高考物理重点难点例析专题16电磁感应中的电路问题 9页

专题十六 电磁感应中的电路问题 重点难点 在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，则导体 或回路就相当于电源．将它们接上电阻或用电器可以对用电器供电，接上电容器可以使电容 器充电． 解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即 把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电 路．感应电动势的大小相当于电源电动势．其余部分相当于外电路，并画出等效电路图． 规律方法 【例 1】如图（a）所示的螺线管的匝数 n=1500，横截面 积 S=20cm2 ，电阻 r=1.5Ω，与螺线管串联的外电阻 R1=10Ω， R2=3.5Ω．若穿过螺线管的磁场的磁感应强度按图（b）所 示的规律变化，计算 R1上消耗的电功率． 【解析】由磁感应强度变化规律图象可知，螺线管中磁场磁感强度的变化率为 2B t    T/s 通电螺线管产生的感应电动势为 6BE n nS t t        V 电路中感应电流大小为 1 2 6 10 3.5 1.5 EI R R r       A=1A 所以 R1上消耗的电功率为 2 1 10P I R W  ． 训练题如图所示，是用于观察自感现象的电路，设线圈的自感系数 较大，线圈的直流电阻 RL与小灯泡的电阻 R 满足 R L＜R．则在电键 S 由 闭合到断开瞬间，可以观察到 （ C ） A．灯泡立即熄灭 B．灯泡逐渐熄灭，不会闪烁 C．灯泡有明显的闪烁现象 D．灯泡会逐渐熄灭，但不一定有闪烁现象 【例 2】如图所示，MN、PQ 为两平行金属导轨，M、P 间连有一阻值为 R 的电阻，导轨处 于匀强磁场中，磁感应强度为 B，磁场方向与导轨所在平面垂直，图中磁场垂直纸面向里．有 一金属圆环沿两导轨滑动，速度为υ，与导轨接触良好，圆环的直径 d 与两导轨间的距离相 等．设金属环与导轨的电阻均可忽略，当金属环向右做匀速运动时 （ B ） A．有感应电流通过电阻 R，大小为 dB R   B．有感应电流通过电阻 R，大小为 dB R  C．有感应电流通过电阻 R，大小为 2dB R  D．没有感应电流通过电阻 R 训练题据报道，1992 年 7 月，美国"阿特兰蒂斯"号航天飞机进行了一项卫星悬绳发电实 验，实验取得了部分成功．航天飞机在地球赤道上空离地面约 3000 km 处由东向西飞行，相 对地面速度大约 6.5×10 3 m/s，从航天飞机上向地心方向发射一颗卫星，携带一根长 20 km， 电阻为 800 Ω的金属悬绳，使这根悬绳与地磁场垂直，做切割磁感线运动．假定这一范围内 的地磁场是均匀的．磁感应强度为 4×10-5T，且认为悬绳上各点的切割速度和航天飞机的速度 相同．根据理论设计，通过电离层（由等离子体组成）的作用，悬绳可以产生约 3 A 的感应 电流，试求： （1）金属悬绳中产生的感应电动势； （2）悬绳两端的电压； （3）航天飞机绕地球运行一圈悬绳输出的电能（已知地球半径为 6400 km）． 答案：（1）E=5．2×10 3 V （2）U=2．8×103V （3）E / =7．6×10 7 V 【例 3】在磁感应强度为 B=0.4 T 的匀强磁场中放一个半径 r0=50 cm 的圆形导轨，上面 搁有互相垂直的两根导体棒，一起以角速度ω=10 3 rad/s 逆时针匀速 转动．圆导轨边缘和两棒中央通过电刷与外电路连接，若每根导体棒 的有效电阻为 R0=0.8 Ω，外接电阻 R=3.9 Ω，如图所示，求： （1）每半根导体棒产生的感应电动势； （2）当电键 S接通和断开时两电表示数（假定 RV→∞，RA→0）． 【解析 】（ 1）每 半根 导体 棒产 生的 感应 电动势 为 E1= Bl = 2 1 BI2 ω= 2 1 ×０.4×10 3 ×（0.5） 2 V＝50 V. （2）两根棒一起转动时，每半根棒中产生的感应电动势大小相同、方向相同，相当于四 个电动势和内阻相同的电池并联，得总的电动势和内电阻为 E＝E1＝50 V，r= 2 1 4 1  R0＝0.1 Ω 当电键 S 断开时，外电路开路，电流表示数为零，电压表示数等于电源电动势，为 50 V. 当电键 S′接通时，全电路总电阻为 R′=r+R=（0.1+3.9）Ω=4Ω. 由全电路欧姆定律得电流强度（即电流表示数）为 I＝ 4 50   Rr E A=12.5 A． 此时电压表示数即路端电压为 U=E-Ir=50-12.5×0.1 V＝48.75 V（电压表示数） 或 U＝IR＝12.5×3.9 V＝48.75 V． 训练题图中MN和 PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m， 电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度 B 为 0.50T 的匀强磁场垂直．质量 m 为 6.0×10 -3 kg、电阻为 1.0Ω的金属杆 ab 始终垂直于导轨，并与其保持光滑 接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为 3.0Ω的电阻 R1．当杆 ab 达到 稳定状态时以速率υ匀速下滑，整个电路消耗的电功率 P为 0.27W，重力加速 度取 10m/s2，试求速率υ和滑动变阻器接入电路部分的阻值 R2． 答案：v=4．5m/s R2=6．0Ω 【例 4】如图所示，长平行导轨 PQ、MN 光滑，相距 5.0l m，处在同一水平面中，磁感 应强度 B=0.8T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线 ab 的质量 m =0.1kg、 电阻 R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关 S 将电动势 E =1.5V、内电阻 r =0.2Ω的电 池接在 M、P 两端，试计算分析： （1）在开关 S刚闭合的初始时刻，导线 ab 的加速度多大？随后 ab 的加速度、速度如何 变化？ （2）在闭合开关 S 后，怎样才能使 ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？试描 述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）． 【解析】（1）在 S 刚闭合的瞬间，导线 ab 速度为零，没有电磁 感应现象，由 a到 b 的电流 0 1.5E I R r   A，ab 受安培力水平向右， 此时瞬时加速度 0 0 0 6F BI l m ma   m/s2． ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为υ时，感应电动势 BlvE ' ， 根据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比 b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电 路中的电流（顺时针方向， 'E E R rI   ）将减小（小于 I0=1.5A），ab 所受的向右的安培力随之 减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势 E 随速度的增大而增 大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势 'E 与电池电 动势 E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时 ab 的速度达到最大值， 随后则以最大速度继续向右做匀速运动． 设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知： 0mE Bl  所以 1.5 0.8 0.5m E Bl     m/s=3.75m/s． （2）如果 ab 以恒定速度 7.5  m/s 向右沿导轨运动，则 ab 中感应电动势 5.75.08.0'  BlvE V=3V 由 于 'E ＞ E ， 这 时 闭 合 电 路 中 电 流 方 向 为 逆 时 针 方 向 ， 大 小 为 ： 2.08.0 5.13' '       rR EEI A=1.5A 直导线 ab 中的电流由 b 到 a，根据左手定则，磁场对 ab 有水平向左的安培力作用，大小 为 5.15.08.0''  BlIF N=0.6N 所以要使 ab 以恒定速度 5.7v m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力 6.0F N 作用于 ab． 上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于 ab 的恒力（F）的功率： 5.76.0  FvP W=4.5W ②电阻（R +r）产生焦耳热的功率： )2.08.0(5.1)( 22'  rRIP W=2.25W ③逆时针方向的电流 'I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收 能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率： ' ' 1.5 1.5P I E   W=2.25W 由上看出， ''' PPP  ，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）． 训练题如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为 r0， 导轨的端点 P、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为 l．有垂直纸面向里的非匀强 磁场，其磁感应强度沿 y 方向大小不变，沿 x方向均匀增强，即有B kx ，其中 k为常数．一 根质量为 m，电阻不计的金属杆 MN 可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中 始终保持与导轨 垂直．在 t＝0 时刻，金属杆 MN 紧靠在 P、Q 端，在外力 F 作用下，杆以恒定的加速度a从静 止开始向导轨的另一端滑动．求 （1）在 t时刻金属杆 MN 产生的感应电动势大小； （2）在 t时刻流经回路的感应电流大小和方向； （3）在 t时刻金属杆 MN 所受的安培力大小． 答案：（1）E=skla 2 t 3 /2 （2）I=klat/2r0 方向逆时针 （3）F=k 2 a 2 l 2 t 3 /4r0 能力训练 1．如图所示，两根相距 l的平行直导轨 ab、cd，b、d 间连有一固 定电阻 R，导轨电阻可忽略不计．MN 为放 ab 和 cd 上的一导体杆，与 ab × × × × × × v M d c b a R N 垂直，其电阻也为 R．整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为 B，磁场方向垂直于导 轨所在平面（指向图中纸面内）．现对 MN 施加一力使它沿导轨方向以速度υ做匀速运动．用 U 表示 MN 两端电压大小，则（ A ） A．U=Blυ/2，流过固定电阻 R 的感应电流由 b到 d B．U=Blυ/2，流过固定电阻 R 的感应电流由 d到 b C．U=Blυ，流过固定电阻 R的感应电流由 b 到 d D．U=Blυ，流过固定电阻 R的感应电流由 d 到 b 2．在图甲、乙、丙中，除导体棒 ab 可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器 C 原来不带电．设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计， 图中装置均在水平面面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足 够长．现给导体棒 ab 一个向右的初速度 v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒 ab 的最终运动 状态是（ B ） A．三种情形下导体棒 ab 最终都做匀速运动 B．甲、丙中，ab 棒最终将以不同速度做匀速运动；乙中，ab 棒最终静止 C．甲、丙中，ab 棒最终将以相同速度做匀速运动；乙中，ab 棒最终静止 D．三种情形下导体棒 ab 最终都做静止 3．在方向水平的、磁感应强度为 0.5 T 的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道 cd、 ef，其宽度为 1 m，其下端与电动势为 12 V、内电阻为 1 Ω的电源相接，质量为 0.1 kg 的金 属棒 MN 的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻 不计，g=10 m／s 2 ，从 S 闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中 （ CD ） A．电源所做的功等于金属棒重力势能的增加 B．电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热 C．匀速运动时速度为 20 m／s D．匀速运动时电路中的电流强度大小是 2 A 4．如图所示，由一根绝缘导线绕成半径相同的两个小圆组成的“∞”形线圈水平放置， 匀强磁场方向与线圈平面垂直．若将磁场的磁感应强度由 B 增强至 2B 的过程中有电量 Q 通过线圈，则下列过程中不能使线圈中通过电 E C a × × × × × × v0 B R b a × × × × × × v0 B R b a × × × × × × v0 B R b 甲 乙 丙 量为 Q 的有 （ B ） A．保持 B不变，将线圈平面翻转 90° B．保持 B不变，将线圈平面翻转 180° C．保持 B不变，将线圈的一个小圆平面翻转 180° D．保持 B不变，将线圈拉大成一个大圆 5．放在绝缘水平面上的两条平行导轨 MN 和 PQ 之间宽 度为 L，置于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，B 的方向垂直 于导轨平面，导轨左端接有阻值为 R的电阻，其它部分电阻 不计．导轨右端接一电容为 C 的电容器，长为 2L 的金属棒 放在导轨上与导轨垂直且接触良好，其 a 端放在导轨 PQ 上．现将金属棒以 a端为轴，以角速度沿导轨平面顺时针 旋转 90 角，如图 1 所示．求这个过程中通过电阻 R的总电 量是多少？（设导轨长度比 2L 长得多） 解析：从 ab 棒以 a 端为轴旋转切割磁感线，直到 b 端脱离导轨的过程中，其感应电动势 不断增大，对 C 不断充电，同时又与 R 构成回路． 通过 R 的电量 R SB rR nq      ）（ ． 2 2 33· 2 1 LLLS  ． 根据以上两式得 R BLq 2 3 2  ． 当 ab 棒运动到 b’时，电容 C上所带电量为 CCUq ' , 此时 mC EU  ，而 22 2 2 BLvLBEm  , 所以 CBLq 22' ． 当 ab 脱离导轨后，C 对 R 放电，通过 R 的电量为 q’，所以整个过程中通过 R 的总电量 为 )2 2 3(2 2 3' 22 2 C R BLCBL R BLqqq  总 ． 6．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度 40.0B T，OCA 导轨与 OA 直导 轨分别在 O 点和 A 点接一阻值  0.31R 和  0.62R 几何尺 寸可忽略的定值电阻，导轨 OCA 的曲线方程为 ) 3 sin(0.1 xy   （m）．金属棒 ab 长 1.5 米，以速度 0.5v m/s 水平向右匀速运 动（b 点始终在 x轴上）．设金属棒与导轨接触良好，摩擦不计， 电路中除了电阻 R1和 R2外，其余电阻均不计，曲线 OCA 与 x 轴 M P R N Q C a b M P R N Q C a b D b’ 30° a b y/ m x/ mO C A R1 R21.5 3.0 1.0 × × × × × × × × × × × × × × × × 之间所围面积约为 1.9m2，求： （1）金属棒在导轨上运动时 R1的最大功率； （2）金属棒在导轨上运动从 0x 到 3x m 的过程中通过金属棒 ab 的电量； （3）金属棒在导轨上运动从 0x 到 3x m 的过程中，外力必须做多少功？ 答案：ab 棒等效为电源，R1、R2并联，所以总电阻 21 21 RR RRR  总 ． （1）R1的功率 1 2 1 R EP  ． 当 vByEE mm  时，有 R1的最大功率 1 2 1 2 1 )( R vBy R E P mm m  ． 代入数据得 33.11 mP W． （2）将 OA 分成 n 份长度为Δx 的小段，每一小段中金属棒的有效长度可认为是一定的， 设为 ),3,2,1( niyi ， ．由于金属棒向右匀速运动，设金属棒每通过Δx 的位移所用的时 间为Δt． 金属棒每通过Δx 的位移，通过其电量的表达式 总总 R xBy v x R vBy tIq ii ii     · ， 其中 xyi 为金属棒每通过Δx 的所扫过的有效面积，设为 is ，所以 总R Bs q i i  ． 金属棒在导轨上运动从 0x 到 mx 3 的过程中通过金属棒 ab 的电量 总总 R BS R Bs qq n i i n i i    11 ， 式中 S 即为题目中曲线 OCA 与 x 轴之间所围的面积． 代入数据得 38.0q C． （3）因为 0.4 5 sin 2sin 2sin 3 3 3 x x vte Byv          所以，ab 棒产生的是正弦式交变电流，且 2mE V． 由 2 mEE 有效 ． 得金属棒在导轨上从 0x 到 mx 3 的过程中 R1、R2产生的热量 v x R E Q m· 2 总 有效 ， 由 QWF  ．代入数据得 6.0FW J． 7．半径为 a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感应强度为 B=0.2T，磁场方向垂直纸 面向里，半径为 b 的金属圆环面垂直，其中 a＝0.4m，b＝0.6m.金属环上分别接有 灯 L1、L2，两灯的电阻均为 R0＝2Ω，一金属棒 MN 与金属环接触良好，棒与环的电 阻均忽略不计. （1）若棒以 v0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径 OO 的 瞬时，（如图），MN 中的电动势和流过灯 L1的电流. （2）撤去中间的金属棒 MN，将右面的半圆环 OOL 2 以 OO 为轴向上翻转 90o，若此时磁 场随时间均匀变化，其变化率为 sT t B /4     ，求 L1的功率. 答案：（1）棒滑过圆环直径时切割磁感线的有效长度 L＝2a，棒中产生的感应电动势为 E＝BLv＝0.2×2×0.4×5V＝0.8V 当不计棒与环的电阻时，直径 OO 两端的电压 U＝E＝0.8V，所以通过灯 L1的电流为 I1＝ AA R U 4.0 2 8.0 0  （2）右半圆环向上翻转 90o后，穿过回路的磁场有效面积变为原来的一半，即 S ＝ 2 2 1 a . 磁场变化时在回路中产生的感应电动势为 Va t BS t E   4 2 1 2        ＝2×（0.4） 2 V＝0.32V 由于 L1、L2两灯相同，圆环电阻不计，所以每灯的电压均为 EU  2 1 ，L1的功率为 P1＝ WW R E R U 2 2 0 2 0 2 1028.1 2 61.0) 2 1(     8．如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为 2L，右边两导轨间 的距离为 L，左右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为 B、方向竖直向下的匀强 磁场。ab、cd 两均匀的导体棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab 棒的质量为 2m，电阻为 2r，cd 棒的质量为 m，电阻为 r，其它部分电阻不计。原来两棒均 处于静止状态，cd 棒在沿导轨向右的水平恒力 F 作用下开始运动， 设两导轨足够长，两棒都不会滑出各自的轨道。 ⑴试分析两棒最终达到何种稳定状态？此状态下两棒的加速 度各多大？ ⑵在达到稳定状态时 ab 棒产生的热功率多大？ 答案：⑴cd 棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为 I， cd 和 ab 棒分别受到的安培力为 F1、F2，速度分别为 v1、v2,加速度分别为 a1、a2,则 r vvBL r BLvBLv r EI 3 )2( 3 2 3 2121     F1=BIL F2=2BIL m BILFa  1 m BIL m BILa  2 2 2 开始阶段安培力小，有 a1>>a2，cd 棒比 ab 棒加速快得多，随着（v1-2v2）的增大，F1、F2 增大，a1减小、a2增大。当 a1=2a2时，（v1-2v2）不变，F1、F2也不变，两棒以不同的加速度匀 加速运动。将③式代入可得两棒最终作匀加速运动加速度： m Fa 3 2 1  m Fa 32  ⑵两棒最终处于匀加速运动状态时 a1=2a2，代入③式得： BL FI 3  此时 ab 棒产生的热功率为： 22 2 2 9 22 LB rFrIP 