2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题16直线与圆（热点难点突破）文（含解析） 8页

直线与圆 ‎1．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．‎ ‎2．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为P，Q的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为(　　)‎ A．2 B．－2 C．3 D．－3‎ 答案　A 解析　根据题意画出图形，如图所示．‎ 直线l1：x－2y＋1＝0 与直线l2：mx＋y＋3＝0 的交点为A，M 为PQ 的中点，‎ 若|AM|＝|PQ|，则PA⊥QA，‎ 即l1⊥l2，∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.‎ ‎3．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(　　)‎ A．x＋(－1)y－＝0 B．(1－)x－y＋＝0‎ C．x－(＋1)y＋＝0 D．(－1)x－y＋＝0‎ 答案　C 解析　如图所示可知A(，0)，‎ 8‎ B(1,1)，C(0，)，D(－1,1)，‎ 所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，‎ y＝(1－)x＋，‎ y＝(－1)x＋ 整理为一般式即 x＋y－＝0，‎ x－y＋＝0，‎ x－y＋＝0，‎ 故选C.‎ ‎4．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是(　　)‎ A．(x＋1)2＋2＝2 B．(x－1)2＋2＝4‎ C．(x－1)2＋2＝2 D．(x＋1)2＋2＝4‎ 答案　C ‎5．已知点P是直线l：x＋y－b＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于(　　)‎ A．2 B．±2 C. D．± 答案　B 解析　由题意得∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，‎ ‎|MO|＝|ON|＝1，‎ ‎∴四边形PMON是正方形，∴|PO|＝，‎ ‎∵满足以上条件的点P有且只有一个，‎ 8‎ ‎∴OP垂直于直线x＋y－b＝0，‎ ‎∴＝，∴b＝±2.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，直线l的方程为y＝k(x＋2)，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2＋y2＝4上至少存在三点到直线l：y＝k(x＋2)的距离为1，则圆心(0,0)到直线kx－y＋2k＝0的距离d应满足d≤1，即≤1，解得k2≤，即－≤k≤，故选B.‎ ‎7．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由x2＋y2－kx＋2y＝0与x2＋y2＋ky－4＝0，相减得公共弦所在直线方程kx＋y－4＝0，‎ 即k(x＋y)－＝0，‎ 所以由得x＝2，y＝－2，‎ 即P，因此2m＋2n－2＝0，‎ 所以m＋n＝1，mn≤2＝(当且仅当m＝n时取最大值)．‎ ‎8．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)‎ A.2＋y2＝ B.2＋y2＝ C．x2＋2＝ D．x2＋2＝ 答案　C 8‎ 解析　由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0，a)，半径为r，‎ 则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，‎ 即r2＝，|a|＝，即a＝±，‎ 故圆C的方程为x2＋2＝.‎ ‎9．设m，n为正实数，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0相切，则mn(　　)‎ A．有最小值1＋，无最大值 B．有最小值3＋2，无最大值 C．有最大值3＋2，无最小值 D．有最小值3－2，最大值3＋2 答案　B ‎10．已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)且|AB|＝2，过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①＝；②－＝2；③＋＝2.其中正确结论的序号是(　　)‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①②③‎ 答案　D 解析　根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，并且可以求得A(0，－1)，B(0，＋1)，‎ 因为M，N在圆O：x2＋y2＝1上， ‎ 所以可设M(cos α，sin α)，‎ N(cos β，sin β)，‎ 8‎ 所以|NA|＝ ‎＝，‎ ‎|NB|＝ ‎＝，‎ 所以＝－1，‎ 同理可得＝－1，‎ 所以＝，‎ －＝－(－1)＝2，‎ ＋＝2，‎ 故①②③都正确．‎ ‎11．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≤－4 B．－4≤a≤6‎ C．a≤－4或a≥6 D．a≥6‎ 答案　D 解析　表示圆上的点到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，表示圆上的点到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，‎ 所以的取值与x，y无关，即圆上的点到直线l1，l2的距离与圆上点的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以d＝≥1，并且a>0，解得a≥6，故选D.‎ ‎12．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.‎ 押题依据　本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路．‎ 答案　 8‎ 解析　联立两圆方程 可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，‎ 故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为 ＝(a>0)．‎ 故2＝2，‎ 解得a2＝，‎ 因为a>0，所以a＝.‎ ‎13．直线x＋ysin α－3＝0(α∈R)的倾斜角的取值范围是_____．‎ 答案　 解析　若sin α＝0，则直线的倾斜角为；‎ 若sin α≠0，‎ 则直线的斜率k＝－∈，‎ 设直线的倾斜角为θ， ‎ 则tan θ∈，‎ 故θ∈∪ ，‎ 综上可得直线的倾斜角的取值范围是.‎ ‎14．若过点(2,0)有两条直线与圆x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0相切，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(－1,1)‎ 解析　由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0相切，‎ 则点(2,0)在圆外，即22－2×2＋m＋1>0，解得m>－1；‎ 由方程x2＋y2－2x＋2y＋m＋1＝0表示圆，‎ 则(－2)2＋22－4(m＋1)>0，解得m<1.‎ 综上，实数m的取值范围是(－1,1)．‎ ‎15．已知直线l：mx－y＝1.若直线l与直线x－my－1＝0平行，则m的值为________；动直线l被圆x2＋2x＋y2－24＝0截得的弦长的最小值为________． ‎ 答案　－1　2 8‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是________．‎ 答案　 解析　设点M(x，y)，因为|MA|2＋|MO|2≤10，‎ 所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10，‎ 即x2＋y2－2x－3≤0，‎ 因为(x＋1)2＋y2＝2，所以y2＝2－(x＋1)2，‎ 所以x2＋2－(x＋1)2－2x－3≤0，‎ 化简得x≥－.‎ 因为y2＝2－(x＋1)2，所以y2≤，‎ 所以－≤y≤.‎ ‎17．设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为d.当d最小时，圆C的面积为________．‎ 答案　2π 解析　如图，设圆心坐标为C(a，b)，‎ 8‎ 则 ‎ 即2b2＝a2＋1，‎ 所以圆心C(a，b)到直线x－2y＝0的距离 d＝，‎ 故d2＝＝(a2＋4b2－4ab)．‎ 由于a2＋b2≥2ab，即－4ab≥－2a2－2b2，‎ 故d2＝(a2＋4b2－4ab)≥(2b2－a2)＝ ‎(当且仅当a＝b时取等号)，‎ 此时r2＝a2＋1＝2，故圆的面积S＝πr2＝2π.‎ 8‎