2020年高中物理 第四章 机械能和能源 重力势能和弹性势能知识梳理学案 教科版必修2 8页

1 重力势能和弹性势能 【学习目标】 1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算． 2．理解重力势能的变化和重力做功的关系．知道重力做功与路径无关． 3．知道重力势能的相对性． 4．明确弹性势能的含义，理解弹性势能的相对性 5．知道弹性势能与哪些量有关． 【要点梳理】 要点一、重力做功的特点 要点诠释： 重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．物体沿闭合的路径运 动一周，重力做功为零，其实恒力(大小方向不变)做功都具有这一特点． 如物体由 A 位置运动到 B 位置，如图所示，A、B 两位置的高度分别为 h1、h2，物体的质量为 m，无论 从 A 到 B 路径如何，重力做的功均为： cosGW mgl  ＝mgh＝mg(h1-h2)＝mgh1-mgh2． 可见重力做功与路径无关． 要点二、重力势能 要点诠释： (1)定义：物体由于被举高而具有的能． (2)公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积． PE mgh ． h 是物体重心到参考平面的高度． (3)单位：焦(J)． 1J＝ 21kg m s 1N mm     ． (4)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．实际上是由 h 为相对量引起的．参考 平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面． 在参考平面内的物体，EP＝0； 在参考平面上方的物体，EP＞0； 在参考平面下方的物体，EP＜0． (5)重力势能是标量，它的正、负值表示大小． (6)重力势能是地球和物体共有的． 要点三、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性 要点诠释： 2 (1)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．在参考平面内，物体的重力势能为零； 在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值． (2)重力势能变化的不变性(绝对性)． 尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这体现 了它的不变性(绝对性)． (3)某种势能的减少量，等于其相应力所做的功． 重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功． (4)重力势能的计算公式 EP＝mgh，只适用于地球表面及其附近 g 值不变时的范围，若 g 值变化时，不 能用其计算． 要点四、重力做功和重力势能改变的关系 要点诠释： (1)设 A、B 两点为物体在运动过程中所经历的两点(如图所示)。 若从 B 点运动到 A 点，则 GW mgh  (重力对物体做负功 mgh)；从能量的角度， PE mgh△ (重力 势能增加 mgh)． 若从 A 点运动到 B 点，则 GW mgh (重力对物体做正功 mgh )；从能量的角度， PE mgh △ (重力 势能减小 mgh)．可见，重力势能的改变△EP 只与重力做功 GW 有关，跟物体做什么运动以及是否同时还有 其他作用力(如牵引力、阻力等)的存在无关，即 G PW E △ ．也就是说，重力做正功时，重力势能减少， 减少的重力势能等于重力所做的功；克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做 的功．即 1 2 1 2G P PW E E mgh mgh    ． (2)重力做功与重力势能的比较． 概念 比较项目 重力做功 重力势能 物理意义 重力对物体所做的功 由于物体与地球的相互作用，且由它们之间 的相对位置决定的能 表达式 GW G h mg h △ △ PE mgh 影响大小的因素 重力 G 和初、末位置的高度差△h 重力 mg 和某一位置的高度 h 特点 只与初、末位置的高度差有关，与路 径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体， 选择不同的参考平面会有不同的重力势能 值 过程量 状态量 联系 重力做功过程是重力势能变化的过程，重力做正功，重力势能减小，重力做负功， 3 重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就变化了多少功，即 1 2G P PW E E  要点五、弹性势能 要点诠释： 1.弹性势能 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。 2.弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能越大 对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大。 3.弹性势能的表达 21 2PE k l  注意：式中 PE 为弹簧的弹性势能， k 为劲度系数， l 为弹簧的形变量（即压缩或伸长的长度） 4.弹力做功跟弹性势能变化的关系 当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时， 弹簧的弹性势能增加，其他形式的能转化为弹性势能。 这一点与重力做功跟重力势能变化的关系类似。 【典型例题】 类型一、重力势能的理解 例 1、如图所示，一人造卫星绕地球做椭圆轨道运动，试比较该卫星在近地点与远地点时的重力势能大小． 【解析】设 A、B 两点与地球的距离分别为 hA 和 hB． 错解一：因为 AP AE mgh ， BP BE mgh ， A Bh h ，所以 A BP PE E ． 错解二：设卫星在 A、B 两处时的重力加速度分别为 Ag 与 Bg ．则有 2AP A A A A A GM GMmE mg h mh h h    ， 2BP B B B B B GM GMmE mg h mh h h    ．因为 A Bh h ，所以 A BP PE E ． 正确解法：在 AB 连线上取 A′点，使 A 与 A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则 A′和 A 处物体 重力势能大小相等。另外，卫星由 B 至 A′时，引力做正功，重力势能减小，故有 B AP PE E ． 【总结升华】错解的原因是公式 PE mgh 只能在地球表面及附近 g 值认为不变时才能适用，而卫星 在 A、B 两点时的 g 值不同，重力势能的计算就不能用此公式了． 举一反三 【变式 1】塔吊把一质量为 200kg 的物体，从距地面高为 h1=10m 的高度匀速运到高为 h2=3m 的地方， 重力做了多少功？物体的重力势能如何变化？ (g=10m/s2) 【答案】14000J；重力势能减少了 14000J 【变式 2】下面关于重力势能的说法中，正确的是（ ） A．有甲、乙两个物体，甲的高度是乙的高度的 2 倍，那么物体甲的重力势能的数值一定是物体乙的 3 倍 4 B．从同一高度将某一物体以不同的速率分别竖直上抛和平抛，则物体从抛出到落地的过程中，重力 势能的变化是相同的 C．有一物体从楼顶落到地面，如果受到空气阻力作用，物体重力势能的减小量小于自由下落时重力 势能的减小量 D．重力做功时，不仅与物体运动的高度差有关，还与物体的运动性质、运动路径有关 【答案】B 【解析】重力势能的大小与物体的质量及零势能参考平面的选取有关，故 A 错；重力做功与路径无关， 与物体的运动性质无关，只与物体的初、末位置的高度差及重力的大小有关，从抛出到落地重力做的正功 相同，物体重力势能的变化是相同的，故 B 正确，C、D 错． 【总结升华】重力做功与路径无关，只取决于初、末位置的高度差；重力势能的变化只与重力做功有 关，两者数值上相等． 类型二、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性 例 2、质量为 20 kg 的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为 5 m．这块铁板相对 二楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为________J；将铁板提高 1 m，若以二楼地 面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化 了________J．(g 取 10N/kg) 【思路点拨】注意参考平面的选择。 【答案】0 103 200 200 【解析】根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面： EP＝0． 以楼外地面为参考平面： EP＝mgh＝20×10×5J＝103 J． 以二楼地面为参考平面： 2 1 1 0 20 10 1J 200JP P PE E E mgh       △ ． 以楼外地面为参考平面： 2 1 1 1( ) 20 10 1J 200JP P PE E E mg h h mgh mgh           △ ． 【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力 势能的变化量与所选择的参考平面无关． 举一反三 【变式】桌面 B 高 1m，一质量为 1kg 的小球，从离桌面 1m 高的 A 处自由落下，不计空气阻力，在这 个过程中，分别取地面和桌面为零势能面来计算 。求：(g=10m/s2) （1）小球在 A 处和落地时 C 处的重力势能 （2）小球从 A 到 C 的重力所做的功 （3）小球从 A 到 C 的重力势能的变化量 5 【答案】 类型三、等效法计算重力势能的变化 例 3、质量为 m 的均匀链条长为 L，开始放在光滑的水平桌面上时，有 1 4 的长度悬在桌边缘，如图所 示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少? 【答案】 15 32PE mgL △ 【解析】解法一：等效法，由图中始态和末态比较，可等效成将开始桌面上的 3 4 的链条移至末态的下 端 3 4 处，故重心下降了 5 8 L ，所以重力势能减少了 3 5 15 4 8 32mg L mgL  ，即 15 32PE mgL △ ． 解 法 二 ： 设 桌 面 为 参 考 面 ， 开 始 时 重 力 势 能 1 1 4 8 32P L mgLE mg     ， 末 态 时 重 力 势 能 2 2 2P L mgLE mg     ． 故重力势能变化量 2 1 15 32P P PE E E mgL   △ ． 例 4、面积很大的水池，水深为 H，水面上浮着一正方体小木块，木块边长 a，密度为水的 1/2，质量 为 m．开始时，木块静止，如图甲所示．现用力 F 将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦．求：从木块刚好 完全浸入水中到停止在池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量． 【解析】由图乙知木块从位置 1 称到位置 2，相当于使同体积的水从位置 2 移动到位置 l，重心升高 H-a，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置 1 和位置 2 的势能之差．木块的质量为 m，与木块同体积 的水的质量为 2m，故水块和池水势能的改变量分别为 ( )E mg H a 木△ ， 2 ( )E mg H a 水△ ． 6 【总结升华】获取题目信息，同等效思想确定物体重心变化高度是解题关键． 类型四、弹性势能的理解 例 5、如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块(可视为质点)的质量为 m，在水平桌面上沿 x 轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点 O，当弹 簧的伸长量为 x 时，物块所受弹簧弹力大小为 F=kx，k 为常量。 (1)请画出 F 随 x 变化的示意图；并根据 F-x 图像 求物块沿 x 轴从 O 点运动到位置 x 的过程中弹力所做的功。 (2)物块由 x1 向右运动到 x3，然后由 x3 返回到 x2，在这个过程中， a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量； b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能” 的概念。 【解析】(1)F-x 图像如图所示。 物块沿 x 轴从 O 点运动到位置 x 的过程，弹力做负功：F-x 图线下的面积等于弹力做功大小。弹力做 功 21 1 2 2TW kx x kx     (2)a．物块由 x1 向右运动到 x3 的过程中，弹力做功 2 2 1 1 3 3 1 1 3 1 1 1( ) ( )2 2 2TW kx kx x x kx kx       物块由 x3 向左运动到 x2 的过程中，弹力做功 2 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 1( ) ( )2 2 2TW kx kx x x kx kx      整个过程中，弹力做功 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2T T TW W W kx kx    弹性势能的变化量 2 2 2 1 1 1 2 2P TE W kx kx   △ b．整个过程中，摩擦力做功 3 1 2(2 )fW mg x x x    与弹力做功比较：弹力做功与实际路径无关，只与始末位置有关，所以，我们可以定义一个由物体之 间的相互作用力(弹力)和相对位置决定的能量——弹性势能。而摩擦力做功与 x3 有关，即与实际路径有关， 所以，不可以定义与摩擦力对应的“摩擦力势能”。 【总结升华】（1）由题设 F=kx 可知 F 与 x 成正比，即可画出 F-x 图像。图线下的面积即是弹力做功大 小。（2）a.由弹力做功表达式求出全过程弹力功，弹性势能变化量等于弹力做功的负值。b. 列出全过程 摩擦力的功的表达式可知，摩擦力做功与实际路径有关，所以不能定义“摩擦力势能”。 7 举一反三 【变式 1】在光滑的水平面上，物体 A 以较大的速度 vA 向右运动，与较小速度 vB 向同一方向运动的、 连有轻质弹簧的物体 B 发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（ ） A．vA > vB B．vA < vB C．vA = vB D．无法确定 【答案】C 【变式 2】如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在 力 F 的作用下物体处于静止状态，当撤去 F 后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正 确的是（ ） A．弹簧的弹性势能逐渐减小 B．弹簧的弹性势能逐渐增大 c．弹簧的弹性势能先增大后减小 D．弹簧的弹性势能先减小后增大 【思路点拨】弹簧被压缩或被拉伸导致的形变量越大最长弹性势能越大。 【解析】由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去 F 物体在向右运动的过程中，弹簧的弹 力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大． 【答案】D 【总结升华】弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势 能增加． 类型五、弹性势能的探究 例 6、弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的．拉伸橡皮条的过程人 对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动 能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力．试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过 程中，弹力所做的功是多少？橡皮条具有的弹性势能是多少?(只要求设计可行的做法和数据处理方式，不 要求得出结论) 【解析】(1)准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺、笔． (2)将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣． (3)用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长 0x ，记录在表格中． (4)用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力 F1、F2、F3……的情况下橡皮条的长度 10x 、 20x 、 30x …… (5)计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量 1x 、 2x 、 3x …… 8 (6)以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标在坐标纸上建立坐标系、描点、并用平滑的 曲线作出 F x 图像． (7)测量曲线与 x 轴包围的面积 S，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功，也就是弹 力所做负功的数值． 【总结升华】本题旨在考查学生对探究方法的理解水平，从目标着眼根据实际问题的特殊性设计构思 实验的能力，考查学生对物理图像的理解和微积分思想在处理图像问题中的运用．本题的解答过程还有许 多值得思考的问题：如用 iF x ，图像能否求出外力克服弹力所做的功；图像与 ix 轴包围的面积为什么是 外力的功；此几何图形的面积如何求得或测得等，同学们可继续探究． 举一反三 【变式】某同学做“探究弹力和弹簧伸条量的关系”的实验。 ①图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为 7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码 后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量为Δl 为________cm； ②本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是 ________；（填选项前的字母） A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重 B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重 ③图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量Δl 与弹力 F 的关系图线，图线的 AB 段明显偏离直线 OA，造成 这种现象的主要原因是________。 【答案】（1）①6.93 ②A ③超过弹簧的弹性限度 【解析】这是一个“探究弹力合弹簧伸长量之间的关系”的实验题，涉及到刻度尺的读数和实验步骤的考 察以及误差和错误分析。刻度尺读数时注意估读。