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- 2021-06-03 发布
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南阳市2019年秋期高中三年级期终质量评估数学试题(理)
注意事项:
1.本试卷分第1卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分,考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.
2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁,不折叠、不破损.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合,,则
A. B.
C. D.
答案:A
2. 设复数(为虚数单位),则复数的虚部为
A. B.
C. D.
答案:C
3. 在一个不透明的容器中有6个小球,其中有4个黄球,2个红球,它们除颜色外完全相同,如果一次随机取出2个球,那么至少有1个红球的概率为
A.
B.
C. D.
答案:B
1. 已知函数(的最小正周期为,则下列说法正确的是
A.函数的图像关于对称 B.函数的图像关于对称
C.函数的图像关于直线对称 D.函数的图像关于直线对称
答案:B
2. 甲、乙两类水果的质量(单位:)分别服从正态分布,,其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是
A.甲类水果的平均质量
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数
答案:D
3. 函数的大致图像为
答案:D
1. 已知,,,,则
A. B.
C. D.
答案:B
2. 在如图算法框图中,若,程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的倍,那么判断框中应填入的关于的判断条件是
A. B.
C. D.
答案:C
3. 已知是等差数列的前项和,若,设,则数列的前项和取最大值时
的值为
A. B.
C. D.
答案:D
1. 十八世纪,函数(表示不超过的最大整数)被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,结合定义的表述,人们习惯称为“取整函数”,根据上述定义,则方程的所有实数根的个数为
A. B.
C. D.
答案:C
2. 某三棱锥的三视图如图所示,其中主视图是等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为
A. B.
C. D.
答案:D
3. 已知函数,若函数的零点均在区间(,,)内,则的最小值是
A. B.
C.
D.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
1. 已知向量,,若,则实数的值为________.
答案:
2. 学校准备将名同学全部分配到运动会的田径、拔河和球类个不同项目比赛做志愿者,每个项目至少名,则不同的分配方案有________种(用数字作答).
答案:150
3. 已知双曲线的左右两个焦点分别为,,,为其左、右两个顶点,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为,且,则该双曲线的离心率为________.
答案:
4. 已知函数(为自然对数的底数,,为常数)有三个不同的零点,则实数的取值范围为________.
答案:
三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22,23题为选考题,考生根据要求作答.)
5. (本小题满分12分)
如图,在中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求的大小;
(2)若,点、在的异侧,,,求平面四边形面积的最大值.
解析:(1)因为,且,
所以……………………………………………………1分
在中,
所以…………………………………………2分
所以
所以……………………………………………………3分
因为在中,
所以 ……………………………………………………………4分
因为是的内角
所以∠ACB=.…………………………………………………………………5分
(2)在中,…………………………6分
因为是等腰直角三角形,
所以 ……………………………………………7分 ………………………………………………………8分
所以平面四边形的面积 ………………………9分
因为
,所以……………………………………………10分
所以当即时,, …………………………11分
此时平面四边形的面积有最大值.…………………………12分
1. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,.
(1)证明:平面;
(2)若二面角为直二面角,求与平面所成角的大小.
解析:设以O为原点,OC,OD分别为轴、轴建立空间直角坐标系则设 .............2分
证明:由PE=2EC得
所以,,所以PC⊥BE,PC⊥BD,又,
所以PC⊥平面BDE. .............5分
(2)设平面PAB的法向量为=,又,
由取
= .............7分
设平面PBC的法向量为=,又,
由取= .............9分
由题意得, .........10分
,
又 .............11分
所以PD与平面PBC所成角的正弦值为,PD与平面PBC所成角为 .............12分
1. (本小题满分12分)
设直线与抛物线交于,两点,与椭圆交于,两点,设直线,,,(为坐标原点)的斜率分别为,,,,若.
(1)证明:直线过定点,并求出该定点的坐标;
(2)是否存在常数,满足?并说明理由.
解析:(1)证明:由题知,直线的斜率存在且不过原点,
故设,
由可得,. ............2分
OA⊥OB.,,故 ............4分
所以直线的方程为
故直线恒过定点(0,2). ............5分
(2
)由(1)知
............7分
设
由可得,
.............9分 ......11分
,即存在常数满足题意. ............12分
1. (本小题满分12分)
已知函数
(1)若函数有个零点,求实数的取值范围;
(2)若关于的方程有两个不等实根,,证明:①;②.
解析:(1)由题知,与有两个交点,, .... 1分
由得,;由得,,
在上单增,在上单减, ...........3分
又,且时,,故 ...........4分
(2)①方程可化为,令,,
所以在
上单增,在上单减,又 ...........6分
不妨设.则,要证明只需证
且在上单减,所以证
令, ............7分
则
当时,,
即在单增.又, ..........8分
对恒成立,即成立
即成立 ............10分
②由①得,即,命题得证. ...12分
1. (本小题满分12分)
一种掷硬币走跳棋的游戏:在棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第100站,共100站,设棋子跳到第站的概率为,一枚棋子开始在第1站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.若硬币的正面向上,棋子向前跳一站;若硬币的反面向上,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第站(失败)或者第站(获胜)时,游戏结束.
(1)求,,;
(2)求证:数列(=1,2,3,…,98)为等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
解析:(1)棋子开始在第1站是必然事件,;
棋子跳到第2站,只有一种情况,第一次掷硬币正面向上,其概率为;
棋子跳到第3站,有两种情况,①第一次掷硬币反面向上,其概率为;②前两次掷硬币都是正面向上,其概率为,; .......................3分
(2)棋子棋子跳到第n+2()站,有两种情况:①棋子先跳到第站,又掷硬币反面向上,其概率为;②棋子先跳到第站,又掷硬币正面向上,其概率为.故 ......................5分
又,
数列是以为首项,为公比的等比数列. ................7分
(3)由(2)得. ...............8分
...............11分
所以获胜的概率为 ...............12分
(说明:
①若计算出当做获胜的概率扣2分;
②获胜的概率也可以由求得)
(二)选考题:共10分、请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题计分.
1. (本小题满分10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,且曲线与恰有一个公共点.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知曲线上两点,满足,求面积的最大值.
解析:(Ⅰ)曲线极坐标方程可化为,
将代入上式可得直角坐标方程为,
即,所以曲线为直线. ......................2分
又曲线是圆心为,半径为的圆,
因为圆与直线恰有一个公共点,
所以,
所以圆的普通方程为, ....................4分
把代入上式可得的极坐标方程为,
即. ......................5分
(Ⅱ)
由题意可设, , ......................8分
所以当时,的面积最大,且最大值为. .......................10分
1. (本小题满分10分)
若关于的不等式有解,记实数的最大值为.
(1)求的值;
(2)若正数,,满足,求的最小值.
解析:(1)设
所以的值域为, .......................3分
故,解得 .........................5分
(2)由(1)知即
.........................9分
(当且仅当即时取等号)
故的最小值为. ...............................10分
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