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- 2021-06-04 发布
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课时作业(十)
1.设a,b,c,d,m,n都是正数,P=+,Q=·,则( )
A.P≤Q B.P≥Q
C.P=Q D.不确定
答案 A
解析 利用柯西不等式有
(ma+nc)(+)≥(·+·)2=(+)2,即·≥+,即P≤Q,故选A.
2.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系式为( )
A.y1y2x1x2 D.不能确定
答案 C
3.已知+=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为( )
A.AB
C.A≤B D.A≥B
答案 D
解析 A=a2+b2=1·(a2+b2)=(+)(a2+b2)≥(·a+·b)2=(x+y)2=B.
4.函数y=+2的最大值是( )
A. B.
C.3 D.5
答案 B
解析 y=1×+2≤×
=.
5.已知3x+y=10,则x2+y2的最小值为( )
A. B.1
C.10 D.100
答案 C
解析 ∵3x+y=10,∴100=(3x+y)2=(3×x+1×y)2≤(32+12)(x2+y2)=10(x2+y2),∴x2+y2≥10.
4
6.设x,y∈R+,且x+2y=8,则+的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 +=(x+2y)(+)≥(·+·)2=.
7.已知p,q∈R+,且p3+q3=2,则p+q的最大值为( )
A.2 B.8
C. D.4
答案 A
解析 设m=(p,q),n=(p,q),则p2+q2=p·p+q·q=|m·n|≤|m|·|n|=·=·.
∵(p+q)2≤2(p2+q2),
∴≤p2+q2≤.
∴(p+q)4≤8(p+q),∴p+q≤2.
8.若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是( )
A.[0,] B.[-,0]
C.[-,] D.[-5,5]
答案 C
9.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为( )
A.30 B.-30
C. D.-
答案 C
10.已知a,b∈R+,且a+b=1,则+的最大值是( )
A.2 B.2
C. D.12
答案 B
11.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为________.
答案
4
解析 2x+y=×x+1×y≤×=×=.
12.设xy>0,则(x2+)(y2+)的最小值为________.
答案 9
解析 (x2+)(y2+)≥(x·+·y)2=9.
13.已知a,b∈R+,且a+b=1,则+的最小值是________.
答案 +
解析 因为a,b∈R+且a+b=1,
所以+=(+)(a+b),由柯西不等式得
(+)(a+b)≥(·+·)2
=(+1)2=+.当且仅当时等号成立,此时a=-1,b=2-.
14.设x>0,y>0,x+y≤4,则+的最小值为________.
答案 1
解析 4(+)≥(x+y)(+)
=[()2+()2]·[()2+()2]
≥(·+·)2=(1+1)2=4,
∴+≥1.
15.已知a,b,c为正数,且满足acos2θ+bsin2θ