2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）数学 6页

数学试题第 1 页（共 6 页） 绝密★启用前 试卷类型：A 2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 A 为 2 ( 0)x xx  的值域, B 为 2lg( 3 2)x x  的定义域,则 RA BC  A.(2, ) B. )( , 1) [ 2 2 ,   C.( , 1)  D.以上均不对 2.若 1 3 2iz   ,则 1 2 4 7i zz  的模为 A. 5 5 B. 3 3 C. 3 5 5 D. 2 5 5 3.我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，以至于不 可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 1+ 1 11 1  中“…”即代表无限次重复,但原式是个定值,它可以通过方程1 1 xx  求得 5 1 2x   .类似上述过程,则 3 2 3 2   的值为 A.3 B. 13 1 2  C.6 D. 2 2 4.已知点O 为 ABC 所在平面内一点，给出下列关系式： ① 0OA OB OC       ； 数学试题第 2 页（共 6 页） ②OA OB OB OC OA OC           ； ③ ( ) ( ) 0 | | | | | | | | AC ABO O BCA B AC AB BA BC BA                ； ④( ) ( ) 0OA OB AB OB OC BC            则四个关系式对应的O 分别为三角形的 A.垂心、重心、内心、外心 B.重心、内心、外心、垂心 C.重心、垂心、内心、外心 D.内心、垂心、重心、外心 5.已知点 (0, 3), (4,0)A B , P 是圆 2 2 2 0: y yC x    上的动点,则三角形 ABP 面积的最小 值为 A.6 B.11 2 C.13 2 D.5 6.如图,在杨辉三角中,斜线上方的数组成数列:1,3,6,10,,记这个数列的前 n 项和为 nS ,则当 n   时, 3 n n S 的极限值等于 A.5 B.6 C.7 D.8 7.已知定义在(0, ) 上的可导函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) 0f x f x  ,则 A. ( 1) ( )( )xe x x x xf exe f e e    B. ( 1) ( )( )xe x x x xf exe f e e    C. ( 1) ( )( )xe x x x xf exe f e e    D. ( 1) ( )xe x xe f e  和 ( ) x xf ex e 大小不确定 8. 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 , P 为 1 1 1 1,AC B D 交 点 , , ,E F G 分 别 为 , ,AD AB BC 中点,则四面体 P EFG 外接球的体积为 A. 25 4  B. 25 12  C.125 48  D. 375 256  二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 第 6 题图 数学试题第 3 页（共 6 页） 9.已知 1 3 16iz   ,设 1z 在复平面上所对应的点为 A ,过点 A 的直线 l 的横截距为-3,纵截距 为 8,则下列复数在复平面上所对应的点在直线l 上的是 A. 165 i3  B. 402 i3 C. 161 i3  D. 483 i3 10.下列说法正确的是 A.已知 P 为平面内一点, 1 2,F F 为平面内两个定点,若 1 2| | ( 0)PF PF C C   ,则 P 的轨迹为 双曲线 B. 空 间 内 一 点 P 位 于 平 面 ABC 内 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 有 序 实 数 对 ( , )x y , 使 AP x AB y AC     C.可导函数 ( )y f x 的图像关于点( , ( ))a f a 中心对称的充要条件为 '( )y f x 的图像关于 直线 x a 对称 D. 已 知 , ,a b c 为 空 间 内 不 重 合 的 三 条 直 线 , ,  为 不 重 合 的 两 个 平 面 , 若 , , ,a b c a b c  ∥ ∥ ,则 ∥ 11.已知抛物线 2: ( 0)C y mx m  ,过抛物线的焦点 F 的直线l 与C 交于 ,A B 两点,则 A. F 的坐标为( ,0)m B. 1 1 4 | | | |AF BF m  C. 23 16 mOA OB    D. 4OA OBk k   12. 已知定义在(0, ) 上的可导函数 ( )f x 满足：① ( ) 0f x  ;② 2 ( ) '( ) 3 ( )f x f x f x  , 其中 '( )f x 为 ( )f x 的导函数,e 为自然对数的底数,则 A. 4 3 (1) 1 1( , )(2) f f e e B. 3 2 (1) 1 1( , )(2) f f e e C.若 m n ,则 2( ) 3( )( ) ( , )( ) m n m nf m e ef n   D. 若 m n ,则 2( )( ) ( , )( ) m n m nf m e ef n   三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 2( 1)( ) x xf x e  的图像在点(1, (1))f 的切线方程为 . 数学试题第 4 页（共 6 页） 14.在计算机科学中，有一类问题被称为“0-1 背包问题”,其问题描述如下：有 N 件物品和 一个容量为V 的背包。第 i 件物品的体积是 ic ，价值是 iw 。 求解将装入背包的物品的价值最大值。设 ,i jf 表示当放置第 i 件物品,背包容量为 j 时的最大价值总和，则 ,i jf 的递推关系 式为 ；若给出以下数据,则该组数据对应 的答案为 .（设 max{ , }a b 为 ,a b 之中较大的值） 15.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插 器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝 的十字立方体,其上下左右前后完全对称.从外表上看,六根等长的正四 棱柱体分成三组,经90 榫卯起来,如右图所示,若正四棱柱体的高为 6, 底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进一个球形容器里,则该球形容 器表面积的最小值为 （容器壁的厚度忽略不计） 16.关于圆周率 ,数学发展史上出现过很多有创意的求法,如著名的普 丰实验和查理斯实验.受此启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 200 名 同学每人随机写下一个 ,x y 都小于1的正实数对( , )x y ,再统计两数能与1构成钝角三角形三 边的数对( , )x y 的个数 m ,最后根据统计数 m 来估计 的值,假如统计结果是 56m  ,那么可 以估计  .（用分数表示） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 在① 23nS n n  ,②设 1 2,a a 为方程 2 10 16 0x x   的两根且 1 2a a ,③设 1a 为最小 的素数, 2a 为 4,16 的等比中项这三个条件中任选一个补充在下面问题中. 问题：已知 na 为各项均为正项的等差数列, . （1） 求 na 的通项公式； （2） 设 3n n nb a  ,求 nb 的前 n 项和 nT . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 70（背包体积）3（物品件数） 71 （物品占用的体积，下同）100 （物品的价值，下同） 69 1 1 2 数学试题第 5 页（共 6 页） 18.（12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3, 2, 45a c B    ． （1）求sinC 的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4cos 5ADC   ，求 tan DAC 的值． 19.（12 分） 在四面体 P ABC 中, 1, 3, 2, , ,AB AP AC CP AB AC E F     为 ,BC PC 中 点. （1） 求证： EF AC ； （2） 若 2BP  ,求二面角 E AF C  的余弦值. 20.（12 分） 某省 2021年开始将全面实施新高考方案．思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目采 用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为 A , B ,C , D , E 共5 个等级，各等级 人数所占比例分别为15% 、35% 、35% 、13% 和 2% ，并按给定的公式进行转换赋分． 该省组织了一次高三年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这 4 门科目的原始分 进行了等级转换赋分． （1）某校的 200 名选择思想政治学科的高三学生此次考试获得的等级统计如下，请将下 面的 2 2 列联表补充完整； 等级 性别 获得 A 等级 未获得 A 等级 合计 男 30 女 60 合计 80 200 （2）请根据上面的 2 2 列联表判断，是否有 95%的把握认为思想政治学科获得 A 等级与 性别有关？ （3）某校生物学科获得 A 等级的共有 10 名学生，其原始分及等级分如下表： 原始分 91 90 89 88 87 85 83 82 等级分 100 99 97 95 94 91 88 86 人数 1 1 2 1 2 1 1 1 现从这 10 名学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中生物等级分不低于95 分的人数为 X ， 数学试题第 6 页（共 6 页） 求 X 的分布列和数学期望； （4）假设该省此次高三学生生物学科原始分Y 服从正态分布 (75.8 36)N ， ．若 2~ ( , )Y N   ， 令 Y    ，则 ~ (0,1)N ，请解决下列问题： ①若以此次高三学生生物学科原始分 C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估 计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数） ②现随机抽取了该省800 名高三学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相 互独立，记 为被抽到的原始分不低于 71分的学生人数，求 ( )P k  取得最大值时 k 的值． 附：若 ~ (0,1)N ，则 ( 0.8) 0.788P   , ( 1.04) 0.85P   ； 2 0( )P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 21.（12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b  ( 0a b  )经过点 ( 2,0) 和 3(1, )2 ，椭圆C 上三点 , ,A M B 与原点O 构成一个平行四边形 AMBO ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若点 B 是椭圆C 的左顶点，求点 M 的坐标； （3）若 , , ,A M B O 四点共圆，求直线 AB 的斜率． 22.（12 分） 已知函数 1( ) cos ( 0)axf x e x a   .（其中常数 2.71828e  ,是自然对数的底数） （1） 若 3a  ,求 ( )f x 在(0, )2  上的极大值点； （2） （i）证明 ( )f x 在 2 (0, ) 1 a a 上单调递增； （ii）求关于 x 的方程 1 ( ) af x e  在[0, ]2  上的实数解的个数. (第 21 题图) A O M x y B