四川省绵阳市高中2017级第二次诊断性考试 文科数学试题（扫描版含答案） 9页

文科数学答案 第1页（共 5 页） 绵阳市高中 2017 级第二次诊断性考试 文科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． DAACB ACBBD AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．2 14．30.8 15． 2 3  16．3 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．解：（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为 0.04×5＋0.06×5=0.5． 所以阅读时间的中位数 m=10． ………………………………………………4 分 （2）由题意得，男生人数为 45 人，因此女生人数为 55 人，由频率分布直方 图知，阅读时长大于等于 m 的人数为 100×0.5=50 人， 故列联表补充如下： ………………………8 分 K2 的观测值 k= 100×（25×30－25×20）2 50×50×45×55 = 100 99 ≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关． ……12 分 18．解：（1）由题意得 4 1 1= +3 = +6a a d a ， 7 1 1= +6 = +12a a d a ． ∴ 2 1 1( 3 3) =( +6) ( +12)a a−  ，解得 1= 3a − 或 1= 15a − ． ……………………4 分 又 3 1 2 2 0a a= +   ，得 1 4a  − ，故 1= 3a − ． ∴ = 3 2 ( 1) 2 5na n n− +  − = − ． ∴ 3 2 2=2 =2na n nb + − ．………………………………………………………………7 分 （2）由（1）可知， 1=2 5 2n n n nc a b n −= + − + ．………………………………8 分 1 2=n nS c c c+ + +   1 2 = 3 1 1 (2 5) 1 2 n n − − − + + + − + − ( 3 2 5) = 2 1 2 nn n− + − + − 2=2 4 1n n n+ − − ． …………………………………………………………12 分 男 女 总计 t≥m 25 25 50 t0)． ………………………………2 分 令 2)( 2 +−= axxxg ，则 82 −= a ． ① 当 a≤0 或△≤0，即 a≤ 2 2 时，得 ( )f x ≥0 恒成立， ∴ )(xf 在 ( )0 +， 上单调递增．…………………………………………………3 分 ②当 0 0 a     ， ， 即 22a 时， 由 0)(  xf ，得 2 8 0 2 −−  aa x 或 2 82 ++  aa x ； 由 0)(  xf ，得 2 8 2 8 22 −+  −− aa x aa ． ∴ 函数 )(xf 在 2 8 (0 ) 2 a a− − ， 和 2 8 ( ) 2 a a+ + +， 上单调递增， 在 2 28 8 ( ) 2 2 a a a a− − + − ， 上单调递减．………………………5 分 综上所述，当 a≤ 2 2 时， )(xf 在 ( )0 +， 上单调递增； 文科数学答案 第4页（共 5 页） 当 22a 时，函数 )(xf 在 2 8 (0 ) 2 a a− − ， 和 2 8 ( ) 2 a a+ + +， 上单调递增， 在 2 28 8 ( ) 2 2 a a a a− − + − ， 上单调递减． …………6 分 （2）由（1）得，当 22a 时， )(xf 有两极值点 1 2x x， (其中 12 xx  )． 则 1 2x x， 为 02)( 2 =+−= axxxg 的两根， ∴ axx =+ 21 ， 221 =xx ． )()( 2 1 ln2)()( 12 2 1 2 2 1 2 12 xxaxx x x xfxf −−−+=− 2 ln2 2 1 2 2 1 2 xx x x − −= 21 2 1 2 2 1 2ln2 xx xx x x − −= 2 1 1 2 1 2ln2 x x x x x x +−= ． ………………………………………………8 分 令 1 2 x x t = （ 1t ）， 则 )()()( 12 thxfxf =− t tt 1 ln2 +−= ． 由 a≥3，得 21 2 21 2 )( 2 xx xxa + = 2 1 ++= t t ≥ 9 2 ， 即 2t2-5t+2≥0，解得 t≥2． ∵ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 1) ( ) 1 0 t t t h t t t t t − + − − −  = − − = =  ， ∴ )(th 在  )2 +， 上单调递减， ∴ 2 3 2ln2)2()(max −== hth ． 即 )()( 12 xfxf − 的最大值为 2 3 2ln2 − ．………………………………………12 分 22．解：（1）将 C1 的参数方程化为普通方程为(x-1)2+y2=r2． 由 cosx  = ， siny  = ， 得点 P(2， 3  )的直角坐标为(1， 3 )，代入 C1，得 2 3r = ， ∴ 曲线 C1 的普通方程为(x-1)2+y2=3．………………………………………3 分 文科数学答案 第5页（共 5 页） C2 可化为 2 2 2 2cos sin 1   − = ，即 2 2 2(cos sin ) 1  − = ∴ 曲线 C2 的极坐标方程为 2 cos2 1  = ．……………………………………5 分 （2）将点 1( )A  ， ， 2( ) 6 B    −， 代入曲线 C2 的极坐标方程， 得 2 1 cos2 =1  ， 2 2 cos(2 )=1 3    − ， ∴ 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 cos2 cos(2 ) 3OA OB      + = + = + − 3 3 cos2 sin 2 3sin(2 ) 2 2 3    = + = + ． ……………………8 分 由已知 (0 ) 4    ， ，可得 5 2 ( ) 3 3 6     +  ， ， 于是 3 3sin(2 ) ( 3] 3 2   +  ， ． 所以 2 2 1 1 OA OB + 的取值范围是( 3 2 ， 3 ]． ………………………………10 分 23．解：（1）由 a=4 时， 1 2 log 2a = − ．原不等式化为 1 2 1 2x x+ − − −≤ ， 当 x≥ 1 2 时，x+1-(2x-1)≤-2，解得 x≥4，综合得 x≥4； ………………3 分 当-1< 1 2 x  时， 1 2 1x x+ + − ≤-2 ，解得 x≤ 2 3 − ，综合得 2 1 3 x−  −≤ ； 当 x≤-1 时， ( 1) 2 1 2x x− + + − −≤ ，解得 x≤0，综合得 x≤-1． ………… 4 分 ∴不等式的解集为{x | 2 3 x −≤ ，或 x≥4}．……………………………………6 分 （2）设函数 2 1 1 ( ) 1 2 1 = 3 1 2 1 2. 2 x x f x x x x x x x   −  −   = + − − −    − + ， ， ， ≤ ， ≥ ， 画图可知，函数 f(x)的最大值为 3 2 . 由 1 2 3 log 2 a≤ ，解得 0