2020版高考物理复习考点规范练 (13) 8页

考点规范练13　万有引力定律及其应用 一、单项选择题 ‎1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程,下列说法正确的是(　　)‎ A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律 B.开普勒指出,地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力 C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度,对万有引力定律进行了“月地检验”‎ D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量,得出了引力常量的数值 答案D 解析开普勒对天体的运行做了多年的研究,最终得出了行星运行三大定律,故A错误;牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力作用,引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比,故B错误;牛顿通过比较月球公转的周期,根据万有引力充当向心力,对万有引力定律进行了“月地检验”,故C错误;牛顿发现了万有引力定律之后,第一次通过实验准确地测出万有引力常量的科学家是卡文迪许,故D正确。‎ ‎2.静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动,下列说法正确的是(　　)‎ A.物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B.物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C.物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D.物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 答案B 解析物体受到的万有引力和支持力的合力提供物体随地球运动的向心力,指向物体随地球做圆周运动的轨道的圆心,不一定是地心,所以A错;物体随地球自转,所以周期一定等于地球自转周期,B对;圆周运动的加速度和重力加速度只有在赤道上时方向相同,所以C错;物体受到的万有引力和物体对地面的压力只有在南北极和赤道上方向相同,所以D错。‎ 8‎ ‎3.嫦娥三号携带玉兔号月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察,并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。玉兔号在地球表面的重力为G1,在月球表面的重力为G2;地球与月球均视为球体,其半径分别为R1、R2;地球表面重力加速度为g。则(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.月球表面的重力加速度为G‎1‎gG‎2‎ B.地球与月球的质量之比为G‎2‎R‎2‎‎2‎G‎1‎R‎1‎‎2‎ C.月球与地球的第一宇宙速度之比为G‎1‎R‎1‎G‎2‎R‎2‎ D.嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2πG‎1‎R‎2‎G‎2‎g 答案D 解析玉兔号的质量为m=G‎1‎g,所以月球表面的重力加速度为g'=G‎2‎m‎=‎gG‎2‎G‎1‎,A错误;根据黄金代换公式GM=gR2,可得M地M月‎=gR‎1‎‎2‎g'‎R‎2‎‎2‎=‎G‎1‎R‎1‎‎2‎G‎2‎R‎2‎‎2‎,B错误;第一宇宙速度v=gR,所以在月球上与地球上的第一宇宙速度之比为v‎2‎v‎1‎‎=‎G‎2‎R‎2‎G‎1‎R‎1‎,C错误;根据万有引力GMmr‎2‎=m‎4‎π‎2‎T‎2‎r,嫦娥三号环绕月球表面做匀速圆周运动,所以轨道半径等于月球半径R2,代入得T=2πG‎1‎R‎2‎G‎2‎g,D正确。‎ ‎4.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2∶‎7‎。已知该行星质量约为地球的7倍,地球的半径为R。由此可知,该行星的半径约为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎R B.‎7‎‎2‎R C.2R D.‎7‎‎2‎R 答案C 解析平抛运动在水平方向上做匀速直线运动,即x=v0t,在竖直方向上做自由落体运动,即h=‎1‎‎2‎gt2,所以x=v0‎2hg,两种情况下,抛出的速率相同,高度相同,所以g行g地‎=‎‎7‎‎4‎,根据公式GMmR‎2‎=mg可得g=GMR‎2‎,故g行g地‎=M行R行‎2‎M地R地‎2‎=‎‎7‎‎4‎,解得R行=2R,故C正确。‎ 8‎ ‎5.过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的‎1‎‎20‎。则该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)‎ A.‎1‎‎10‎ B.1 C.5 D.10‎ 答案B 解析行星绕中心恒星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由万有引力提供向心力得GMmr‎2‎=m‎4‎π‎2‎T‎2‎r,则M‎1‎M‎2‎=r‎1‎r‎2‎3·T‎2‎T‎1‎2=‎1‎‎20‎3×‎365‎‎4‎2≈1,选项B正确。‎ ‎6.(2018·河南洛阳期中)理论上认为质量分布均匀的球壳对球壳内的物体的万有引力为零,如图所示,一半径为R、质量分布均匀的实心球,O为球心,以O点为原点建立坐标轴Ox。质量一定的小物块(可视为质点)沿坐标Ox运动,则小物体在坐标x1=‎1‎‎2‎R与x2=‎3‎‎2‎R处所受到实心球对它的万有引力分别为F1、F2,则F1、F2的比值为(　　)‎ A.9∶8 B.8∶9‎ C.1∶9 D.9∶1‎ 答案A 解析设地球的密度为ρ,地球的质量为M,则有M=ρ·‎4‎‎3‎πR3。‎ 在x1=‎1‎‎2‎R处,小物块受到的引力为F1=GM'mR‎2‎‎2‎,其中M'=ρ·‎4‎‎3‎πR‎2‎‎3‎,可得F1=GMm‎2‎R‎2‎;在x2=‎3‎‎2‎R处,小物块受到的引力为F2=GMm‎3R‎2‎‎2‎,所以F1∶F2=9∶8,故A正确,B、C、D错误。‎ ‎7.假设地球可视为质量分布均匀的球体,已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。则地球的密度为(　　)‎ A.‎3π(g‎0‎-g)‎g‎0‎GT‎2‎ B.‎‎3πg‎0‎GT‎2‎(g‎0‎-g)‎ C.‎3πGT‎2‎ D.‎‎3πg‎0‎gGT‎2‎ 8‎ 答案B 解析在地球两极万有引力等于重力,即mg0=GMmR‎2‎,由此可得地球质量M=g‎0‎R‎2‎G。在赤道处万有引力与支持力的合力提供向心力,由牛顿第二定律得GMmR‎2‎-mg=m‎4‎π‎2‎T‎2‎R,而密度公式ρ=MV,ρ=g‎0‎R‎2‎G‎4‎‎3‎πR‎3‎‎=‎‎3πg‎0‎GT‎2‎(g‎0‎-g)‎,故B正确。‎ ‎8.(2018·安徽安庆期末)金星是天空中较亮的星,其大小、质量、密度都与地球非常接近,其半径约为地球半径的0.95,质量约为地球质量的0.82,而且两者几乎都由同一星云同时形成,天文学家将它们当作姐妹行星。金星绕太阳运行的轨道在地球绕太阳运行的轨道以内。关于地球和金星(行星的运动近似看作匀速圆周运动),下列说法正确的是(　　)‎ A.金星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 B.金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期 C.金星做匀速圆周运动的加速度小于地球做匀速圆周运动的加速度 D.金星做匀速圆周运动的线速度小于地球做匀速圆周运动的线速度 答案B 解析由GMmR‎2‎‎=‎mv‎2‎R,得行星的第一宇宙速度表达式v=GMR,已知金星半径约为地球半径的0.95、质量约为地球质量的0.82,则v‎1‎v‎2‎‎=GM‎1‎R‎1‎GM‎2‎R‎2‎=M‎1‎M‎2‎‎·‎R‎2‎R‎1‎=‎‎0.82‎‎0.95‎=0.93,金星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度,故A错误;因为金星半径r金小于地球半径r地,根据开普勒第三定律r金‎3‎T金‎2‎‎=‎r地‎3‎T地‎2‎,可知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期,故B正确;根据万有引力定律GM太mr‎2‎=ma,可得a=GM太r‎2‎,G和太阳质量M太均为定值,故r越大向心加速度越小,故金星做匀速圆周运动的加速度大于地球做匀速圆周运动的加速度,故C错误;根据万有引力定律GM太mr‎2‎=mv‎2‎r,可得v=GM太r,G和太阳质量M太均为定值,故r越大线速度越小,故金星做匀速圆周运动的线速度大于地球做匀速圆周运动的线速度,故D错误。‎ 二、多项选择题 8‎ ‎9.(2018·河南许昌期末)由多颗星体构成的系统,叫作多星系统。有这样一种简单的四星系统:质量刚好都相等的四个星体A、B、C、D,A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点上,D位于等边三角形的中心。在四者相互之间的万有引力作用下,D静止不动,A、B、C绕共同的圆心D在等边三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动。若四个星体的质量均为m,三角形的边长为a,引力常量为G,则下列说法正确的是(　　)‎ A.A、B、C三个星体做圆周运动的半径均为‎3‎‎2‎a B.A、B两个星体之间的万有引力大小为Gm‎2‎a‎2‎ C.A、B、C三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为‎(‎3‎+3)Gma‎2‎ D.A、B、C三个星体做圆周运动的周期均为2πaa‎(3+‎3‎)Gm 答案BC 解析由几何关系知,它们的轨道半径为r=a‎2‎‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎‎3‎a,故A错误;根据万有引力定律可得A、B两个星体之间的万有引力大小为F=Gm‎2‎a‎2‎,故B正确;设向心加速度为a0,其中一颗星受到其他两颗星的万有引力的合力与中间D星给的万有引力的合力提供向心力,F=Gm‎2‎r‎2‎‎+‎3‎Gm‎2‎a‎2‎=ma0,轨道半径为r=‎3‎‎3‎a,联立可得向心加速度大小a0=‎(‎3‎+3)Gma‎2‎,故C正确;万有引力的合力提供向心力,F=Gm‎2‎r‎2‎‎+‎3‎Gm‎2‎a‎2‎=m‎4‎π‎2‎T‎2‎r,联立可得三个星体做圆周运动的周期T=2πaa‎3(1+‎3‎)Gm,故D错误。‎ ‎10.‎ 8‎ 如图所示,两星球相距为l,质量之比为mA∶mB=1∶9,两星球半径远小于l。沿A、B连线从星球A向B以某一初速度发射一探测器,只考虑星球A、B对探测器的作用。下列说法正确的是(　　)‎ A.探测器的速度一直减小 B.探测器在距星球A为l‎4‎处加速度为零 C.若探测器能到达星球B,其速度可能恰好为零 D.若探测器能到达星球B,其速度一定大于发射时的初速度 答案BD 解析设探测器距星球A的距离为x时,两星球对探测器的引力相等,即GmAmx‎2‎=GmBm‎(l-x‎)‎‎2‎,解得x=‎1‎‎4‎l,根据牛顿第二定律可得,此时探测器的加速度为零,选项B正确;探测器先减速后加速,故选项A、C错误,选项D正确。‎ ‎11.‎ 经长期观测,人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成,每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离,而且双星系统一般远离其他天体。如图所示,两颗星球组成的双星,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为l,质量之比为m1∶m2=2∶3,下列说法正确的是(　　)‎ A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2‎ B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2‎ C.m1做圆周运动的半径为‎2l‎5‎ D.m2做圆周运动的半径为‎2l‎5‎ 答案AD 8‎ 解析双星相互间的万有引力提供向心力,角速度相等,根据Gm‎1‎m‎2‎l‎2‎=m1r1ω2,Gm‎1‎m‎2‎l‎2‎=m2r2ω2知,m1r1=m2r2,得r1∶r2=m2∶m1=3∶2,则m1做圆周运动的半径为‎3‎‎5‎l,m2做圆周运动的半径为‎2‎‎5‎l,故B、C错误,D正确;根据v=rω知,线速度之比为3∶2,故A正确。‎ 三、计算题 ‎12.宇航员到达某星球后,试图通过相关测量估测该星球的半径。他在该星球上取得一矿石,测得其质量为m0,体积为V0,重力为G0,若所取矿石密度等于该星球的平均密度,引力常量为G,该星球视为球形,请用以上物理量推导该星球半径的表达式。球体体积公式为V=‎4‎‎3‎πR3,式中R为球体半径 答案R=‎‎3‎G‎0‎V‎0‎‎4πGm‎0‎‎2‎ 解析设矿石的密度为ρ0,由题意易知ρ0=‎m‎0‎V‎0‎ 该星球表面的重力加速度g=‎G‎0‎m‎0‎ 在该星球表面,万有引力等于重力GMm‎0‎R‎2‎=m0g 该星球的平均密度为ρ=MV,据题意有ρ=ρ0,V=‎4‎‎3‎πR3‎ 联立以上各式解得R=‎3‎G‎0‎V‎0‎‎4πGm‎0‎‎2‎。‎ ‎13.‎ 如图所示,P、Q为某地区水平地面上的两点,在P点正下方一球形区域内储藏有石油,假定区域周围岩石均匀分布,密度为ρ;石油密度远小于ρ,可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔,则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向;当存在空腔时,该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫作“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量,常会利用到P点附近重力加速度的反常现象。已知引力常量为G。‎ 8‎ ‎(1)设球形空腔体积为V,球心深度为d(远小于地球半径),PQ=x,求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常。‎ ‎(2)若在水平地面上半径为l的范围内发现,重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化,且重力加速度的最大值出现在半径为l的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。‎ 答案(1)GρVd‎(d‎2‎+‎x‎2‎‎)‎‎3‎‎2‎　(2)‎lk‎2‎‎3‎‎-1‎‎　‎l‎2‎kδGρ(k‎2‎‎3‎-1)‎ 解析(1)如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值。因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力来计算,GMmr‎2‎=mΔg①‎ 式中m是Q点处某质点的质量,M是填充后球形区域的质量,M=ρV②‎ 而r是球形空腔中心O至Q点的距离r=d‎2‎‎+‎x‎2‎③‎ Δg在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改变的方向沿OQ方向,重力加速度反常Δg'是这一改变在竖直方向上的投影Δg'=drΔg④‎ 联立①②③④式得Δg'=GρVd‎(d‎2‎+‎x‎2‎‎)‎‎3‎‎2‎。⑤‎ ‎(2)通过分析可知,重力加速度反常Δg'的最大值出现在空腔的上方,Δg'的最小值出现在半径为L的圆周上。‎ 由⑤式得,重力加速度反常Δg'的最大值和最小值分别为(Δg')max=GρV'‎d‎'‎‎2‎⑥‎ ‎(Δg')min=GρV'd'‎‎(d‎'‎‎2‎+‎l‎2‎‎)‎‎3‎‎2‎⑦‎ 又因为(Δg')max=kδ,(Δg')min=δ⑧‎ 联立⑥⑦⑧式得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为d'=‎lk‎2‎‎3‎‎-1‎ V'=l‎2‎kδGρ(k‎2‎‎3‎-1)‎。‎ 8‎