安徽省阜阳市颍州区第三中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 Word版含解析 20页

www.ks5u.com 阜阳三中2019—2020学年第一学期高二年级期末考试 数 学（文科）‎ 一、选择题 ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合和集合进行化简，然后由集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】集合，‎ 集合 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查解二次不等式，集合的交集运算属于简单题.‎ ‎2.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先将抛物线方程化为标准方程，再写出准线方程．‎ 详解：将化为，‎ 则该抛物线的准线方程为．‎ 点睛：本题考查抛物线的标准方程、准线方程等知识，意在考查学生的基本计算能力．‎ ‎3.已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）.‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先，然后化简求虚部.‎ ‎【详解】 ，虚部为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，以及复数的相关概念，属于简单题型.‎ ‎4.命题“”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定.‎ ‎【详解】解：由全称命题的否定为特称命题可知：‎ ‎“”的否定是“，”，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎5.一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是（ ）‎ A. 6米/秒 B. 5米/秒 C. 4米/秒 D. 3米/秒 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求得，当时，代入即可求解，得到答案．‎ - 20 -‎ ‎【详解】由题意，物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则，‎ 当时，，即3秒末的瞬时速度为4米/秒，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了瞬时速度的计算，其中熟记函数在某点处的导数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎6.若点的直角坐标为，则它的极坐标可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的极坐标为，计算出和的值，结合点所在的象限求出的值，可得出点的极坐标.‎ ‎【详解】设点的极坐标为，则，.‎ 由于点位于第四象限，所以，，因此，点的极坐标可以是，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7.已知函数的导函数的图象如图，则下列叙述正确的是 A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得极大值 C. 函数在处取得极值 D. 函数只有一个极值点 - 20 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导函数的图象得到导函数值的符号，然后判断出函数的单调性，然后再结合所给选项得到正确的结论．‎ ‎【详解】由导函数的图象可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．‎ 对于选项A，由于函数的单调减区间为，所以A不正确；‎ 对于选项B，由题意可得函数当时取得极大值，所以B不正确；‎ 对于选项C，由题意当时函数无极值，所以C不正确；‎ 对于选项D，由题意可得只有当时函数取得极大值，所以D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】解答本题的关键是由题中的图象得到导函数的符号，然后由导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况．解题时要分清导函数的零点与函数极值点间的关系，常出现的错误是认为导函数的零点即为函数的极值点．‎ ‎8.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：‎ 若线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ）‎ A. 万盒 B. 万盒 C. 万盒 D. 万盒 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意，根据表格中的数据求得样本中心为，代入回归直线，解得，得到回归直线的方程，即可作出预测．‎ 详解：由题意，根据表格中的数据可知：，‎ 即样本中心为，代入回归直线，解得，即 - 20 -‎ 令，解得万盒，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了回归直线分析问题，其中牢记回归直线的特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎9.一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名．丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过假设法来进行判断．‎ ‎【详解】假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；‎ 假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；‎ 假设丙说的是真话，则第一名是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；‎ 假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙．本题选C．‎ ‎【点睛】本题考查了推理能力．解决此类问题基本方法就是假设法．‎ ‎10.已知,为椭圆的左右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若,，则椭圆C的方程为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ 根据面积公式及勾股定理得到点A坐标，再由椭圆的定义即可求得长轴长，进而求得椭圆方程．‎ ‎【详解】设椭圆半焦距为c，A（x0，y0）（y0＞0），由 得×2c•y0=2，∴y0=，∴x0=y0 =，‎ 又为直角三角形，则|OA|=|F1F2|=c，‎ 在直角中，由勾股定理得（）2+（）2=c2，解得c=2，‎ 所以A（，1），F1（-2，0），F2（2，0），‎ 所以2a=|AF1|+|AF2|==2，‎ ‎∴a=,a2=6，∴b2=2，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，注意平面几何知识的简单应用.‎ ‎11.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数可求得时的单调性和最值，从而可得的图象；将问题转化为与有个交点，通过数形结合可求得结果.‎ ‎【详解】当时，‎ - 20 -‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递增；在上单调递减 时，‎ 由此可得图象如下图所示：‎ 若函数有个零点，则与有个交点 由图象可知：当时，与有个交点 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.‎ ‎12.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ - 20 -‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 为双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．‎ 二、填空题 ‎13.函数在处的切线方程是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，求出在处的切线斜率，再由，根据直线的点斜式方程，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因此，在处的切线斜率为 ，‎ 又，‎ - 20 -‎ 所以，所求切线方程为，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求曲线上某点的切线方程，熟记导数的几何意义，以及直线的点斜式方程即可，属于基础题型.‎ ‎14.中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 由题意各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，所以用算筹可表示为．‎ ‎15.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.‎ ‎【详解】详解：设 则 所以 - 20 -‎ 所以 取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为 因为,‎ ‎，‎ 因为M’为AB中点，‎ 所以MM’平行于x轴 因为M(-1,1)‎ 所以，则即 故答案为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．‎ ‎16.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．求出的导数，当 时，直接验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要 ‎ 解得即可．‎ 详解： 令 由于函数函 - 20 -‎ 数有两个极值点点在区间 上有两个实数根． ‎ 当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去． 当 时，令 ，解得 ， 令 ，解得 ，此时函数单调递增； 令 ，解得 ，此时函数单调递减． ∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根， 则，解得． ∴实数 的取值范围是（.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.已知集合，，全集． ‎ ‎（1）当时，求，；‎ ‎（2）若是成立的充分不必要条件,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∩B＝{x|1≤x≤4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；（2）（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，得到，再计算，得到答案.‎ ‎（2）将充分不必要条件转化为A⫋B，再讨论和两种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）当a＝2时，A＝{x|1≤x≤7}，则A∩B＝{x|1≤x≤4}；‎ ‎∁UA＝{x|x＜1或x＞7}，∁UB＝{x|x＜﹣2或x＞4}，‎ ‎（∁UA）∩（∁RB）＝{x|x＜﹣2或x＞7}；‎ - 20 -‎ ‎（2）∵x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，∴A⫋B，‎ ‎①若A＝∅，则a﹣1＞2a+3，解得a＜﹣4；‎ ‎②若A≠∅，由A⫋B，得到，且a﹣1≥﹣2与2a+3≤4不同时取等号 解得：﹣1≤a，‎ 综上所述：a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪[﹣1，]．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算，根据集合关系求参数，将充分不必要条件转化为A⫋B是解题的关键 ‎18.选择恰当的方法证明下列各式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）已知，，证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将所证不等式变形为，将不等式两边平方，利用分析法可证明该不等式成立；‎ ‎（2）在所证不等式的两边同时加上，得出，然后利用基本不等式以及不等式的基本性质证明即可.‎ ‎【详解】（1）要证： 即证，‎ 即证 恒成立，得证；‎ ‎（2）要证，即证，‎ - 20 -‎ 因为，，由基本不等式可得，，‎ 当且仅当时，上述两个不等式取等号，‎ 由不等式的基本性质可得，‎ 所以成立.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明，常用的证明方法有：分析法、综合法、反证法、比较法等其它方法，解题时要结合不等式的结构选择合适的方法进行证明，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎19.为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的频率分布直方图，在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示：‎ ‎ ‎ ‎(1)由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；‎ ‎(2)根据以上统计数据填写下面的22列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异？‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 不支持 支持 总计 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ - 20 -‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）42；（2）不能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可；‎ ‎（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】(1)估计这100人年龄的平均数为（岁）；‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，45岁以下共有50人，45岁以上共有50人.‎ 列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 不支持 ‎35‎ ‎40‎ ‎75‎ 支持 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎∴ K= 1.333＜3.841 ‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异.‎ ‎【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图应用问题，是中档题．‎ ‎20.已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ - 20 -‎ ‎（2）设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，‎ ‎（2）设l1，l2的方程，联立方程组消元解出A，B的坐标，代入斜率公式计算kAB．‎ ‎【详解】（1）由已知，动点到定点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故曲线的方程为.‎ ‎（2）由题意可知直线，的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.‎ 设，，直线的方程为，.‎ 直线的方程为，‎ 由得，‎ 已知此方程一个根为，∴，‎ 即，同理，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ - 20 -‎ 所以，直线的斜率为定值.‎ ‎【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）求单调区间；‎ ‎（2）若在上成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），利用，解得，即可得出单调区间．‎ ‎（2）法一：由得，即．令，利用导数研究其单调性即可得出．‎ 法二：由得，即，令，利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 故单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）法一：由得，即，‎ 令，，‎ ‎，，在单调递增，‎ - 20 -‎ 又，，‎ 所以有唯一的零点，‎ 且当时，，即，单调递减，‎ 当时，，即，单调递增，‎ 所以，‎ 又因为所以，‎ 所以，的取值范围是.‎ 法二：由得，‎ 即，‎ 令，因为，，‎ 所以存在零点；‎ 令，则，当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增．‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力．‎ ‎22.已知曲线：（为参数），：（为参数）.‎ ‎（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？‎ ‎（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求的中点到直线 - 20 -‎ 的距离的最小值.‎ ‎【答案】（1）：，曲线是圆；：，曲线是椭圆；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）根据椭圆的参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题结论．‎ ‎【详解】解：（1）∵曲线：（为参数），‎ ‎∴：‎ ‎∴曲线是圆.‎ ‎∵曲线：（为参数），‎ ‎∴：.‎ ‎∴曲线是椭圆.‎ ‎（2）∵上点对应的参数为，‎ ‎∴.‎ ‎∵为上的动点，‎ ‎∴设，‎ 则的中点，‎ 点到直线的距离，‎ - 20 -‎ 当时，.‎ ‎∴的中点到直线的距离的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题难度不大，属于中档题．‎ - 20 -‎ ‎ ‎ - 20 -‎