高中物理新课标人教版必修2优秀教案：向心加速度 9页

6 向心加速度 整体设计 本节内容是在原有加速度概念的基础上来讨论“匀速圆周运动速度变化快慢”的问题. 向心加速度的方向是本节的学习难点和重点.要化解这个难点，首先要抓住要害，该要害 就是“速度变化量”.对此,可以先介绍直线运动的速度变化量，然后逐渐过渡到曲线运动的速度 变化量，并让学生掌握怎样通过作图求得曲线运动的速度变化量,进而最后得出向心加速度的 方向. 向心加速度的表达式是本节的另一个重点内容.可以利用书中设计的“做一做：探究向心加 速度的表达式”，让学生在老师的指导下自己推导得出,使学生在“做一做”中能够品尝到自己探 究的成果,体会成就感. 在分析匀速圆周运动的加速度方向和大小时，对不同的学生要求不同，这为学生提供了 展现思维的舞台，因此，在教学中要注意教材的这种开放性，不要“一刀切”.这部分内容也可 以以小组讨论的方式进行，然后由学生代表阐述自己的推理过程. 教学重点 1.理解匀速圆周运动中加速度的产生原因. 2.掌握向心加速度的确定方法和计算公式. 教学难点 向心加速度方向的确定和公式的应用. 课时安排 1 课时 三维目标 知识与技能 1.理解速度变化量和向心加速度的概念. 2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式. 3.能够运用向心加速度公式求解有关问题. 过程与方法 1.体验向心加速度的导出过程. 2.领会推导过程中用到的数学方法. 情感态度与价值观 培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情、乐于学习的品质. 课前准备 教具准备：多媒体课件、实物投影仪等. 知识准备：复习以前学过的加速度概念以及曲线运动的有关知识，并做好本节内容的预习. 教学过程 导入新课 情景导入 通过前面的学习我们知道在现实生活中,物体都要在一定的外力作用下才能做曲线运动, 如下列两图（课件展示）. 地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动 小球绕桌面上的图钉做匀速圆周运动 对于图中的地球和小球,它们受到了什么样的外力作用?它们的加速度大小和方向如何确 定? 复习导入 前面我们已经学习了曲线运动的有关知识，请完成以下几个问题: 问题 1.加速度是表示__________的物理量，它等于___________________的比值.在直线运动 中，v0 表示初速度，vt 表示末速度，则速度变化量Δv=__________,加速度公式 a=__________， 其方向与速度变化量方向__________. 2.在直线运动中，取初速度 v0 方向为正方向，如果速度增大，末速 vt 大于初速度 v0，则Δv=vt －v0__________0（填“>”或“<”），其方向与初速度方向______________________；如果速度减 小，Δv=vt-v0__________0，其方向与初速度方向____________________. 3.在圆周运动中，线速度、角速度的关系是___________________. 参考答案 1：速度改变快慢 速度的改变跟发生这一改变所用时间 vt－v0 t vvt 0 相同 2.> 相同 < 相反 3.v=ωr 对于匀速圆周运动中的加速度又有哪些特点呢? 推进新课 一、速度变化量 引入：从加速度的定义式 a= t v   可以看出，a 的方向与Δv 相同，那么Δv 的方向又是怎样的 呢？ 指导学生阅读教材中的“速度变化量”部分，引导学生在练习本上画出物体加速运动和减速运动 时速度变化量Δv 的图示。 问题：1.速度的变化量Δv 是矢量还是标量？ 2.如果初速度 v1 和末速度 v2 不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv？ 投影学生所画的图示，点评、总结并强调： 结论：（1）直线运动中的速度变化量 如果速度是增加的，它的变化量与初速度方向相同（甲）；如果速度是减小的，其速度变化量 就与初速度的方向相反（乙）. （2）曲线运动中的速度变化量 物体沿曲线运动时，初末速度 v1 和 v2 不在同一直线上，速度的变化量Δv 同样可以用上 述方法求得.例如，物体沿曲线由 A 向 B 运动，在 A、B 两点的速度分别为 v1、v2.在此过程中 速度的变化量如图所示. 可以这样理解：物体由 A 运动到 B 时，速度获得一个增量Δv，因此，v1 与Δv 的矢量和 即为 v2.我们知道，求力 F1 和 F2 的合力 F 时，可以以 F1、F2 为邻边作平行四边形，则 F1、F2 所夹的对角线就表示合力 F.与此类似，以 v1 和Δv 为邻边作平行四边形，两者所夹的对角线就 是 v1 和Δv 的矢量和，即 v2，如图所示.因为 AB 与 CD 平行且相等，故可以把 v1、Δv、v2 放 在同一个三角形中，就得到如图所示的情形.这种方法叫矢量的三角形法. 利用课件动态模拟不同情况下的Δv，帮助学生更直观地理解这个物理量. 二、向心加速度 1.向心加速度的方向 课件展示图，并给出以下问题，引导学生阅读教材“向心加速度”部分： 问题：（1）在 A、B 两点画速度矢量 vA 和 vB 时，要注意什么？ （2）将 vA 的起点移到 B 点时要注意什么？ （3）如何画出质点由 A 点运动到 B 点时速度的变化量Δv？ （4）Δv／Δt 表示的意义是什么？ （5）Δv 与圆的半径平行吗？在什么条件下，Δv 与圆的半径平行？ 让学生亲历知识的导出过程，体验成功的乐趣.讨论中要倾听学生的回答，必要时给学生 以有益的启发和帮助，引导学生解决疑难，回答学生可能提出的问题. 利用课件动态展示上述加速度方向的得出过程. 结论：上面的推导不涉及“地球公转”“小球绕图钉转动”等具体的运动，结论具有一般性：做匀 速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度. 2.向心加速度的大小 引入：匀速圆周运动的加速度方向明确了，它的大小与什么因素有关呢？ （1）公式推导 指导学生按照书中“做一做”栏目中的提示，在练习本上推导出向心加速度大小的表达式， 也就是下面这两个表达式：an= r v 2 an=rω2 巡视学生的推导情况，解决学生推导过程中可能遇到的困难，给予帮助，回答学生可能 提出的问题. 投影学生推导的过程，和学生一起点评、总结. 推导过程如下： 在图中，因为 vA 与 OA 垂直，vB 与 OB 垂直，且 vA=vB，OA=OB，所以△OAB 与 vA、 vB、Δv 组成的矢量三角形相似. 用 v 表示 vA 和 vB 的大小，用Δl 表示弦 AB 的长度，则有 r l v v  或Δv=Δl· r v 用Δt 除上式得 r v t l t v    当Δt 趋近于零时， t v   表示向心加速度 a 的大小，此时弧 对应的圆心角θ很小，弧长和弦 长相等，所以Δl=rθ，代入上式可得 an= r v t r t v    =vω 利用 v=ωr 可得 an= r v 2 或 an=rω2. （2）对公式的理解 引导学生思考并完成“思考与讨论”栏目中提出的问题,深化本节课所学的内容. 强调：①在公式 y=kx 中，说 y 与 x 成正比的前提条件是 k 为定值.同理，在公式 an= r v 2 中， 当 v 为定值时，an 与 r 成反比；在公式 an=rω2 中，当ω为定值时，an 与 r 成正比.因此，这两个 结论是在不同的前提下成立的，并不矛盾.②对于大、小齿轮用链条相连时，两轮边缘上的点 线速度必相等，即有 vA=vB=v.又 aA= Ar v 2 ，aB= Br v2 ，所以 A、B 两点的向心加速度与半径成反 比.而小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有ωB=ωC=ω.又 aB=rBω2，aC=rCω2，所 以 B、C 两点的向心加速度与半径成正比. （3）向心加速度的几种表达式 问题：除了上面的 an= r v 2 、an=rω2 外，向心加速度还有哪些形式呢？ 先让学生思考，适时提示转速、频率、周期等因素. 结论：联系ω= T 2 =2πf，代入 an=rω2 可得： an= r T 2 24 和 an=4π2f2r. 至此，我们常遇到的向心加速度表达式有以上五种. 3.向心加速度的物理意义 因为向心加速度方向始终指向圆心，与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变 其大小，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量. 典例探究 （题目先课件展示，让学生思考后再给出解析内容） 例 1 关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（ ） A.它们的方向都沿半径指向地心 B.它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴 C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小 解析：如图所示，地球表面各点的向心加速度方向（同向心力的方向）都在平行赤道的平面 内指向地轴.选项 B 正确，选项 A 错误.在地面上纬度为φ的 P 点，做圆周运动的轨道半径 r=R0cosφ，其向心加速度为 an=rω2=R0ω2cosφ. 由于北京的地理纬度比广州的地理纬度大，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的 半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，选 项 D 正确，选项 C 错误. 答案：BD 点评：因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周运动， 它们的转动中心（圆心）都在地轴上，而不是地球球心，向心力只是引力的一部分（另一部 分是重力），向心力指向地轴，所以它们的向心加速度也都指向地轴. 例 2 如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r，a 是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，大 轮的半径为 4r，小轮的半径为 2r，b 点在小轮上，距小轮中心的距离为 r，c 点和 d 点分别位 于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中皮带不打滑，则（ ） A.a 点与 b 点的线速度大小相等 B.a 点与 b 点的角速度大小相等 C. a 点与 c 点的线速度大小相等 D.a 点与 d 点的向心加速度相等 解析：如皮带不打滑，a、c 两点的线速度相等，故 C 选项正确.又 a、c 两点半径不同，则角速 度不同，由 v=rω得ωa=2ωc. 同一轮上各点角速度相等，所以 B 选项是不正确的.但同一轮上各点线速度不等，即 b、c 两点的线速度不等，所以 b 与 a 两点的线速度也不相等，A 选项也不正确.向心加速度 a=rω2， 得 a、d 两点的向心加速度分别为 aa=rωa2 和 ad=4r 2 d =4r（ 2 a ）2=rωa2，所以 aa=ad，选项 D 正确. 答案：CD 课堂训练 1.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（ ） A.它描述的是线速度方向变化的快慢 B.它描述的是线速度大小变化的快慢 C.它描述的是向心力变化的快慢 D.它描述的是角速度变化的快慢 解析：向心加速度不改变线速度的大小，只改变其方向. 答案：A 2.一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为 R，向心加速度为 a，则（ ） A.小球相对于圆心的位移不变 B.小球的线速度为 Ra C.小球在时间 t 内通过的路程 s= Rta / D.小球做圆周运动的周期 T=2π aR / s 解析：小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变. 由 a= R v 2 得 v2=Ra，所以 v= Ra 在时间 t 内通过的路程 s=vt= Rat 做圆周运动的周期 T= a R Ra R v R    2222  . 答案：BD 3.由于地球自转，比较位于赤道上的物体 1 与位于北纬 60°的物体 2，则（ ） A.它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1 B.它们的线速度之比 v1∶v2=2∶1 C.它们的向心加速度之比 a1∶a2=2∶1 D.它们的向心加速度之比 a1∶a2=4∶1 解析：同在地球上，物体 1 与物体 2 的角速度必相等.设物体 1 的轨道半径为 R，则物体 2 的 轨道半径为 Rcos60°,所以 v1∶v2=ωR∶ωRcos60°=2∶1 a1∶a2=ω2R∶ω2R cos60° =2∶1. 答案：BC 4.如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图象，其中甲的图线为双曲线. 由图象可知，甲球运动时，线速度大小____________（填“变化”或“不变”,下同），角速度 ____________；乙球运动时，线速度大小____________，角速度____________. 解析：由图可知，甲的向心加速度与半径成反比，根据公式 a= r v 2 ，甲的线速度大小不变；而 由图可知，乙的加速度与半径成正比，根据公式 a=ω2r，说明乙的角速度不变. 答案：不变 变化 变化 不变 5.如图所示皮带传动轮，大轮直径是小轮直径的 3 倍，A 是大轮边缘上一点，B 是小轮边缘上 一点，C 是大轮上一点，C 到圆心 O1 的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑.则 A、B、C 三 点 的 角 速 度 之 比 ωA∶ωB∶ωC=____________ ， 向 心 加 速 度 大 小 之 比 aA∶aB∶aC=____________. 解析：A 与 B 的线速度大小相等，A 与 C 的角速度相等. 答案：1∶3∶1 3∶9∶1 课堂小结 课件展示本课小节： 1.向心加速度的定义、物理意义; 2.向心加速度的方向：指向圆心； 3.向心加速度的大小： 4.向心加速度的方向时刻改变 布置作业 教材“问题与练习”第 2、3、4 题 板书设计 6 向心加速度 一、速度的变化量 加速度 a= t v   ,a 的方向与Δv 相同 Δv 的方向： 矢量三角形 二、向心加速度 1.方向：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心. 2.大小：an= r v 2 =rω2= r T 2 24 =4π2f2r. 3.意义：始终指向圆心，与 v 垂直，只改变 v 的方向，不改变其大小，是描述线速度方向变化 快慢的物理量. 活动与探究 课题：研究电视画面中汽车轮胎的正反问题. 过程：在电视画面中我们常常会看到一辆向前奔驰的汽车，它的轮子一会儿在正转，一会儿 又在倒转.假设轮子的辐条如图所示，请解释造成这种现象的原因是什么,并分析什么情况下出 现正转现象,什么情况下出现倒转现象.（参考资料：电视画面是每隔 1/30 s 更迭一帧，人的视 觉暂留时间为 0.1 s） 图 5-6-12 习题详解 1.解答：本题主要考查对向心加速度的各种表达式的理解和掌握. 线速度相等时，考虑 a= r v 2 周期相等时，考虑 a= r T 2 24 角速度相等时，乙的线速度小，考虑 a=ωv 线速度相等时，甲的角速度大，考虑 a=ωv. 所以：A.乙的向心加速度大 B.甲的向心加速度大 C.甲的向心加速度大 D.甲的向心加速度大 2.解答：已知周期，由ω= T 2 ，代入 a=ω2r 得 a= r T 2 24 . 将已知数据统一成国际单位后代入得 a= 2 2 )3600243.27( 14.34   ×3.84×108 m/s2=2.7×10-3 m/s2. 3.解答：在相同时间内的路程之比为 4∶3，则由 v= t l   知线速度之比为 4∶3； 又已知运动方向改变的角度之比是 3∶2，所以角速度之比为 3∶2. 利用公式 a=vω可得 1 2 2 3 3 4  BB AA B A v v a a   . 4.解答：两轮边缘上各点的线速度必相等，则有 v1=v2=v. 又因为 r1∶r2=1∶3，所以 ω1∶ω2= 2 2 1 1 : r v r v =3∶1. （1）两轮的转速比等于角速度之比，即有 n1∶n2=ω1∶ω2=3∶1. （2）在同一轮上各点的角速度必相等.由 a=ω2r 知，A 点的转动半径为机器皮带轮的一半，故 A 点的向心加速度为轮边缘的向心加速度的一半,即 aA=0.05 m/s2. （3）电动机皮带轮边缘上点的向心加速度 a1= 1 2 r v 机器皮带轮边缘上点的向心加速度 a2= 2 2 r v 所以 a1∶a2=r2∶r1=3∶1 得 a1=3a2=0.30 m/s2. 设计点评 思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养 学生能力的关键，本课的设计就特别注重了这一点.另外，多媒体的灵活应用也能很好地帮助 学生理解有关概念.典型例题和针对性的演练题目也是本课的重要组成部分，可使学生更深地 理解和应用知识.