高中物理 第六章 曲线运动、万有引力综合复习（提高）学案 新人教版必修2（通用） 27页

曲线运动、万有引力综合复习 ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1.理解运动的合成与分解 ‎2.熟练掌握平抛运动、圆周运动 ‎3.理解天体问题的处理方法 ‎4.理解人造卫星的运动规律 ‎【知识网络】‎ 一、曲线运动 曲线运动的方向：轨迹上某点切线方向 曲线运动的条件：合外力与速度方向不共线 曲线运动的性质：是变速运动，具有加速度 曲线运动的性质 对运动以及相应的位移、速度和加速度 进行合成或分解 运动合成与分解的内容 矢量合成与分解的平行四边形法则 运动合成或分解的法则 合运动与分运动等效性 将运动合成或分解的依据 等效性 同时性 独立性 合运动与分运动的关系 曲线运动的处理方法 ‎（运动的合成与分解）‎ 斜抛运动 斜上抛：初速度方向与重力方向成钝角 斜下抛：初速度方向与重力方向成锐角 处理方法：与平抛运动的分解方法类似 匀变速曲线运动 平抛运动定义：‎ 平抛运动的条件：只受重力，初速度与重力方向垂直 平抛运动的分解方法：水平方向匀速，竖直方向自由落体。‎ 平抛运动的规律： ‎ 平抛运动 ‎ ‎ ‎ 与v0无关 ‎ 轨迹是抛物线 ‎ 匀速圆周运动 条件：合外力大小不变，方向总是垂直于速度的方向 描写的物理量及关系： ‎ 力学方程：‎ 描写圆周运动的瞬时关系全部成立，如 ‎ ‎ ‎ 遵守的公式 或规律 与匀速圆周运动的不同：向心力F向是质点 所受合力的一个分量，即F合≠F向 变速圆周运动 非匀变速曲线运动 ‎（加速度变化）‎ 曲线运动的实例 二、万有引力定律 轨道定律 速度定律 周期定律 开普勒定律 发现过程：地面力学规律向天体推广 定律内容：（两质点之间）‎ 定律验证：月地检验，预期哈雷彗星等 万有引力定律 测量天体的质量和密度 发现未知天体 掌握行星、卫星的运动规律 万有引力定律的应用 第一宇宙速度：v1=‎7.9 km / s 意义 第二宇宙速度：v2=‎11.2 km / s 意义 第三宇宙速度：v3=‎16.7 km / s 意义 三个宇宙速度 根据万有引力定律 计算常用公式 ‎，‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、曲线运动及运动的合成与分解 要点诠释：‎ ‎1．曲线运动速度的方向 ‎（1）速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。‎ ‎（2）获取途径：‎ 其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等；‎ 其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运动瞬时速度的方向。‎ ‎（3）曲线运动的性质：速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。‎ ‎2．物体做曲线运动的条件 ‎（1）物体做曲线运动条件：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。‎ 如人造地球卫星绕地球运行时，它受到的地球的吸引力与它的速度方向不在一条直线上（），所以卫星做曲线（圆周）运动。‎ ‎（2）物体做直线运动条件：当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零时，物体做直线运动。‎ ‎（3）物体在运动中合外力切向分量和法向分量的作用：‎ 切向分量：改变速度的大小——当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相反时做减速曲线运动。‎ 法向分量：改变速度的方向——只有使物体偏离原来运动方向的效果，不能改变速度的大小。‎ ‎（4）曲线运动条件的获得途径：‎ 其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道；‎ 其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。‎ ‎3．曲线运动轨迹的确定 ‎（1）已知x、y两个分运动，求质点的运动轨迹；‎ 只要写出x、y两个方向的位移时间关系和，由此消除时间t，得到轨迹方程，便知道轨迹是什么形状。‎ 例如质点在x、y方向上都做匀速直线运动，其速度分别是vx、vy，求其运动的轨迹方程。‎ 第一：写位移方程 x；‎ 第二：消时间t得到轨迹方程；‎ 可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。‎ ‎（2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：由曲线运动的条件知，只要看质点的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。‎ ‎4．合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系 等时性：质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成，也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。‎ 等效性：各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去了意义。‎ 独立性：同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点的受力情况和初始条件决定。‎ 要点二、抛体运动 要点诠释：‎ ‎1．抛体运动的分类和性质 ‎（1）性质：抛体运动是匀变速运动，因为它受到恒定的重力mg作用，其加速度是恒定的重力加速度g。‎ ‎（2）按初速度的方向抛体运动可以分为：‎ 竖直上抛：初速度v0竖直向上，与重力方向相反，物体做匀减速直线运动；‎ 竖直下抛：初速度v0竖直向下，与重力方向相同，物体做匀加速直线运动；‎ 斜上抛：初速度v0的方向与重力的方向成钝角，物体做匀变速曲线运动；‎ 斜下抛：初速度v0的方向与重力的方向成锐角，物体做匀变速曲线运动；‎ 平抛：初速度v0的方向与重力的方向成直角，即物体以水平速度抛出，物体做匀变速曲线运动；‎ ‎（3）匀变速曲线运动的处理方法：‎ 以解决问题方便为原则，建立合适的坐标系，将曲线运动分解为两个方向的匀变速直线运动或者分解为一个方向的匀速直线运动和另一个方向的匀变速直线运动加以解决。‎ ‎2．平抛运动的规律（按水平和竖直两个方向分解可得）‎ 水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动：‎ 竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，‎ 平抛运动的轨迹：是一条抛物线 合速度：大小： 即，‎ 方向：v与水平方向夹角为 合位移：大小：即，‎ 方向：S与水平方向夹角为 一个关系：，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不相同，速度的方向要陡一些。‎ ‎3．对平抛运动的研究 ‎（1）平抛运动在空中的飞行时间：‎ 由竖直方向上的自由落体运动得到，飞行时间。由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，物体飞行的时间就越长，与抛出速度的大小无关。‎ ‎（2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。‎ ‎（3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。‎ 平抛运动实验探究的构思和方案 ‎①实验构思：对比实验法：即将平抛运动和自由落体同时进行，对比试验；将平抛运动和水平方向上的匀速运动对比试验；‎ ‎②实验方案：‎ a、频闪照相法：在对比实验的过程中，每间隔相等的时间对同时进行的两个运动物体拍照，记录下物体的位置进行研究，寻求运动的规律。‎ b、碰撞留迹法：通过碰撞法留下运动物体不同时刻的位置，描出物体的运动轨迹进行研究。‎ 要点三、描写圆周运动的物理量 要点诠释：‎ ‎1．圆周运动的线速度 ‎（1）线速度v的定义：圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，通常把这个比值称为圆周运动的线速度。‎ ‎（2）公式： 单位：m / s 方向：沿着圆周各点的切线方向 说明：‎ ‎①线速度是指物体作圆周运动时的瞬时速度。‎ ‎②线速度的方向就是在圆周某点的切线方向。‎ ‎③线速度的大小是的比值。所以v是矢量。‎ ‎④匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。‎ ‎⑤线速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要Δt取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度。‎ 注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速度大小不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。‎ ‎2．描写圆周运动的角速度 ‎（1）角速度的定义：圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值叫做角速度。‎ （2） 公式： 单位： rad / s（弧度每秒）‎ 说明：‎ ‎①这里的必须是弧度制的角。‎ ‎②对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。‎ ‎③角速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要Δt取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。‎ ‎④关于ω的方向：中学阶段不研究。‎ ‎⑤同一个转动的物体上，各点的角速度相等。‎ 例如：木棒OA以它上面的一点O为轴匀速转动时，它上面各点（各点与圆心O点的连线）的角速度相等。‎ 即：‎ O C B A ‎3．线速度和角速度的关系：‎ ‎（1）关系： ‎ ‎（2）对于线速度与角速度关系的理解：是一种瞬时对应关系，即某一时刻的速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。‎ ‎4．向心加速度 ‎（1）向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到向心力产生，根据牛顿第二定律知道，其大小由向心力的大小和物体的质量决定。‎ ‎（2）向心加速度大小的计算方法：‎ ‎①由牛顿第二定律计算：；②由运动学公式计算：。‎ ‎（3）对向心加速度的认识 ‎①向心加速度a的方向：沿着半径指向圆心，是一个变量。‎ ‎②向心加速度的意义：在一个半径一定的圆周运动中，向心加速度描述的是线速度方向改变的快慢。‎ ‎③从运动学上看：速度方向时刻在发生变化，总是有必然有向心加速度；‎ ‎④从动力学上看：沿着半径方向上指向圆心的合外力必然产生指向圆心的向心加速度。‎ 要点四、关于向心力 要点诠释：‎ ‎1．向心力的概念 ‎（1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力。‎ 向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。‎ 向心力的大小：，向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积；‎ 确定的物体在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。‎ 向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。‎ ‎（2）关于向心力的说明：‎ ‎①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力 ‎②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变速度的大小。‎ ‎③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变的，仅方向不断变化。‎ ‎2．向心力的来源 向心力不是一种特殊的力。重力（引力）、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以作为向心力。‎ ‎3．从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动 ‎（1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之物体受到的合外力完全充当向心力的角色。‎ 例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。‎ ‎（2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。‎ ‎（3）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律 无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小冲是：（公式中的每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）‎ 换一种说法就是,在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立。即。‎ ‎4．关于离心现象 外力提供的向心力和做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响 ‎（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互作用。‎ ‎（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r的圆周上以速度v运动时，必须要这么大的一个力，才能满足速度方向改变的要求。‎ ‎（3）供需关系对物体运动的影响：‎ 外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；‎ 外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动；‎ 外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心运动。‎ 要点五、万有引力定律 要点诠释：‎ ‎1．物体的重力随离地面高度h的变化情况 物体的重力近似为地球对物体的引力，即近似等于，可见物体重力随h的增大而减小。‎ ‎2．地球附近和其它天体表面的重力加速度 ‎（1）地球表面的重力加速度 ‎①地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得（R0为地球的半径）。‎ ‎②离地面高h处的重力加速度，根据万有引力 定律，有（R0为地球的半径）‎ ‎（2）天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，由得。‎ 由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为 星球表面的重力加速度既可从它与星球的关系求出，又可以从它与运动的关系（平抛运动、自由落体运动、竖直向上抛运动等）中求出，重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。‎ ‎3．求天体的质量、密度 通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力即，得天体质量 。‎ ‎（1）若知道天体的半径R，则天体的密度 ‎。‎ ‎（2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期为T，则天体密度。‎ ‎4．地球卫星 ‎（1）一般做匀速圆周的卫星 ‎①遵循的规律是：‎ ‎②运动规律：线速度、角速度、向心加速度、周期等只取决于中心天体的质量M和轨道半径r。半径越大，线速度、角速度、向心加速度都变小，周期变大。‎ ‎（2）地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24 h。同步卫星必须位于赤道正上方距地面高度h≈3.6×‎104 km处。‎ ‎5．三种宇宙速度 ‎（1）第一宇宙速度（环绕速度）v1=‎7.9 km / s，是人造地球卫星的最小发射速度。‎ ‎（2）第二宇宙速度（脱离速度）v2=‎11.2 km / s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。‎ ‎（3）第三宇宙速度（逃逸速度）v3=‎16.7 km / s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。‎ ‎6．解决天体运动问题的方法 ‎（1）若卫星或天体沿椭圆轨道运行时，通常由开普勒三定律结合万有引力定律、牛顿运动定律及能量守恒定律解决。‎ ‎（2）若卫星做匀速圆周运动，解题通常由和代换关系解决。‎ ‎（3）解决天体运动问题要重视形成运动情景，理解运动的本质。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、对曲线运动的性质和条件的理解 例1．如图，一质点做加速曲线运动从M点到N点，当它经过P点时，其速度v和加速度a的方向关系正确的是（ ）‎ ‎【思路点拨】准确的理解质点从M点到N点做加速、曲线运动是解题的关键和突破口。‎ ‎【答案】C ‎【解析】物体从M到N做加速运动，说明a的切向分量与v同向，曲线运动的合外力一定指向曲线凹的一侧，其加速度也一定指向曲线凹的一侧，所以正确答案C。‎ ‎【总结升华】做曲线运动的物体所受到合力的切向分量和法向分量起着改变速度的大小和方向的作用。合力的大小不可能指向曲线凸的一侧。‎ 类型二、运动的合成与分解在实际问题中的运用 例2．玻璃生产线上，宽‎9 m的成型玻璃板以‎2 m / s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚石刀的走刀速度是‎10 m / s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚石刀的切割轨道如何控制？切割一次的时间有多长？‎ ‎【思路点拨】分析要使得割出的玻璃板是矩形，金刚石刀应当同时参与哪两个运动。‎ ‎【解析】金刚石刀必须在玻璃板运动的方向上与玻璃板具有相同的速度v1=‎2 m / s，同时还要有垂直于玻璃板运动的方向上的速度v2，刀的实际速度v=‎10 m / s就是这两个速度的合成，如图所示：‎ v2‎ v1‎ v θ 所以金刚石到走刀方向与玻璃板的速度方向所成的角 切割一次用的时间：‎ ‎【总结升华】金刚石刀相对于玻璃只有垂直方向的速度时才能割出矩形。‎ 类型三、对平抛运动的理解 例3．关于物体的平抛运动，下列说法正确的是（ ）‎ A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动 B．由于物体的速度方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动 C．物体运动时间只由抛出时的高度决定，与初速度无关 D．平抛运动的水平距离，由抛出点高度和初速度共同决定 ‎【思路点拨】弄清楚平抛运动的受力特点和水平方向、竖直方向的具体运动情况，是回答问题的关键。‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】平抛运动受到恒定的重力作用，做匀变速运动，选项A正确；由平抛运动的规律知，物体运动时间是只由抛出时的高度决定，与初速度无关，C选项正确；平抛的水平距离，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的竖直距离越大时，射程也越大，D选项正确。‎ ‎【总结升华】重视理性思维，不能想当然的认为曲线运动就不是匀变速运动，平抛的初速度越大时物体运动的时间就越长。‎ 举一反三 ‎【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例2】‎ ‎【变式1】一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ）‎ ‎【答案】D ‎【变式2】在同一高处有两个小球同时开始运动，一个以水平初速抛出，另一个自由落下，在它们运动过程中的每一时刻，有（ ）‎ A．加速度不同，速度相同 B．加速度相同，速度不同 C．下落的高度相同，位移不同 D．下落的高度不同，位移不同 ‎【思路点拨】弄清平抛运动和自由落体运动的区别和联系是正确回答问题的关键。‎ ‎【答案】C ‎【解析】平抛运动和自由落体运动的受力情况是相同的，它们的加速度是相同的；不同的是平抛运动同时参入了两个分运动，速度和位移分别是相应的两个分速度和分位移的合成，因此，经过相同的时间后它们的速度和位移是不同的。‎ 类型四、平抛运动的计算——极值问题 例4．如图所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点，求出小球与斜面的最远距离H。‎ ‎【思路点拨】利用平抛运动的一个结论：平抛运动的物体在任意位置（x，y）处速度方向的反向延长线与x轴交于处。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，当小球离斜面最远时，速度方向与斜面平行，则x=v0t，小球与斜面最远距离，结合解得。‎ y O x H vy vx ‎(x，y)‎ θ θ θ ‎(，0)‎ v ‎【总结升华】本题也可以采用将平抛运动分解为平行于斜面的运动和垂直于斜面的两个运动进行求解，进一步加深对运动合成、分解的理解。‎ 类型五、平抛运动的计算——临界问题 例5．如图所示，女排比赛时，排球场总长是‎18 m，设球网高度是‎2 m ‎，运动员站在网前‎3 m处正对球网跳起将球水平击出。求击球的高度不小于多少时，才能将排球平击在对方场地？‎ H h S1‎ S2‎ ‎【思路点拨】设想在某一高度h处用某一速度v0将球水平击出，排球擦网而过且恰好落在边界上。在此临界状态下进行动态分析：若击球速度略小，则球触网；若击球速度稍大则球出界，所以此高度h就是水平击球的最小高度。‎ ‎【答案】‎‎2.13 m ‎【解析】由临界状态找出临界条件，由平抛运动规律列方程 ‎（1）擦网 ‎ ‎（2）落边界 ‎ 解得 h=‎‎2.13 m 故击球的高度不得小于‎2.13 m。‎ 举一反三 ‎【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例4】‎ ‎【变式】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。‎ ‎（1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。‎ ‎（2）求绳能承受的最大拉力多大？‎ ‎（3‎ ‎）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？‎ ‎【思路点拨】将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。‎ ‎【解析】（1）在绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，‎ ‎（2）设绳子承受的最大拉力为T，这也是球受到绳的最大拉力，球做圆周运动的半径 由向心力公式 ‎ ‎（3）设绳长为l,绳断时球的速度大 小为v３，绳承受的最大拉力不变，有 ‎ 得 绳断后球做平抛运动，竖直位移为,水平位移为x，时间为t1，有 ‎ 得 ‎ 当时，x有极大值 ‎【总结升华】（1）将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。（2）应用数学方法求解物理题中的极值问题也是常用的方法。‎ 类型六、线速度、角速度、向心加速度大小的比较和计算 例6．如图所示，定滑轮的半径r=‎2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=‎2 m / s2做匀加速运动。在重物由静止下落距离为‎1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω多大？向心加速度a多大？‎ ‎【思路点拨】物体的速度时刻等于轮缘上一点的线速度，求出物体下落‎1 m时的瞬时速度，然后利用角速度、向心加速度和线速度的关系可以求解。‎ ‎【解析】（1）重物下落‎1 m时，瞬时速度为：‎ 显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是‎2 m / s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为：‎ ‎（2）向心加速度为：‎ ‎【总结升华】此题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮转动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系（v=ωr），向心加速度与角速度、线速度的关系仍然成立。‎ 类型七、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动 例7．‎ 如图，在水平转台上放一质量为M的木块，木块与转台间的最大静摩擦系数为μ，它通过细绳与另一木块m相连。转台以角速度ω转动，M与转台能保持相对静止，它到转台中心的最大距离R1和最小距离R2多大？‎ ‎【解析】假设转台光滑，M与转台保持相对静止的距离中心半径R0，M受绳子拉力T，平台支持力N。保持静止。T=mg 对M，T=Mω2R0‎ 即：mg=Mω2R0 ∴‎ 讨论：（1）若R为最小值R1时，（R1＜R0）M有向圆心运动趋势，故转台对M有背离圆心的静摩擦力，大小为fm=μMg。‎ 对m仍有T=mg ∴mg－μMg=Mω2R2‎ ‎（2）若R为最大值R1时，（R1＞R0）M有离心运动趋势，故转台对M有指向圆心，大小为fm的静摩擦力 ∴T+fm=Mω2R1‎ M T f 类型八、圆周运动综合问题 例8．如图甲所示，已知绳长米，水平杆长L=‎0.1米，小球m的质量m=‎0.3千克，整个装置可绕竖直轴转动，当该装置以某一角速度转动时，绳子与竖直方向成30°角。‎ ‎（1）试求该装置转动的角速度；‎ ‎（2）此时绳的张力是多大？‎ ‎【思路点拨】此题实质上是一个圆锥摆变形问题，按照动力学问题的常规解法，注意弄清轨道平面、圆心位置，并找出圆周运动的半径，问题得到解决。‎ ‎【解析】当整个装置以角速度ω转动时，小球m将做圆周运动，圆周运动的圆心在竖直轴上，且和m在同一水平面上。小球m只受到两上力的作用，重力G=mg，及绳子的拉力F。而这两个力的合力即为小球所受到的向心力Fn。‎ 解法一：用正交分解法和公式Fn=man可得 F·sinθ=mω2r F·cosθ－mg=0‎ 由几何知识可得，r=L+sinθ，把已知数据代入得 解之得 ω=5.37 rad / s F=3.46 N 解法二：此题中，m只受两个力的作用，所以用平行四边形法则解也很方便。‎ 由上面的分析已知，物体受竖直向下的重力。大小为mg受绳的拉力F作用。只知道它的方向与竖直方向夹角θ，又因为小球m在水平面内做匀速圆周运动，所以受到水平向左（指向圆心）的合外力，即上述重力和拉力的合力水平向左。由这四个已知（mg的大小、方向、F的方向及Fn的方向）可得图乙的平行四边形。解这个平行四边形可得 又根据牛顿第二定律 ‎ 且 ‎ ‎∴‎ ‎【总结升华】（1）牛顿第二定律是解圆周运动的重要依据，对做圆周运动的物体进行受力分析就是必不可少的了。因此我们在解圆周运动问题时，几乎无一例外地要首先画草图对物体进行受力分析。‎ ‎（2）在圆周运动中，向心力的方向往往为已知，而这个已知条件在受力分析中充当重要角色。在解法一中因为知道合外力（向心力）的方向，在正交分解法中才能列出方向，。在解法二中，因为知道合外力（向心力）方向，才能得到图乙的平行四边形。‎ 类型九、圆周运动的临界问题 例9．如图，光滑圆管轨道AB部分平面，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r远小于R。有一质量为m，半径比r略小的光滑小球以水平初速v0射入圆管。试分析：在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速v0各应满足什么条件？‎ ‎【解析】小球从C端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，得，由机械能守恒定律，联立解得。②对下管壁有压力，此时应有，此时相应的入射速度v0应满足。③对上管壁有压力，此时应用，此时相应的入射速度v0应满足。‎ ‎【总结升华】掌握无物体支撑与有物体支撑的小球在竖直平面内的圆周运动的问题分析方法的不同。‎ 类型十、万有引力与重力的关系 例10．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是6 h。在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，已知引力常量G=6.67×10－11 N·m / kg2，求此行星的平均密度。‎ ‎【分析】物体在两极只受到两个力——重力和弹簧的拉力作用，而处于平衡状态，根据共点力平衡条件可得 ‎ ①‎ 被称物体在赤道处时，受到万有引力和拉力作用，绕地心做匀速圆周运动的向心力就等于万有引力与拉力的合力，则有 ‎ ②‎ 根据题意可知 F2=(1－10%) F1 ③‎ 解①②③式可得，则此行星的平均密度为 ‎。‎ ‎【总结升华】（1）在行星（或地球）上的物体随行星（或地球）自转所需要的向心力是由万有引力提供的，向心力是万有引力的一个分力，另一个分力使物体压紧地面或拉紧悬线，这个分力就是重力。‎ ‎（2）在行星的两极处的物体，由于随行星自转所需要的向心力为零，故万有引力等于其重力。‎ ‎（3）在赤道处的物体，随行星自转所需的向心力最大，此时，万有引力的另一个分力——重力最小，且由于万有引力、重力和向心力同向，则三个力满足，即。式中ω为行星自转的角速度。由此可知，ω越大，重力mg会越小，当ω大到一定值ω0时，会有，这时物体的重力为零，对赤道表面无压力。当ω＞ω0时，，赤道处的物体会被甩出，这时，行星将解体。‎ 类型十一、用万有引力定律测天体重量 例11．把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×‎108 km，已知万有引力常量G=6.67×10－11 N·m2 / kg2‎ ‎，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字）‎ ‎【解析】题干给出地球轨道半径r=1.5×‎108 km，虽没直接给出地球运转周期的数值，但日常知识告诉我们，地球绕太阳公转一周为365天，故周期 T=365×24×3600 s=3.2×107 s。‎ 万有引力提供向心力，即 ，‎ 故太阳质量 ‎ ‎【总结升华】①在一些天体运动方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用。如在地球表面物体受到地球的引力近似等于其重力。地面附近的重力加速度g=‎9.8 m / s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T=365天；月球绕地球运动的周期约为27天等。‎ ‎②本方法利用卫星运动的有关参量（如r、T），求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身的质量m，同学们应切记这一点。‎ ‎③本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入两位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。‎ 类型十二、综合运用牛顿运动定律、万有引力定律和匀速圆周运动知识求解天体运动问题 例12、已知地球半径R=6.4×‎106 m，地面附近重力加速度g=‎9.8 m / s2，计算在距离地面高为h=2.0×‎106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周的线速度v和周期T。‎ ‎【解析】根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力求解。‎ 卫星做匀速圆周运动的向心力由它与地球间的万有引力提供，即，知 ①‎ 由地球表面附近万有引力近似等于重力，即得 GM=gR2 ②‎ 由①②两式可得 ‎，‎ 运动周期。‎ ‎【总结升华】在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换公式GM=gR2，使计算变得简单，称其为“黄金代换”。‎ 举一反三 ‎【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例8】‎ ‎【变式】‎1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为‎439km和‎2384km，则（ ）‎ A.卫星在M点的势能大于N点的势能 B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度 D.卫星在N点的速度大于‎7.9km/s ‎【答案】BC 类型十三、卫星变轨问题 例13、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）‎ A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它的轨道2上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度 ‎【解题思路】卫星做匀速圆周运动所需的向心力，是地球给卫星的万有引力提供的，即，所以，。‎ 据此得出A是错误的，B是正确的。‎ 在轨道上某点的加速度是由地球给卫星的万有引力产生的，即，所以在同一点是相等的，故D是正确的。‎ ‎【答案】BD ‎【总结升华】当卫星在不同轨道上同一点运行时，速度是不相等的。卫星在轨道1上做圆周运动，如果在Q点速度变大，万有引力不足以提供向心力，则卫星可能变轨到轨道2上。同理在轨道2上的P点加速时，可能变轨到轨道3上，但是在同一点万有引力相同，故加速度是相同的。‎