高中物理 模块要点回眸 第6点 简谐运动与力学的综合问题素材 沪科版选修3-4（通用） 3页

第6点　简谐运动与力学的综合问题 ‎ 简谐运动具有周期性，在分析物体既做简谐运动又与其他物体一起运动的综合问题时，应从时间上找关系．而时间又与简谐远动周期联系起来，这样使此类问题往往具有多解性．‎ 对点例题　如图1所示，小球m自A点以沿AD方向的初速度v逐渐接近固定在D点的小球n.已知＝‎0.8 m. 圆弧半径R＝‎10 m，AD＝‎10 m，A、B、C、D在同一水平面上，则v为多大时，才能使m恰好碰到小球n？(设g取‎10 m/s2)‎ 图1‎ 解题指导　小球m的运动由两个分运动合成，这两个运动分别是：以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面方向上的往复运动．因为≪R，所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，是一种等效单摆，其圆弧半径R即为等效单摆的摆长．‎ 设小球m恰好能碰到小球n，则有：AD＝vt，且满足 t＝kT(k＝1,2,3，…)‎ 又T＝2π，‎ 解以上方程得v＝ m/s(k＝1,2,3，…)‎ 答案　 m/s(k＝1,2,3，…)‎ 方法点评　小球的运动实际上是两个运动的合运动，其中球在弧面上的来回滚动是一等效单摆，即简谐运动，而沿AD方向为匀速运动．分析简谐运动时，要注意其周期性．‎ ‎1．摆长为l的单摆在平衡位置O的左右做摆角小于5°的简谐运动，当摆球经过平衡位置O(O在A点正上方)向右运动的同时，另一个以速度v在光滑水平面上运动的小滑块，恰好经过A点向右运动，如图2所示，小滑块与竖直挡板P碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问：‎ 图2‎ ‎(1)A、P间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回A点时，摆球也同时到达O点且向左运动？‎ ‎(2)AP间的最小距离是多少？‎ 答案　(1)A、P间的距离满足 (n＝0,1,2…)　(2) 解析　(1)设A、P间的距离为x，小滑块做匀速直线运动的往返时间为t1，t1＝，单摆做简谐运动回到O点且向左运动所需时间为t2，t2＝＋nT(n＝0,1,2…)，其中T＝2π，由题意可知t1＝t2，所以＝＋nT，即x＝(＋n)T＝(2n＋1)T＝(2n＋1)·2π ＝·(n＝0,1,2…)．‎ ‎(2)n＝0时，A、P间的距离最小，xmin＝ .‎ ‎2．如图3所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心的正下方，一小球由距O点很近的A点由静止释放，同时在O点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下(≪R)?‎ 图3‎ 答案　(n＝1,2,3，…)‎ 解析　球由A点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动．因为≪R，所以球自A点释放后做简谐运动，要使两球在O点相碰，两者到O点的运动时间要相等．小球由A点由静止释放运动到O点的时间为(2n－1)，n＝1,2,3…由于O点正上方自由落下的小球到O点的时间也为(2n－1)时两球才能在O点相碰，所以h＝gt2＝g(2n－1)2＝(n＝1,2,3，…)．‎