高中物理竞赛模拟试题四 7页

- 1 - 高中物理竞赛模拟试题四 一. 如图 11-16 所示， 两个木块 A 和 B，质量的的别为 mA和 mB，紧挨着并排放在水平桌面 上， A，B 间的接触面垂直于图面而且与水平成 θ角。 A，B 间的接触面是光滑的，但它们与水 平桌面间有摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为 μ。开始时 A，B 都静止，现施一水平推力 F 于 A，要使 A，B 向右加速运动，且 A，B 间不发生相对滑动，则 1．μ 的数值应满足什么条件？ 2．推力的最大值不能超过多少？ （只考虑平动， 不考虑转动问题） 解：1）、令 N表示 A，B间的相互作用力，垂直 于接触面，如图 11-17 所示。若 A 相对于 B 发生滑动，则 A 在竖直方向必有 加速度。现要使 A 相对于 B 不滑动，则 A受的力 N在竖直方向的分力必须小 于或等于 A的重力。所以要使 B 向右加速运动而同时 A 相对于 B 不滑动，必须同时满足下列 二式： ,0)cos(sin amNgmN BA （1） .cos gmN A （2） 由（ 1），（2）二式可解得 .tan BA A mm m （ 3） 2）、当满足（ 3）式时，又由于 A 的水平方向的加速度和 B相同，即 ,cossinsincos B A A A m NgmN m NNgmF （4） 由（ 2），（4）二式可解得 ).(tan)( gmm m mF BA B A （5） 二．有两根长度均为 50cm的金属丝 A 和 B 牢固地焊在一起， 另两端 固定在牢固的支架上 （如图 21-3 ）。其线胀系数分别为 α A=1.1 × 10-5/ ℃， α B=1.9 ×10-5/ ℃，倔强系数分别为 KA=2× 106N/m，KB=1×106N/m；金属丝 A 受到 450N 的拉力时就会被拉断，金属丝 B 受到 520N 的拉力时才断， 假定支架的间距不随温度改变。问：温度由 +30°C 下降至 - 20°C 时，会出现什么情况？（ A、 B 丝都不断呢， 还是 A 断或者 B 断呢， 还是两丝都断呢？） 不计金属丝的重量， 在温度为 30°C 时它们被拉直但张力为零。 解： 金属 A 和 B 从自由状态降温，当温度降低 t 时的总缩短为 A BF 图 11-16 A B F 图 11-17 N N A B 图 21-3 - 2 - tllll BABA 0)( （1） 而在 - 20°C 时，若金属丝中的拉力为 F，则根据胡克定律， A、B 的伸长量分别为 F/K A和 F/K B， 所以 l K E K E BA （2） tl KK F BA BA 0)(11 （3） 所以 N KK tlF BA BA 50011 )( 0 因为 NF 450 ，所以温度下降到 - 20°C 前 A丝即被拉断。 A 丝断后。 F=0，即使温度再 下降很多， B 丝也不会断。 三 . 如图 31-8 所示， MN为一竖直墙，一平面镜 OB绕过 O点的垂直于图画 的水平轴转动， 转动角速度为 ω ，在墙上的 A 点有一水平光轴投射到平面镜上被 反射后又射到墙上形成一光点 D，试求此时反射点在墙上移动的速度。 已知 AO=d， 此刻平面镜与墙面间的夹角为 θ。 分析一： 作出墙面在镜中的像 MO 如图 31-9 所示， 其中 A 点为 A点的像， 由于物像对称，故图中应有 2,, AAOMOACdAOOA ，且 CDA 三点共线。在 MN看来， D点的光线如同是由 A 点沿直线 CDA 射来的一 样，墙面 MO的像 OM 相对于 MN以速度 2 转动。由于这一转动，一方面 使得 A 点以 OAV 20 沿 AD 方向运动， 显然这一运动并不会使光点 在墙上发生移动；另一方面，则有“光线” CDA 也随 OM 一道相对于墙 面 A 点以角速度 2 转动，由此显然会造成光点 D在墙上的移动，综合以 上两项可知，此时研究光点在墙面上的移动，只要考虑“光线” CDA 转 动造成的效果就可以了。 解一： 在图 31-9 中，设经历一段很短的时间 t ，则 CDA 绕 A 点转 运的角度为 t2 ，墙上的光点刚由 D点移至 F 点， 设此时光点移动 的速度大小为 （由于 t 很小， 则 DF也很短， 可以近似地把光点在这段距离上的运动看成是 匀速运动） ，则 D M A OC B d 图 31-8 图 31-9 O N M F D AC A M E B 2 - 3 - tDF 另一方面，由于 t 很小，则 也很小，在 FA 上取 DAEA ，则有 2 EDADEA 2 2 DAAFDA 2cos2 2 sin DEDEDF 而在 DEA 中又近似有 tOADADE 22tan td 2tan2 以 DE之表达式代入前式中，便得 tdDF 2cos 2tan2 故有： 2cos 2tan2d t DF 分析二： 如图 31-10 所示，设 MO在镜中的像为 OM ，显然，反射光线 CD的像 DC 与入射光线 AC共线，当平面镜 OB转动时， D点在墙 MN上移动， 其对应的像点 D 则在像 MO 上移动。 D 点沿 MO 移动的速度大小与 D点 沿 MN移动的速度大小是相等的，故由此求出 D 沿 MO 移动的速度大小便 求出了 D点沿 MN移动的速度大小。 D 点是射线 AC与 OM 的交点。在题述情况下，射线 AC不动， MO则绕 O点以角速度 2 转动， 由于这一转动导致 D 点移动。 此时 D 点的运动可以 看成是由两个分运动合成的合运动， 这两个分运动是： 由于 MO 以速度 2 转动而导致 D 点 随 OM 一道转动和 D 相对于 OM 在 OM 上向远离 O点的方向运动。这两个分运动合成的 合运动是 D 点沿射线 AC远离 A点的运动。 上述两分运动对应的分速度分别如图 31-10 中的 V 和 //V （其中 V 的分方向与 OM 垂直，大小为 2DOV ，合速度即为 DV 。 解二： 如图 31-10 ，在 DOA 中，有 2cos dDO M D A O DM 2 //V V DV 2 图 31-10 - 4 - 在速度合成的平行四边形中 2cos 2tan22tan22tan// dDOVV 即时此光点 D沿墙面移动的速度大小为 2cos 2tan2 d 。 四．如图 31—35 所示，海岛城市 A 离 C海岸 120km，海滨城市 B 离 C 点 160km，已知陆 地上汽车速度是海上轮船速度的 2 倍，要使 A、 B两城市之间运输时间最少，转运码头 D建在 何处最佳？ 解法一 ：应用数学知识求解： 设∠ ADC= ，则 AD= sin 120 sin AC BD=CB-CD=160- sin cos120160 tan 120 vvv t 80 sin cos60120 2 sin cos120160 sin 120 对于 cos60,sin 可看作椭圆方程 1 60 2 2 yx 上的点。 令 sin cos60120m ，m值为点（ 0，120）与 cos60,sin 的斜率，从而不难求出 m的最小值， 2 3sin 3tan ，从而可得： CD= km340 tan 120 kmDB 340160 即码头应建在距 B 城 km340160 处。 上面这种方法，通过构想一个椭圆，把代数运算转化为几何运算，体现了数形结构的思 想。 解法二 ：费马原理 费马指出：光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值。也就是说，光沿光程值 为最小、最大或恒定的路程传播。这是几何学中的一个最普遍的基本原理，称为费马原理。 在一般情况下，实际光程大多是取最小值。费马本人最初提出的也是最短光程。光在均 B A C D 3531图 - 5 - 匀介质中的传播，在平面分界面上的反射和折射，都是最短光程的例子。 把 CB设想为空气和水的分界面，光在水中的速度为 v，在空气中的速度为 2v，则当 A发 出的光以临界角 30 2 arcsin v v 入射到界面上时，根据费马原理可知： BDA 为 光线由 A 传到 B的最小的路径，所以要使 A、B 两城市之间运输时间最少，转运码头 D与海岛 城市 A的连线与海岸的夹角 60 kmkmACCD 340 3 120 60tan kmBD 340160 即码头应建在距 B 城 km340160 处。 比较上述两种解法可看出：把船在水中的运动设想为光在水中的传播，灵活应用费马原 理（光程最短） ，把复杂的数学求极值转化为物理中的全反射现象，化繁为简，使解题步骤大 大简化，提高了解题的效率。 五．绝缘光滑水平面上固定一个正点电荷 +Q，另一个质量为 m、带电量为 -q 的质点在水 平面上绕 +Q做椭圆运动，运动过程中 -q 在水平方向上只受 +Q的库仑引力作用。已知在 -q 的 运动中距 +Q的最近距离为 a，最远距离为最近距离的 n 倍。问： -q 到达离 +Q最近距离处速率 ν 1 多大？到达离 +Q最远距离处速率 ν 2 多大？当 -q 到达离 +Q最远处时，欲要 -q 变为绕 +Q做 匀速圆周运动，需要向 -q 提供多少能量？ 解： q 在运动中只有库仑力做功，动能与电势能总和保持不变，运用开普勒行星运动第 二定律有： na kQqmv a kQqmv 2 2 2 1 2 1 2 1 ， 21 nvv ， 联拉方程可解出 1v 和 2v ： ma kQq n nv 2 11 ， ma kQq nn nv 2 )1(2 ， q 在最远点从椭圆运动变为匀速圆周运动后，其速率要由 2v 变为 2v ，而 2v 由牛顿第二 定律求出： na vm na Qqk 2 2 2)( ， 则 - 6 - na kQq n nmvvmE 21 1 2 1 2 1 2 2 2 2 。 六. 铀 U238 92 的半衰期 τ=45 亿年，最后衰变成稳定的铅 .206 82 Pb ，假设从有地球开始铀 就连续衰变，现在测出矿石中所含铀和铅的质量之比为 .6.3:4 试确定地球的年龄。 解：设放射性元素 U238 92 衰变前的原子核数为 N ，衰变后剩余原子核数为 ,N 由半衰期 概念可知 t NN ) 2 1(0 根据题意可得 6.3 4 )12(206 238 t Pb U N M M 由此可得 04.22 t 两边取对数后有 04.2121 45 ggt 解得 46t 亿年 所以，地球的年龄约为 46 亿年。 七. 45027. 边长为 a 的正方形导线框置于按空间均匀分布的磁场区域 内，磁感应强度 B 的方向与线框平面垂直， B 随时间按正弦规律变化， 如图 45-26(a) 所示。若线框中产生的最大感应电流为 I m，导线的电阻率为 ρ， 求导线的横截面积。 分析： 已知电阻率 ρ和线框的长度 a，要求导线的横截面积 S，则必须 求得线框的电阻 R。而已知 mI 求 R，则必须求感应电动势的最大值 m 。感应电动势是因为 B 的变化引起穿过线框的磁通量变化而产生的， 但是我们无法 用初等数学知识求出磁量的变化率，也无法求出感应电动 势。我们用等效法来解开这个难题。 现在将图 45-26(a) 的情况等效为图 45-26(b) 的情况。 这两种情况之所以等效，是因为：图 45-26(a) 中 B 按正弦 规律变化，线框面积 2a 不变，从而使穿过线框的磁通量按 正弦规律变化；图 45-26(b) 中 B 不变， B 穿过线框的有效面积按正弦规律变化，从而使穿过 a B 图 45-26(a) B mB mB O T t 图 45-26(b) - 7 - 律变化。 如果令转速 T 2 （ T线框的磁通量按正弦规 为图 45-26(a) 中 B 按正 弦规律变化的周期） ，初始位置时 B 与线框平面平行，图 45-26(b) 中的 B为图 45-26(a) 中 的 mB ，那么两图中的线 框的磁通量变化情况就完全相同 了 ， 即 等 效 了 。 图 45-26(b) 中感应电流的最大值即 为图 45-26(a) 中感应电 流的最大值。 解： 线框中感应电 动势的最大值为 T aB T aBaB m mmm 2 22 22 ， 线框中感应电流的最大值为 RT aB R I mm m 22 。 根据电阻定律，线框的电阻 S a S LR 4 ， 代入上式解得，导线的横截面积为： aB TIS m2 。 O mB 图 45-26(C) O