动的向心加速度an＝＝ m/s2＝‎1.8 m/s2.‎ 一、向心加速度及其方向 如图甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动．‎ ‎(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？‎ ‎(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？‎ ‎(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？‎ 答案　(1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化．运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用．‎ ‎(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心．小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心．‎ 14‎ ‎(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的．匀速圆周运动是一种变加速曲线运动．‎ 对向心加速度及方向的理解 ‎(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变．‎ ‎(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，对速度的大小无影响．‎ ‎(3)圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动．‎ 例1　下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)‎ A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 答案　B 解析　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C、D错误．‎ 二、向心加速度的大小 ‎1．向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝ωv.‎ ‎2．向心加速度与半径的关系，如图1所示．‎ 图1‎ 例2　(2018·浙江4月选考科目考试)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图2)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　　)‎ 图2‎ A．线速度大小之比为4∶3‎ B．角速度大小之比为3∶4‎ 14‎ C．圆周运动的半径之比为2∶1‎ D．向心加速度大小之比为1∶2‎ 答案　A 解析　时间相同，路程之比即线速度大小之比，故A项正确；运动方向改变的角度之比即对应扫过的圆心角之比，由于时间相同，角速度大小之比也为3∶2，B项错误；路程比除以角度比得半径比为8∶9，C项错误；由向心加速度an＝知线速度平方比除以半径比即向心加速度大小之比为2∶1，D项错误．‎ 例3　如图3所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列说法中正确的是(　　)‎ 图3‎ A．A、B两点具有相同的角速度 B．A、B两点具有相同的线速度 C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心 D．A、B两点的向心加速度之比为2∶1‎ 答案　A 解析　A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，＝＝＝，B错；＝＝，D错．‎ 例4　如图4所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)(　　)‎ 14‎ 图4‎ A．1∶2∶3 B．2∶4∶3‎ C．8∶4∶3 D．3∶6∶2‎ 答案　C 解析　因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率．根据向心加速度公式an＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同．根据向心加速度公式an＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故选C.‎ 讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：‎ ‎(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an＝，此时an与r成反比．‎ ‎(2)同轴传动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r，此时an与r成正比．‎ ‎1．(向心加速度公式)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　)‎ A．由an＝可知，an与r成反比 B．由an＝ω2r可知，an与r成正比 C．由v＝ωr可知，ω与r成反比 D．由ω＝2πf可知，ω与f成正比 答案　D 解析　质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为D.‎ ‎2．(向心加速度公式的应用)(2017·绍兴市9月选考科目适应性考试)如图5所示为一磁带式放音机的转动系统，在倒带时，主动轮以恒定的角速度逆时针转动．P和Q分别为主动轮和从动轮边缘上的点，则(　　)‎ 14‎ 图5‎ A．主动轮上的P点线速度方向不变 B．主动轮上的P点线速度逐渐变大 C．主动轮上的P点的向心加速度逐渐变大 D．从动轮上的Q点的向心加速度逐渐增大 答案　D 解析　圆周运动的线速度方向时刻变化，A错误；P点线速度vP＝ωrP，因为ω不变，rP不变，故vP大小不变，B错误；同理由aP＝ω2rP知，C错误；由于主动轮边缘线速度增大，则从动轮边缘线速度也逐渐增大，而半径减小，由ω′＝知，从动轮角速度增大，由aQ＝ω′2rQ知，aQ增大，D正确．‎ ‎3.(传动装置中向心加速度的计算)(2018·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)科技馆的科普器材中常有如图6所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮．若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是(　　)‎ 图6‎ A．小齿轮和大齿轮转速相同 B．小齿轮每个齿的线速度均相同 C．小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍 D．大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮每个齿的向心加速度大小的3倍 答案　C 解析　因为大齿轮和小齿轮相扣，故大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，小齿轮的每个齿的线速度方向不同，B错误；根据v＝ωr可知，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍，根据ω＝2πn可知，小齿轮转速是大齿轮转速的3倍，A错误，C正确；根据an＝，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍，可知小齿轮每个齿的向心加速度的大小是大齿轮每个齿的向心加速度大小的3倍，D错误．‎ 14‎ ‎【考点】对向心加速度的理解 ‎【题点】向心加速度的大小及向心加速度公式的理解 ‎4.(传动装置中向心加速度的计算)自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，如图7所示．当自行车正常骑行时A、B、C三轮边缘上的点的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于(　　)‎ 图7‎ A．1∶1∶8 B．4∶1∶4‎ C．4∶1∶32 D．1∶2∶4‎ 答案　C 解析　由于A轮和C轮共轴，故两轮角速度相同，由an＝Rω2可得，aA∶aC＝1∶8；由于A轮和B轮是链条传动，故A、B两轮边缘上点的线速度相等，由an＝，可得aA∶aB＝4∶1，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，C正确．‎ ‎【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 ‎【题点】与向心加速度有关的综合传动问题 一、选择题 考点一　对向心加速度的理解 ‎1．关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)‎ A．由an＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定 B．匀速圆周运动不属于匀速运动 C．向心加速度越大，物体速率变化越快 D．做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心 答案　B 解析　向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A错误；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B正确；向心加速度不改变速率，C错误；只有做匀速圆周运动的物体的加速度才时刻指向圆心，D错误．‎ ‎【考点】对向心加速度的理解 14‎ ‎【题点】向心加速度的意义 ‎2.如图1所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一支，由图可知(　　)‎ 图1‎ A．A物体运动的线速度大小不变 B．A物体运动的角速度大小不变 C．B物体运动的角速度大小是变化的 D．B物体运动的线速度大小不变 答案　A 解析　根据an＝知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图象为双曲线的一支；根据an＝rω2知，当角速度ω大小为定值时，an与r成正比，其图象为过原点的倾斜直线，所以A正确．‎ ‎【考点】对向心加速度的理解 ‎【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解 ‎3.如图2所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块(　　)‎ 图2‎ A．加速度为零 B．加速度恒定 C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心 答案　D 解析　由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．‎ ‎【考点】对向心加速度的理解 ‎【题点】向心加速度的方向 ‎4.(多选)一小球质量为m，用长为L的悬线(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O 14‎ 点正下方处钉有一颗光滑小钉子．如图3所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则(　　)‎ 图3‎ A．小球的角速度突然增大 B．小球的线速度突然减小到零 C．小球的向心加速度突然增大 D．小球的向心加速度不变 答案　AC 解析　由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由an＝知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误．‎ ‎【考点】对向心加速度的理解 ‎【题点】对向心加速度的大小及向心加速度公式的理解 考点二　向心加速度的大小 ‎5．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动的周期之比为3∶4，则它们的向心加速度之比为(　　)‎ A．1∶4 B．4∶1‎ C．4∶9 D．9∶4‎ 答案　B 解析　根据题意＝，＝，由an＝r得：＝·2＝×＝4，B选项正确．‎ ‎【考点】向心加速度公式的有关计算 ‎【题点】向心加速度有关的比值问题 ‎6.(多选)如图4所示，一小物块以大小为an＝‎4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝‎1 m，则下列说法正确的是(　　)‎ 14‎ 图4‎ A．小物块运动的角速度为2 rad/s B．小物块做圆周运动的周期为π s C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m D．小物块在π s内通过的路程为零 答案　AB 解析　因为an＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，周期T＝＝π s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移大小为 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误．‎ ‎【考点】向心加速度公式的有关计算 ‎【题点】应用向心加速度公式的计算 考点三　传动装置中向心加速度大小的比较 ‎7.(2018·浙江省名校新高考研究联盟第三次联考)如图5所示是我国自己独立研制的“直‎11”‎系列直升机，是一种小吨位直升机，用来当做轻型武装直升机或运输机．在直升机螺旋桨上有A、B、C三点，其中A、C在叶片的端点，B在叶片的中点．当叶片转动时，这三点(　　)‎ 图5‎ A．线速度大小都相等 B．线速度方向都相同 C．角速度大小都相等 D．向心加速度大小都相等 答案　C ‎8．(2018·台州市临海白云高中期末考试)如图6所示，两轮用皮带传动，假设皮带不打滑，图中A、B、C三点所在处半径rA＞rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的大小关系正确的是(　　)‎ 图6‎ A．aA＝aB B．aC＞aA C．aA＜aB D．aC＝aB 答案　C 14‎ 解析　A、B两点线速度大小相等，根据an＝得：rA＞rB，则aA＜aB，故A错误，C正确．A、C两点角速度大小相等，根据an＝rω2得：rA＞rC，则aA＞aC，可知aB＞aC.故B、D错误．‎ ‎9. (多选)如图7所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，θ＝30°，则(　　)‎ 图7‎ A．a、b两点的线速度相同 B．a、b两点的角速度相同 C．a、b两点的线速度之比va∶vb＝2∶ D．a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝∶2‎ 答案　BD 解析　球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B对；因为a、b两点做圆周运动的半径不同，rb＞ra，根据v＝ωr知vb＞va，A错；θ＝30°，设球半径为R，则rb＝R，ra＝Rcos 30°＝R，故＝＝，C错；又根据an＝ω2r知＝＝，D对．‎ ‎【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 ‎【题点】与向心加速度有关的同轴传动问题 ‎10.如图8所示，A、B是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为RA＝2RB，则两轮边缘上的(　　)‎ 图8‎ A．角速度之比ωA∶ωB＝2∶1‎ B．周期之比TA∶TB＝1∶2‎ C．转速之比nA∶nB＝1∶2‎ D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1‎ 答案　C 14‎ 解析　两轮边缘上的线速度相等，由ω＝知，ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A错．由T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，B错．由ω＝2πn知，nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，C对．由an＝知，aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，D错．‎ ‎【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 ‎【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题 ‎11.如图9所示为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A、B分别为大轮和小轮边缘上的点．以压路机为参考系，在压路机前进时(　　)‎ 图9‎ A．A、B两点的线速度大小之比vA∶vB＝1∶1‎ B．A、B两点的线速度大小之比vA∶vB＝3∶2‎ C．A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶2‎ D．A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝3∶2‎ 答案　A 解析　由题意可知vA∶vB＝1∶1，故A对，B错；又由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，故C错；又由an＝得：aA∶aB＝rB∶rA＝2∶3，故D错．‎ ‎【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 ‎【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题 二、非选择题 ‎12.(向心加速度公式的应用)飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以看成圆弧，如图10所示，如果这段圆弧的半径r＝‎800 m，飞行员能承受的向心加速度最大为‎8g，则飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g＝‎10 m/s2)‎ 图10‎ 答案　‎80 m/s 解析　飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过‎8g才能保证飞行员安全，由an＝得v＝＝ m/s＝‎80 m/s.故飞机在最低点P的速率不得超过 14‎ ‎80 m‎/s.‎ ‎【考点】向心加速度公式的有关计算 ‎【题点】应用向心加速度公式的计算 ‎13．(向心加速度的计算)如图11所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动．若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度大小为‎4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度大小．‎ 图11‎ 答案　3.14 rad/s　‎1.53 m　‎15.1 m/s2‎ 解析　男女运动员的转速、角速度是相同的．‎ 由ω＝2πn得ω＝ rad/s＝3.14 rad/s 由v＝ωr得r＝＝ m≈‎‎1.53 m 由an＝ω2r得an＝3.142×‎1.53 m/s2≈‎15.1 m/s2.‎ ‎【考点】向心加速度公式的有关计算 ‎【题点】应用向心加速度公式的计算 ‎14．(向心加速度的计算)如图12所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小．(重力加速度为g)‎ 图12‎ 答案　π‎2g 解析　设乙下落到A点所用时间为t，‎ 则对乙，满足R＝gt2，得t＝ ，‎ 这段时间内甲运动了T，即 T＝ ①‎ 14‎ 又由于an＝ω2R＝R②‎ 由①②得an＝π‎2g.‎ ‎【考点】向心加速度公式的有关计算 ‎【题点】应用向心加速度公式的计算 14‎