黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月第一次模拟 数学（文）（PDF版） 11页

大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试 数学（文）试卷 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求。 1. 已知集合 1| 0 3 xAxx  ，集合  1 5 B x N x     ，则 AB （ ） A． 0,1,4,5 B． 0,1,3,4,5 C． 1,0,1,4,5 D． 1,3,4,5 2.设复数 z 满足 13i z i   ，则 z  A． 2 B． 2 C． 22 D． 5 3.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 3 5 154, 60a a S   ，则 20a  A．4 B．6 C．10 D．12 4.已知向量 ( 1,2), ( , 1)a b x x    ，若( 2 ) / /b a a ，则 x A． 3 1 B． 3 2 C．1 D．3 5. 我国古代数学著作《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽弦图及注文。弦图是一个以勾股形之弦 为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱 实、黄实。由 2勾股 （股 勾）2 4朱实  黄实 弦实，化简得勾 2  股 2  弦 2 。若图中勾股形的勾股比为1: 2 ， 向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为 （参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ） A．2 B．4 C．6 D．8 6.将函数     sin 2 0f x x       的图象向左平移 6  个单位，得到函数  gx的图象关于 y 轴对称，下述四个 结论： ①  gx在区间 0 3   ， 上单调递减； ② 的图象关于 ,02   对称； ③ 的图象关于 6x  对称； ④ 在 ,64  上的值域为 13,22   . 其中所有正确结论的编号是 A．①② B．①③ C．③④ D． ①③④ 7.若命题“ 2 0 0 0, 2 2 0x R x mx m      ”为假命题，则 m 的取值范围是 A．   , 1 2,    B．   , 1 2,    C． 1,2 D． 1,2 8.已知正四棱锥 ABCDS  的侧棱长与底面边长相等， E 是 SB 的中点，则 SDAE, 所成的角的余弦值为 A． 3 1 B． 3 2 C． 3 3 D． 3 2 9.若双曲线 22 221( 0, 0)xy abab    的一条渐近线被圆 2240x y y   截得的弦长为 2 ，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 22 3 D. 23 3 10.  2 3sin 70 tan 70 sin80    A. 1 2 B. 3 2 C. 3 D. 1 11.已知数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且 1 2a  ， * 1 2 ( N )nn na S nn ，则 nS  A. 121n  B. 2nn C.31n  D. 123nn  12. 设 21,FF 分 别 是 椭 圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xE 的 左 、 右 焦 点 ， 过 2F 的 直 线 交 椭 圆 E 于 BA, 两点，且 1 2 2 20, 2AF AF AF F B   ，则椭圆 的离心率为 A． 3 2 B． 3 5 C． 4 3 D． 4 7  fx 第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.已知实数 yx, 满足约束条件       2 02 03 x yx yx ，则 yxz  3 的最小值为 ． 14.已知函数 e xxefexf  ln)(2)( ，则 )(xf 的极大值为 ． 15.在半径为 2 的圆上有 ,AB两点，且 2AB  ，在该圆上任取一点 P ，则使得 PAB 为锐角三角形的概率为______. 16. ABC 是边长为 23的等边三角形， E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点， //EF BC ，沿 EF 把 AEF 折起，使 点 A 翻折到点 P 的位置，连接 PB 、PC ，则四棱锥 P BCFE 的外接球的表面积的最小值为 ，此时四 棱锥 的体积为 . 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题都必须作答， 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17．（12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 平面 ABCD， 22AD AB BC， 90   BAD ABC . （1） AD 上是否存在一点 M ，使得平面 PCM 平面 ABCD；若存在，请证明，若不存在，请说明理由； （2）若 PCD 的面积为87，求四棱锥 的体积. B C A D P 18. （12 分） 如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 上， 10 2cos,2 7,4  ADBACCAD  . （1）求 Csin 的值； （2）若 5BD  ，求 AB 的长. 19.（12 分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习。某校数学 教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取 45 名学生进行跟踪问卷，其中 每周线上学习数学时间不少于 5 小时的有 19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占 8 13 ，统计 成绩后得到如下 22 列联表： 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 4 19 线上学习时间不足 5 小时 合计 45 （1）请完成上面 22 列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2）在上述样本中从分数不少于 120 分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于 5 小时和线上 学习时间不足 5 小时的学生共 5 名，若在这 5 名学生中随机抽取 2 人，求至少 1 人每周线上学习时间不足 5 小时的概 率. （下面的临界值表供参考） 2 0()P K k 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式 n ad bcK a b c d a c b d 2 2 () ( )( )( )( )      其中 n a b c d    ） B C A D 20．（12 分） 已知椭圆   22 22: 1 0xyC a bab    的离心率 2 2e  ，且椭圆过点 2,1 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 与 交于 M 、 N 两点，点 D 在椭圆 上，O 是坐标原点，若OM ON OD，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由. 21．（12 分） 已知函数  1( ) sin 02f x ax x a a R a   ， ， （1）讨论  fx在[0, ]2  上的单调性. （2）当 0a  时，若 在 0, 2   上的最大值为 1  ，求函数 在 0, 内的零点个数. （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3 cos sin x y      （ 为参数），以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极 轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 26 . （1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设 ,AB为曲线 上位于第一，二象限的两个动点，且 2AOB ,射线 ,OA OB 交曲线 分别于 ,DC， 求 AOB 面积的最小值，并求此时四边形 ABCD 的面积. 23.[ 选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 ,,a b c 均为正实数，函数 222 1 1 1() 4f x x x cab     的最小值为1. 证明：（1） 2 2 249a b c   ； （2） 1 1 1 122ab bc ac   . 大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试 数学（文）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C A C B C C D A B B 13、 5- 14、2ln 2 15、1 6 16、 3 612 , 4p 17、解（1）存在点 M 为 AD 中点，使得平面 PCM ^ 平面 ABCD ，证明如下： 取 AD 中点为 M ，连接 ,PM MC ， PADD 为等边三角形， M 为 AD 中点， PM AD ^ ； 又 平面 PAD ^平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD = AD ， PM Ì 平面 PAD ， PM AD^ ， PM ^平面 ABCD ， 又 PM Ì平面 PCM ， 平面 PCM ^ 平面 ABCD . （2）不妨设 2AD x= ，故可得 AB BC MC MD x= = = = ， 由（1）可知 PMCD 为直角三角形，且 3 32PM AD x= = ， MC x= ， 故可得 2 2 2PC PM MC x= + = ； 在 PCDD 中，因为 2 , 2 , 2PC x PD AD x CD x= = = = ， 则 2 2 2 3 2 4 PC PD CDcos CPD PC PD + -Ð = =´ ，则 7 4sin CPDÐ = ， 故可得其面积 21 7 8 72 2S sin CPD PC PD x= ´ Ð ´ ´ = = ，解得 4x = ； 故可得 ( )13 4 3, 2 242ABCDPM x S x x x= = = + ´ = 又由（1）可知， PM ^平面 ABCD ，故 1 1 24 4 3 32 33 3P ABCD ABCDV S PM- = ´ = ´ ´ = . 故四棱锥 P ABCD- 的体积为32 3 . B C A D P M 18.解析：（1） 2cos 10ADBÐ = - 10 27)10 2(1sin 2 =-=ÐADB . 由 4 p=ÐCAD ，所以 4 p-Ð=Ð ADBC . sin sin( ) sin cos cos sin4 4 4C ADB ADB ADBp p p = Ð - = Ð × - Ð × 7 2 2 2 2 4 10 2 10 2 5= ´ + ´ = . （2）在 ACDD 中，由 ADC AC C AD Ð= sinsin ，得 22 10 27 5 4 2 7 sin sin = ´ =Ð ×= ADC CACAD ， ABDD 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 cosAB BD AD BD AD ADB= + - × Ð 2 2 25 (2 2) 2 5 2 2 ( ) 3710= + - ´ ´ ´ - = 37AB = 19.解： （1） 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 15 4 19 线上学习时间不足 5 小时 10 16 26 合计 25 20 45 245(15 16 10 4) 7.287 6.63525 20 19 26k ´ - ´= » >´ ´ ´ 有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” （2）依题意，抽到线上学习时间不少于 5 小时的学生 155 325´ = 人，设为 1A , 2A , 3A ， 线上学习时间不足 5 小时的学生 2 人，设为 1B , 2B 所有基本事件有： 1 1( , )B A , 1 2( , )B A , 1 3( , )B A , 2 1( , )B A , 2 2( , )B A , 2 3( , )B A , 1 2( , )B B , 1 2( , )A A , 1 3( , )A A , 2 3( , )A A ,共 10 种 至少 1 人每周线上学习时间不足 5 小时包括： 1 1( , )B A , 1 2( , )B A , 1 3( , )B A , 2 1( , )B A , 2 2( , )B A , 2 3( , )B A , 1 2( , )B B 共 7 种 设至少 1 人每周线上学习时间不足 5 小时为事件 H ，则 ( ) 7 10P H = （或 0.7） 20、解（1）设椭圆C 的焦距为 ( )2 0c c > ，由题意可得 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 c a a b a b c ì =ï ï ï + =í ï = +ï ïî ，解得 2 4a = ， 2 2b = ， 因此，椭圆C 的标准方程为 2 2 14 2 x y+ = ； （2）当直线l 的斜率不存在时，直线 MN 的方程为 1x = - 或 1x = . 若直线l 的方程为 1x = ，联立 2 2 1 14 2 x x y =ìïí + =ïî ，可得 1 6 2 x y =ìïí = ±ïî ， 此时， 6MN = ，四边形OMDN 的面积为 1 6 2 62 ´ ´ = ， 同理，当直线l 的方程为 1x = - 时，可求得四边形OMDN 的面积也为 6 ； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是 y kx m= + ， 代人到 2 2 14 2 x y+ = ，得( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m+ + + - = ， 1 2 2 4 1 2 kmx x k - + = + ， 2 1 2 2 2 4 1 2 mx x k -= + ， ( )2 28 4 2 0k mD = + - > ， ( )1 2 1 2 2 22 1 my y k x x m k + = + + = + ， ( ) 2 2 22 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 21 1 4 1 1 2 k mMN k x x k x x x x k k × + -= + × - = + × + - = + ´ + ， 点O 到直线 MN 的距离 21 md k = + ， 由OM OC OD+ = ，得 1 2 2 4 2 1D kmx x x k= + = - + ， 1 2 2 2 1 2D my y y k= + = + ， 点 D 在椭圆C 上，所以有 2 2 2 4 2 1 2 1 2 14 2 km m k k -æ ö æ öç ÷ ç ÷+ +è ø è ø+ = ，整理得 2 21 2 2k m+ = ， 由题意知，四边形OMDN 为平行四边形， 平行四边形OMDN 的面积为 2 2 2 2 2 1 2 2 4 22 2 12 1 2 1OMDN OMN mk mS S MN d k k kD × + -= = ´ ´ = + ´ ´+ + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 4 2 14 8 4 2 6 2 1 61 2 2 1 2 1 k k km k m k k k k é ù+ + - ++ - × +ë û= = = =+ + + . 故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为 6 . 21、解（1） ( ) ( )sin cos sin cosf x a x ax x a x x x¢ = + = + 当 0, 2x pæ öÎç ÷è ø 时，sin cos 0x x x+ > 当 0a > ， 0, 2x pæ öÎç ÷è ø 时， ( ) 0f x¢ > ；当 0a < ， 0, 2x pæ öÎç ÷è ø 时， ( ) 0f x¢ < 当 0a > 时， ( )f x 在 0, 2 pé ù ê úë û 上单调递增；当 0a < 时， ( )f x 在 0, 2 pé ù ê úë û 上单调递减 （2）由（1）知，当 0a > 时， ( )f x 在 0, 2 pé ù ê úë û 上单调递增 ( )max 1 1sin 12 2 2 2 2f x f a a ap p p p p-æ ö = = - = = -ç ÷è ø ，解得： 2a = ( ) 2 sin 1f x x x = - ( ) ( )2 sin cosf x x x x¢ = + ( )f x 在 0, 2 pé ù ê úë û 上单调递增， ( )0 0 1 1 0f = - = - < ， 1 02f p pæ ö = - >ç ÷è ø ( )1 10, , 02x f xpæ ö$ Î =ç ÷è ø 使得 ( )f x 在 0, 2 pæ ö ç ÷è ø 内有且仅有1个零点 令 ( ) sin cosg x x x x= + ， ,2x p pé öÎ ÷êë ø ， ( ) cos cos sin 2cos sing x x x x x x x x¢ = + - = - 当 ,2x p pé öÎ ÷êë ø 时， cos 0x £ ，sin 0x > ， 0x > ( ) 0g x¢ < ( )g x 在 ,2 p p 轹 ÷ê ÷÷ê øë 内单调递减 又 sin cos 1 02 2 2 2g p p p pæ ö = + = >ç ÷è ø ， ( ) sin cos 0g p p p p p= + = - < 0 ,2x p pæ ö$ Îç ÷è ø ，使得 ( )0 0g x = 当 0,2x xpé öÎ ÷êë ø 时， ( ) 0g x > ，即 ( ) 0f x¢ > ；当 ( )0,x x pÎ 时， ( ) 0g x < ，即 ( ) 0f x¢ < ( )f x 在 0,2 xpé ö ÷êë ø 上单调递增，在( )0 ,x p 上单调递减 1 02f p pæ ö = - >ç ÷è ø ( )f x 在 0,2 xpé ö ÷êë ø 上无零点且 ( )0 0f x > 又 ( ) 2 sin 1 1 0f p p p= - = - < ( )f x 在( )0 ,x p 上有且仅有1个零点 综上所述： ( )f x 在( )0,p 上共有 2 个零点 22. 解：（1）由曲线 1C 的参数方程为 3 cos sin x y a a ì =ïí =ïî （a 为参数）消去参数得 2 2 13 x y+ = 曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 26 pr q + = 即 sin cos cos sin 26 6 p pr q r q+ = 3 4 0x y+ - = （2）依题意得 1C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 13 r q r q+ = 设 1( , )A r q , 2( , )2B pr q + , 3( , )D r q , 4( , )2C pr q + 则 2 2 2 21 1 cos sin 13 r q r q+ = ， 2 2 2 22 2 sin cos 13 r q r q+ = ，故 2 2 1 2 1 1 4 3r r+ = 2 2 1 2 1 2 2 1 1 4 3r r r r £ + = ，当且仅当 1 2r r= （即 4 pq = 时取“=”） 故 1 2 1 3 2 4AOBS r rD = ³ ，即 AOBD 面积的最小值为 3 4 此时 3 4 1 1 2 2 2 2 sin( ) cos( )4 6 4 6 CODS r r p p p pD = = + + 4 8 cos 3 p= = 故所求四边形的面积为 3 298 4 4- = 23. 证明（1） , , 0a b c > ， 2 2 2 1 1 1( ) 4f x x xa b c= + + - + 2 2 2 1 1 1( ) 4x xa b c³ + - - + 2 2 2 1 1 1 4a b c= + + 2 2 2 1 1 1 4a b c+ + 1= 由柯西不等式得 2 2 2( 4 )a b c+ + 2 2 2 1 1 1( )4a b c+ + 2(1 1 1) 9³ + + = 当且仅当 2 3a b c= = = 时取“=”。 2 2 24 9a b c+ + ³ （2） 2 2 1 1 2 ,a b ab+ ³ 2 2 1 1 1 ,4b c bc+ ³ 2 2 1 1 1 4a c ac+ ³ （以上三式当且仅当 2 3a b c= = = 时同时取“=”） 将以上三式相加得 2 1 1 ab bc ac+ + £ 2 2 2 1 1 12( ) 24a b c+ + = 即 1 1 1 12 2ab bc ac+ + £