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- 2021-06-07 发布
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- 1 -
成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟数 学(文科)
第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 1,0,1,2,3,4A , 2| ,B y y x x A ,则 A B ( )
A. 0,1,2 B. 0,1,4 C. { }1,0,1,2- D.
1,0,1,4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合 A 求得集合 B ,由此求得 A B .
【详解】由于 1,0,1,2,3,4A ,所以对于集合 B , y 的可能取值为
2 2 2 2 2 21 1 1,0 0,2 4,3 9,4 16 ,
即 0,1,4,9,16B .
所以 0,1,4A B .
故选:B
【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算,属于基础题.
2. 已知复数 1
1 iz
,则 z ( )
A. 2
2
B. 1 C. 2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用复数除法运算化简 z ,再求得 z 的模.
【详解】依题意
1 1 1 1
1 1 2 2
iz ii i
,所以
2 21 1 2
2 2 2z
.
故选:A
- 2 -
【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数的模的运算,属于基础题.
3. 设函数 f x 为奇函数,当 0x 时, ( ) 2 2f x x= - ,则 1f f ( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质以及函数 f x 的解析式,依次求得 1f , 1f f 的值.
【详解】函数 f x 为奇函数, 21 1 2 1f , 1 1 1 1 1f f f f .
故选:C
【点睛】本小题主要考查奇函数的性质,属于基础题.
4. 已知单位向量 1e
, 2e
的夹角为 2
3
,则 1 22e e
( )
A. 3 B. 7 C. 3 D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平方再开方的方法,结合已知条件以及向量运算,求得 1 22e e
.
【 详 解 】 依 题 意 ,
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 12 2 4 4e e e e e e e e 21 4 cos 4 73
.
故答案为:D
【点睛】本小题主要考查平面向量模和数量积的运算,属于基础题.
5. 已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的渐近线方程为 3y x ,则双曲线的离心率是
( )
A. 10 B. 10
3
C. 10 D. 10
9
【答案】A
【解析】
- 3 -
【分析】
由渐近线求得 b
a
,由双曲线的离心率
2
1c be a a
求得答案.
【详解】双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
其焦点在 x 轴上
根据焦点在 x 轴上的渐近线为: by xa
又 该双曲线的渐近线方程为 3y x ,
3b
a
,
双曲线的离心率
2
21 1 3 10c be a a
故选:A.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,涉及双曲线的渐近线方程,考查了分析能力和计算能
力,属于基础题..
6. 已知等比数列 na 中, 1 0a ,则“ 1 4a a ”是“ 3 5a a ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
结合等比数列通项公式可求得 q的范围,可验证充分性和必要性是否成立,由此得到结果.
【详解】设等比数列 na 的公比为 q,
由 1 4a a 得: 3
1 1a a q ,又 1 0a , 3 1q ,解得: 1q ,
2 4
3 1 1 5a a q a q a ,充分性成立;
由 3 5a a 得: 2 4
1 1a q a q ,又 1 0a , 4 2q q ,解得: 1q 或 1q ,
当 1q 时, 3
4 1 0a a q , 4 1a a ,必要性不成立.
- 4 -
“ 1 4a a ”是“ 3 5a a ”的充分不必要条件.
故选: A .
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定,涉及到等比数列通项公式的应用,属于基础
题.
7. 如图所示的程序框图,当其运行结果为 31 时,则图中判断框①处应填入的是( )
A. 3?i B. 4?i C. 5?i D. 6?i
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图的运行,循环算出当 31S 时,结束运行,总结分析即可得出答案.
【详解】由题可知,程序框图的运行结果为 31,
当 1S 时, 9i ;
当 1 9 10S 时, 8i ;
当 1 9 8 18S 时, 7i ;
当 1 9 8 7 25S 时, 6i ;
当 1 9 8 7 6 31S 时, 5i .
此时输出 31S .
故选:C.
【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.
8. 已知 a ,b 为两条不同直线, , , 为三个不同平面,下列命题:①若 // , // ,
则 // ;②若 //a , //a ,则 // ;③若 , ,则 ;④若 a ,b ,
则 //a b .其中正确命题序号为( )
A. ②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③
【答案】C
- 5 -
【解析】
【分析】
根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.
【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若 // , // ,则 // ,故①正确;
若 //a , //a ,平面 , 可能相交,故②错误;
若 , ,则 , 可能平行,故③错误;
由线面垂直的性质可得,④正确;
故选:C
【点睛】本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.
9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,
所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或
者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有
高阶等差数列,其前 7 项分别为 1,5,11,21,37,6l,95,则该数列的第 8 项为( )
A. 99 B. 131 C. 139 D. 141
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中所给高阶等差数列定义,寻找数列的一般规律,即可求得该数列的第 8 项;
【详解】所给数列为高阶等差数列
设该数列的第 8 项为 x
根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,
得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列
即得到了一个等差数列,如图:
根据图象可得: 34 12y ,解得 46y
95 46x y
- 6 -
解得: 141x
故选:D.
【点睛】本题主要考查了数列的新定义,解题关键是理解题意和掌握等差数列定义,考查了
分析能力和计算能力,属于中档题.
10. 已知 2logπa e , ln ,πb e
2
ln ec π
,则( )
A. a b c B. b c a C. b a c D.
c b a
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性、作差法即可得出.
【详解】解: ee
, 1
2b ,
又 1b c . c b .
2
2
π
e 2log e ln (2 ) 2 2 2 0π
2a c ln lnln ln
.
a c .
b c a .
故选:B.
【点睛】本题考查了对数函数的单调性、作差法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
11. 已知一个四面体的每一个面都是以 3,3,2 为边长的锐角三角形,则这个四面体的外接
球的表面积为( )
A. 11π
4
B. 11
2
π C. 11π D. 22π
【答案】C
【解析】
【分析】
考虑一个长方体 1 1 1 1ABCD A B C D ,其四个顶点就构成一个四面体 1 1AB CD 恰好就是每个三
角形边长为3,3,2 ,则四面体的外接球即为长方体的外接球,进而计算出其外接球的直径,即
可得外接球的表面积.
- 7 -
【详解】设长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的长宽高分别是 , ,a b c ,其四个顶点就构成一个四面体
1 1AB CD 满足每个面的边长为3,3,2 ,如图:
则四面体的外接球即为长方体的外接球,
因为 2 2 9a b , 2 2 9b c , 2 2 4c a ,所以 2 2 2 11a b c ,
所以,长方体的外接球直径 2 11R ,
故外接球的表面积 24 11S R .
故选:C.
【点睛】本题考查求一个几何体的外接球表面积,关键是求出外接球的半径,将几何体补成
一个长方体是解题的关键,考查数形结合思想,属于基础题.
12. 已知 P 是椭圆
2
2 14
x y 上一动点, 2,1A , 2,1B ,则 cos ,PA PB
的最大值是
( )
A. 6 2
4
B. 17
17
C. 17 7
6
D. 14
14
【答案】A
【解析】
【分析】
记 ,PA PB
, 考 虑 90 , 当 直 线 AP 、 BP 之 中 有 一 条 直 线 的 斜 率 不 存 在 时
tan 4AB
AP
,当直线 AP、BP 斜率都存在时由 tan 1
AP BP
AP BP
k k
k k
求出 tan 关于 y 的表达
式,利用换元法和基本不等式即可求得 tan 的范围,再由 2
1cos 1 tan
转化为 cos 的
- 8 -
范围即可求得最大值.
【详解】记 ,PA PB
,若 90 ,则 cos 0 ;若 90 ,则 cos =0 ;
考虑 90 ,当直线 AP、BP 之中有一条直线的斜率不存在时,不妨设 P 点位于左顶点,
此时直线 AP 斜率不存在, tan 4AB
AP
;
当直线 AP、BP 斜率都存在时,设 ( , )P x y ,有
2
2 14
x y ,
2 2
1 1
4(1 )2 2tan 1 11 4 ( 1)1 2 2
AP BP
AP BP
y y
k k yx x
y yk k x y
x x
2 2 2
4(1 ) 4(1 )
4 4 4 ( 1) 3 2 1
y y
y y y y
, ( 1 1)y
令 1 [0,2]t y ,则 2
4tan 3 8 4
t
t t
,
当 0t 时, tan 0 (此时 1, ,cos 1y ),
当 (0,2]t ,
4 4 4tan 2 3 44 4 8 4 33 8 8 3t tt t
,当且仅当 43t t
即
2 3
3t 时取等号,
则 2 22
1 1 1cos 1 tan 1 2 3 6
6 2
42
.
综上所述, cos ,PA PB
的最大值是 6 2
4
.
故选:A
【点睛】本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率,涉及换元法求函数的
- 9 -
最值、基本不等式、同角三角函数的关系,属于较难题.
第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上.
13. 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 1 1a , 1 1 2n na S n ,则 4a ______.
【答案】8
【解析】
【分析】
根据 1 1 2n na S n 可得 1 1n na S ,两式相减可得 1 2n na a ( 2)n ,利用递推关系
即可求解.
【详解】 1 1 2n na S n Q ①,
1 1n na S ②,
② ①得, 1 2n na a ( 2)n ,
当 2n 时, 2 1 11 1 2a S a ,
3 22 4a a ,
4 32 8a a ,
故答案为:8
【点睛】本题主要考查了数列的项 na 与前 n 项和 nS 的关系,考查了利用递推关系求数列的项,
属于中档题.
14. 已知实数 x ,y 满足线性约束条件
1
1
7
x
y
x y
,则目标函数 2z x y 的最大值是______.
【答案】15
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域,再利用直线 2y x z 在 y 轴上截距的几何意义求最大值即可.
【详解】作出可行域如图,
- 10 -
由 2z x y 可得 2y x z ,
平移直线 2y x ,
当直线过点 A 时, 2z x y 在 y 轴上截距最大,
由 1
7
y
x y
解得 8, 1x y ,
即 (8, 1)A ,
此时 z 的最大值为 2 8 1 15z ,
故答案为:15
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,数形结合,属于中档
题.
15. 如图是一种圆内接六边形 ABCDEF ,其中 BC CD DE EF FA 且 AB BC .则
在圆内随机取一点,则此点取自六边形 ABCDEF 内的概率是______.
【答案】 3 2
2
- 11 -
【解析】
【分析】
半径为1,利用三角形面积公式得出六边形 ABCDEF ,最后由几何概型概率公式计算即可.
【详解】连接 AC ,显然, AC 中点O 为 ABC 的外接圆圆心,设半径为1
连接 , , ,FO EO DO BO
由于 BC CD DE EF FA , AC 为直径,则 180 454BOC , 135AOB
该六边形的面积为 A F EFO EDO DCO BCO AOO BS S S S S S
1 2 1 3 25 5 1 1 1 2
212 2 2 2BCO AOBS S
则此点取自六边形 ABCDEF 内的概率为
2
3 2
3 22
1 2P
故答案为: 3 2
2
【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算,涉及了三角形面积公式的应用,属于中档题.
16. 若指数函数 xy a ( 0a 且 1)a 与一次函数 y x 的图象恰好有两个不同的交点,则实
数 a 的取值范围是_________.
【答案】 1
(1, )ee
【解析】
【分析】
根据题意可判断 1a ,利用函数的导数,转化求解 a 的最大值,从而求出 a 的取值范围.
【详解】由题意,当 0x 时,函数 0xy a a 且 1a 的图象与一次函数 y x 的图象没
有交点,
- 12 -
设当 0x 时,指数函数 0xy a a 且 1a 的图象与一次函数 y x 的图象恰好有两个不
同的交点,则 1a ,
设 0xy a a 且 1a 与 y x 相切于 ,A m m ,则 ma m , lnxy a a ,
所以, ln 1ma a ,解得 m e ,此时 1
ea e .
即 0xy a a 且 1a 与 y x 恰好有两个不同的交点时实数 a 的取值范围为
1
1, ee
.
故答案为:
1
1, ee
.
【点睛】本题考查了指数函数的性质,函数的导数的应用,切线方程的求法,考查转化思想
以及计算能力,属于中档题.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在 ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c .已知 2
tan sin
a b
A B
.
(1)求角 A 的大小;
(2)若 7a , 2b ,求 ABC 的面积.
【答案】(1)
3A (2) 3 3
2
【解析】
【分析】
(1)根据正弦定理
sin sin
a b
A B
和 2
tan sin
a b
A B
,得到 2
sin tan
a a
A A
,然后利用同角三角
函数基本关系式化简求解.
(2)根据 7a , 2b ,
3A ,利用余弦定理求得 c,再代入 1 sin2ABCS bc A 求解.
【详解】(1)由正弦定理知
sin sin
a b
A B
,又 2
tan sin
a b
A B
,
所以 2
sin tan
a a
A A
.
所以 1cos 2A ,
- 13 -
因为 0 A ,
所以
3A .
(2)因为 7a , 2b ,
3A ,
由余弦定理得 2 2 27 2 2 2 cos 3c c ,
即 2 2 3 0c c .
又 0c ,所以 3c .
故 ABC 的面积为 1 1 3 3sin 2 3 sin2 2 3 2ABCS bc A
.
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
18. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效,对全校 40 个班级进行了一次突击班级卫
生量化打分检查(满分 100 分,最低分 20 分).根据检查结果:得分在[80,100]评定为“优”,
奖励 3 面小红旗;得分在[60,80) 评定为“良”,奖励 2 面小红旗;得分在[40,60) 评定为
“中”,奖励 1 面小红旗;得分在[20,40) 评定为“差”,不奖励小红旗.已知统计结果的部
分频率分布直方图如图:
(1)依据统计结果的部分频率分布直方图,求班级卫生量化打分检查得分的中位数;
(2)学校用分层抽样的方法,从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取 6 个班级,再从这
6 个班级中随机抽取 2 个班级进行抽样复核,求所抽取的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和不
少于 3 的概率.
【答案】(1) 70 分;(2)14
15
.
【解析】
【分析】
(1)利用频率分布直方图,能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数.
- 14 -
(2)“良”、“中”的频率分别为 0.4,0.2.又班级总数为 40.从而“良”、“中”的班
级个数分别为 16,8.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为 4,2.由此
利用对立事件概率计算公式能求出抽取的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和不少于 3 的概率.
【详解】(1)得分[20,40) 的频率为 0.005 20 0.1 ;得分[40,60) 的频率为 0.010 20 0.2 ;
得分[80,100]的频率为 0.015 20 0.3 ;
所以得分[60,80) 的频率为1 (0.1 0.2 0.3) 0.4
设班级得分的中位数为 x 分,于是 600.1 0.2 0.4 0.520
x ,解得 70x
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为 70 分.
(2)由(1)知题意 “良”、“中”的频率分别为 0.4,0.2 又班级总数为 40
于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8 .
分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为 4,2
因为评定为“良”,奖励 2 面小红旗,评定为“中”,奖励 1 面小红旗.
所以抽取的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和不少于 3 为两个评定为“良”的班级或一个评
定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为 A
则 A 为两个评定为“中”的班级.
把 4 个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2 个评定为“中”的班级标记为5,6
从这 6 个班级中随机抽取 2 个班级用点 ( , )i j 表示,其中1 6i j .这些点恰好为 6 6 方格
格点上半部分(不含i j 对角线上的点),于是有 36 6 152
种.
事件 A 仅有 (5,6) 一个基本事件. 所以 1 14( ) 1 ( ) 1 15 15P A P A
所抽取的 2 个班级获得的奖励小红旗面数和不少于 3 的概率为14
15
.
【点睛】本题考查中位数、概率的求法,考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础
知识,考查运算求解能力,是基础题.
19. 如图,在四棱锥 M ABCD 中, AB AD , 2AB AM AD , 2 2MB ,
2 3MD .
- 15 -
(1)证明: AB 平面 ADM ;
(2)若 //CD AB 且 2
3CD AB ,E 为线段 BM 上一点,且 2BE EM ,求三棱锥 A CEM
的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2) 2 3
9
.
【解析】
【分析】
(1)推导出 AB AM , AB AD ,由此能证明 AB 平面 ADM .
(2)推导出 1
3C AEM C ABMV V , 1 1 1
3 3 3A CEM C AEM C ABM D ABM B ADMV V V V V ,由此
能求出三棱锥 A CEM 的体积.
【详解】(1)因为 2AB AM , 2 2MB ,
所以 2 2 2AM AB MB ,于是 AB AM
又 AB AD 且 ,AM AD A AM 平面 ABD , AD 平面 ADM ,
所以 AB 平面 ADM
(2)因为 2, 2 3AM AD MD ,所以 3ADMS △
因为 2BE EM ,所以 1
3C AEM C ABMV V
又 ,CD//AB AB 平面 ADM
所以 1 1 1
3 3 3A CEM C AEM C ABM D ABM B ADMV V V V V
1 1 1 1 23 2 33 3 3 3 9ADMS AB
所以三棱锥 A CEM 的体积为 2 3
9
.
【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面
- 16 -
面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
20. 已知函数
2 2
( ) , ( , )ln
x x ef x x ex x
.
(1)证明:当 (e, )x 时, 3ln x ex x e
;
(2)证明: ( )f x 在 1[2 , )2e 单调递增.(其中 e 2.71828 是自然对数的底数).
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)构造函数 3( ) ln x eg x x x e
,利用导数研究函数单调性及最值即可证明不等式;(2)
求出函数 ( )f x 的导数,利用(1)中所证不等式判断 ( )f x 的导数中分母的符号即可确定导数
的符号,从而确定 ( )f x 的单调性.
【详解】(1)令 3( ) ln , ( , )x eg x x x ex e
,则
2
2 2
1 4 ( )( ) 0( ) ( )
e x eg x x x e x x e
于是 ( )g x 在 ( , )e 单调递增,所以 ( ) 0g x g e
即 3ln , ( , )x ex x ex e
(2)
2 2 2 2 2 2
2 2
(2 1) ln ( )(ln 1) ( )ln ( )( ) ( ln ) ( ln )
x x x x x e x x e x x x ef x x x x x
令 2 2 2 2( ) ( )ln ( ), ( , )h x x e x x x e x e
当 ( , )x e 时,由(1)知 3ln x ex x e
则 2 2 2 2 23 1( ) ( ) ( ) 2 (4 1) 2 [ (2 )]2
x eh x x e x x e x e x x x ex e
当 1[2 , )2x e 时, ( ) 0h x ,从而 ( ) 0f x
故 ( )f x 在 1[2 , )2e 单调递增.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式,属于中档题.
21. 已知点 P 是抛物线C : 21
2y x 上的一点,其焦点为点 F ,且抛物线C 在点 P 处的切线
l 交圆O : 2 2 1x y 于不同的两点 A , B .
- 17 -
(1)若点 2,2P ,求 AB 的值;
(2)设点 M 为弦 AB 的中点,焦点 F 关于圆心O 的对称点为 'F ,求 'F M 的取值范围.
【答案】(1) 2 5
5AB (2) 2 3 3 2 2 1,2 2
【解析】
【分析】
(1)利用导数求出过点 2,2P 的抛物线的切线,切线与圆相交,根据弦心距、半径、弦长
的关系求解即可;
(2)设点 0 0,P x y ,联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程,由韦达定理求出中点 M
的坐标,由两点间距离公式表示出
4 2
0 0
2
0
' 1 1
2 1
x xF M x
,令 2
0 1t x 换元,利用函数的单
调性即可求出取值范围.
【详解】设点 0 0,P x y ,其中 2
0 0
1
2y x .
因为 'y x ,所以切线l 的斜率为 0x ,于是切线l : 2
0 0
1
2y x x x .
(1)因为 2,2P ,于是切线 l : 2 2y x .
故圆心O 到切线 l 的距离为 2
5
d .
于是
2
2 2 2 52 1 2 1 55
dAB
.
(2)联立
2 2
2
0 0
1
1
2
x y
y x x x
得 2 2 3 4
0 0 0
11 1 04x x x x x .
设 1 1,A x y , 2 2,B x y , ,M x y .则
3
0
1 2 2
0 1
xx x x
,
23 2 4
0 0 0
14 1 1 04x x x
.
解得 2
02 2 2 2 2 2x
- 18 -
又 2
0 0x ,于是 2
00 2 2 2x .
于是
3
01 2
2
02 2 1
xx xx
x
,
2
2 0
0 0 2
0
1
2 2 1
xy x x x
x
.
又C 的焦点 10, 2F
,于是 ' 10, 2F
.
故
2 2
3 2
0 0
2 2
0
'
0
1
22 1 2 1
F x x
x x
M
6 4 2
0 0 0
2 22 00
1 11
2 14 1
x x x
xx
.
令 2
0 1t x ,则1 3 2 2t .于是
2
' 1 3 3 1 3 32 2F t t tt tM .
因为 3t t
在 1, 3 单调递减,在 3,3 2 2 单调递增.
又当 1t 时, ' 1
2F M ;当 3t 时, ' 2 3 3
2F M ;
当 3 2 2t 时, ' 2 2 1 1
2 2F M .
所以 'F M 的取值范围为 2 3 3 2 2 1,2 2
.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,圆的方程的应用,考查转化思
想以及计算能力,属于难题.
请考生在第 22,23 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B
铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑.
选修 4 4 :坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 2 3 cos
3sin
x
y
( 为参数,
0 ).在以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线 l 的极坐标方
程是
6
.
(1)求曲线C 的极坐标方程;
(2)若射线 l 与曲线C 相交于 A , B 两点,求 OA OB 的值.
- 19 -
【答案】(1) 2 4 cos 1 0 0 3
;(2)1
【解析】
【分析】
(1)先将曲线C 的参数方程通过消去参数 得出其普通方程,再将普通方程转化为极坐标方
程;(2)设 1, 6A
, 2 , 6B
,联立射线l 与曲线C 的极坐标方程,得出 1 2 1 ,根
据极坐标的定义即可求解 OA OB 的值.
【详解】(1)消去参数 得 2 22 3 0x y y ,将 cosx , siny 代入得
2 2( cos 2) ( sin ) 3 ,即 2 4 cos 1 0 .
所以曲线C 的极坐标方程为 2 4 cos 1 0 0 3
.
(2)将
6
代入 2 4 cos 1 0 0 3
得 2 2 3 1 0 ,
设 1, 6A
, 2 , 6B
,则 1 2 1 ,于是 1 2 1OA OB .
【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化,以及对极坐标的定义的理
解.
选修 4 5 :不等式选讲
23. 己知 0a , 0b ,且 2 4a b ,函数 2f x x a x b 在 R 上的最小值为 m .
(1)求 m 的值;
(2)若 2 2a mb tab 恒成立,求实数t 的最大值.
【答案】(1)2(2)最大值为 2 2 .
【解析】
【分析】
(1)去绝对值把函数 ( )f x 写成分段函数,再利用函数 f x 的单调性确定当
2
ax 时函数
f x 取到最小值 m ,代入计算即可求出 m 的值;
- 20 -
(2)由已知不等式 2 2a mb tab 可转化为
2 2a mbt ab
,即要求出
2 2a mb
ab
的最小值,利
用基本不等式可求出
2 2a mb
ab
的最小值为 2 2 ,即 2 2t ,从而求出实数t 的最大值.
【详解】解:(1)
3 , , 2
2 , ,2
3 , ( , )
ax a b x
af x x a x b x a b x b
x a b x b
.
当 , 2
ax
时,函数 f x 单调递减,
当 ,2
ax b
时,函数 f x 单调递增,
当 ,x b 时,函数 f x 单调递增,
所以当
2
ax 时函数 f x 取到最小值,
所以 2 4 22 2 2 2
a a a bm f a b
.
(2)因为 2 2a mb tab 恒成立,且 0a , 0b ,
所以
2 2a mbt ab
恒成立即
min
a mbt b a
,
由(1)知 2m ,于是 2 2 2 2a mb a mb mb a b a
,
当且仅当 2a b
b a
时等号成立即 4 2 1 0a , 2 2 2 0b ,
所以 2 2t ,故实数 t 的最大值为 2 2 .
【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值,考查了利用基本不等式求最小值,属
于一般题.
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